圓錐曲線知識結(jié)構(gòu)

1、 圓錐曲線知識結(jié)構(gòu)簡介：一、橢圓知識體系1、定義和方程（1）（2）方程（3）考題方向；2、性質(zhì)； 設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn). 即，時(shí)（頂點(diǎn)），取得最大值.3、直線與橢圓的綜合（見后面）二、雙曲線知識體系1、定義和方程（1）（2）方程（3）考題方向2、性質(zhì)； 等軸雙曲線：共軛雙曲線： 注：都是開花不接果實(shí)的結(jié)論：3、直線與雙曲線的綜合（見后面）三、拋物線知識體系1、定義與方程（1）定義：（2）方程 （3）考題方向2、性質(zhì) ； 3、直線與拋物線的綜合（見后面）四、直線與圓錐曲線的綜合1、 點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系2、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系設(shè)直線:，圓錐曲線:.由消去或，若消去后得： 3、弦長公式4、焦點(diǎn)

2、弦（過焦點(diǎn)的弦）對于橢圓，對于雙曲線，情形，有 對于拋物線， 注：如：已知雙曲線，定點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與所給雙曲線相交于的中點(diǎn)，這樣的直線存在嗎？若存在，求出方程；若不存在，請說明理由.解析：由點(diǎn)差法求出直線的方程為.但是之后，由得到的.故求得的直線是不存在.：曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對稱6、總結(jié)五、專題熱點(diǎn)問題1、參數(shù)取值或取值范圍問題求解圓錐曲線一類參數(shù)范圍是涉及方程、不等式及函數(shù)的綜合題，需要洞察已知條件和欲求參數(shù)范圍之間內(nèi)在聯(lián)系，有時(shí)還須引入中間參量，通過中間參數(shù)使問題過渡，而曲線上點(diǎn)坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)變化范圍往往也是控制所求參數(shù)的必要條件.樣題：已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對于直線，橢圓上有不同

3、的兩點(diǎn)關(guān)于這條直線對稱.分析 設(shè)出對稱的兩點(diǎn)及其所在的直線的方程，再使用判別式及中點(diǎn)在對稱軸上求解.解 設(shè)橢圓上關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)為，其所在直線的方程為，代入橢圓的方程并整理得.又，而點(diǎn)又在上，.把代入得即得取值范圍是.2、最值問題3、定點(diǎn)、定值問題4、求軌跡方程問題注：專題熱點(diǎn)問題是熱點(diǎn)，也是解析幾何知識與函數(shù)、向量、數(shù)列知識交匯的力量之源，學(xué)生應(yīng)當(dāng)在學(xué)習(xí)過程中，注意總結(jié)歸類這幾大類題目的小技巧。這里，只說明兩點(diǎn)，第一，很多題目都需要計(jì)算到韋達(dá)定理那一步，之后才會分化出很多的不同。我們在掌握通性通法的同時(shí)，也要注意掌握小經(jīng)驗(yàn)、小技巧。第二，還有幾個(gè)熱點(diǎn)難點(diǎn)沒有介紹，如相切問題、圓錐曲線與圓的

4、問題等，不做相應(yīng)專題的原因有兩點(diǎn)。一是考慮到高考著重于以直線與圓錐曲線為載體，我們應(yīng)當(dāng)把主要精力投入到細(xì)化這方面的知識中來；二是沒有介紹的專題目前并不是考察的重點(diǎn)，本身卻是難點(diǎn)。鞏固大練習(xí)一、橢圓部分（一）1、已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，并且在定圓的內(nèi)部與其相切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.2、已知,且三邊長依次成等差數(shù)列，求頂點(diǎn)的軌跡方程.3、橢圓和連接兩點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，那么的取值范圍是 .4、過點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓方程是 .5、橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別為，則取最大值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是 .6、推算橢圓的焦點(diǎn)三角形面積公式.7、已知橢圓，試確定的取值范圍，使得橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)，關(guān)于直線對稱.8、過

5、橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)作與軸不垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，證明為定值.一、橢圓部分（二）1、已知的頂點(diǎn)在橢圓上，頂點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在邊上，則的周長是 .2、是橢圓的兩焦點(diǎn)，是橢圓上任一點(diǎn)，過一焦點(diǎn)引的外角平分線的垂線，垂足為的軌跡為 .3、已知，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交（為圓的圓心）于，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為 .4、如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個(gè)點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則_.5、設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)，在軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)連線互相垂直，且此焦點(diǎn)和長軸較近的端點(diǎn)的距離為，則橢圓的方程為 .6、橢圓上的點(diǎn)到直線的距

6、離的最小值是 .7、橢圓與直線的交點(diǎn)情況是 .8、點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，（是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)），則的最大值和最小值之差為 .9、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓方程為，點(diǎn)滿足，則橢圓上點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 .10、直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，求的取值范圍.11、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，求的最大值.12、設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)為F1、F2。（1）若點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，且，求F1PF2的面積；（2）若是經(jīng)過橢圓中心的一條弦，求的面積的最大值.二、雙曲線部分（一）1、已知為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，求的最小值.2、已知雙曲線定義中的常數(shù)為，線段為雙曲線上過焦點(diǎn)的弦，且，為另一焦點(diǎn)，求的周長.3、已知?jiǎng)訄A與圓外切，與

7、圓內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.4、判斷平面上同時(shí)和兩相交定圓（半徑不等）外切的動(dòng)圓圓心的軌跡.5、求與雙曲線有共同的漸近線，且過點(diǎn)的雙曲線；如果過點(diǎn)呢？6、求與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn).7、已知為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，求點(diǎn)到軸的距離.8、求雙曲線的焦點(diǎn)三角形.9、試確定實(shí)數(shù)的不同取值，討論直線與雙曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).10、試證明雙曲線上任意一點(diǎn)到它的兩條漸近線的距離之積為常數(shù).二、雙曲線部分（二）1、設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn).若在雙曲線右支上存在點(diǎn)，滿足，且到直線的距離等于雙曲線的實(shí)軸長，求該雙曲線的漸近線方程.2、的頂點(diǎn)，的內(nèi)切圓圓心在直線上，求頂點(diǎn)的軌跡方程.3、在中，且，試求頂點(diǎn)

8、的軌跡方程.4、已知雙曲線，過點(diǎn)的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的斜率的值.5、雙曲線與的四個(gè)頂點(diǎn)連線圍成的圖形面積為，四個(gè)焦點(diǎn)連線圍成的圖形面積為，求的最大值.6、設(shè)，求的最大值.7、已知雙曲線，過點(diǎn)能否作直線，使直線與所給雙曲線交于兩點(diǎn)，且是弦的中點(diǎn)？如果存在，求出它的方程；如果不存在，請說明理由.8、直線和雙曲線相交于兩點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，以為直徑的圓過原點(diǎn)？9、已知雙曲線與點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若為的中點(diǎn).（1）求直線的方程；（2）若，判斷以為中點(diǎn)的弦是否存在？并說明理由.10、已知雙曲線，經(jīng)過點(diǎn)能否作一條直線，使直線與雙曲線交于，且是線段的中點(diǎn)，若存在這樣的直線，求出它的方

9、程；若不存在，說明理由.11、雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，直線為的一條漸近線.（1）求雙曲線的方程；（2）過點(diǎn)的直線，交雙曲線于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)（點(diǎn)與的頂點(diǎn)不重合）.當(dāng)，且時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).三、拋物線部分（一）1、(1)若拋物線的焦點(diǎn)在直線上，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）拋物線的一條弦過焦點(diǎn)，且，求拋物線的方程；（3）定長為3的線段的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線上移動(dòng)，的中點(diǎn)為，則當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為 時(shí)，到軸的距離最短，最短距離為 ；（4）已知是拋物線上動(dòng)點(diǎn)，兩定點(diǎn)和，求的最小值.2、（1）動(dòng)點(diǎn)到軸的距離比到點(diǎn)的距離小，求點(diǎn)的軌跡方程（2）求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程.3、（1）已知是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且

10、拋物線的焦點(diǎn)恰為的垂心，求直線的方程；（2）若的頂點(diǎn)在拋物線上，且的縱坐標(biāo)，的重心恰是拋物線的焦點(diǎn)，求直線的方程.4、已知圓和點(diǎn)，其中，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，的垂直平分線交直線于點(diǎn)，判斷點(diǎn)的軌跡.5、設(shè)為直線外一定點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，為直線上的定長線段，且，當(dāng)在直線上滑動(dòng)時(shí).（1）求的外心的軌跡方程，并說明它表示什么曲線；（2）當(dāng)時(shí)，若是上任一點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與交于另一點(diǎn)，若直線與曲線上的處的切線垂直，求線段中點(diǎn)的軌跡方程.三、拋物線部分（二）1、已知點(diǎn)滿足，判斷點(diǎn)的軌跡.2、已知點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，求點(diǎn)到的距離的最小值.3、直線交拋物線于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，求.4、頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的拋物線

11、截直線所得的弦長為，求拋物線的方程.5、過拋物線的頂點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別交拋物線于兩點(diǎn)，線段求的中點(diǎn)的軌跡方程.6、設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線與拋物線有公共點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍.7、設(shè)是拋物線上的三個(gè)點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為、，當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)，求的值.8、證明：過拋物線的對稱軸上的定點(diǎn)任作一條直線交拋物線于兩點(diǎn)，則為定值.9、已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線上的點(diǎn)，設(shè).（1）求的最小值； （2）當(dāng)取最小值時(shí)，求的最小值.10、在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上異于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩不同動(dòng)點(diǎn)、滿足=0；（1）求得重心（即三角形三條中線的交點(diǎn)）的軌跡方程；（2）的面積是否存在最小值？若存在，

12、請求出最小值；若不存在，請說明理由四、直線與圓錐曲線綜合問題部分1、試確定實(shí)數(shù)的不同取值，討論直線與雙曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)。2、過點(diǎn)作直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的范圍。3、正方形的邊在直線上，在拋物線上，求正方形的面積。4、過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若線段與的長分別為，求的值。5、設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且、，是拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)。（1）求證：； （2）直線的方向向量分別為，求證成等差數(shù)列。6、已知橢圓，求斜率為的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程。7、如果拋物線上總有關(guān)于直線對稱的相異兩點(diǎn)，試求的取值范圍。8、直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，求的取值范圍。9、已知中

13、心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)為其右焦點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）是否存在平行于的直線，使得直線與橢圓有公共點(diǎn)，且直線與的距離等于4？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由。10、直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是拋物線上一點(diǎn)，若直線與無公共點(diǎn)，且有最小面積，求的值和點(diǎn)的坐標(biāo)。11、已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上.斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，與共線.（1）求；（2）設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值。12、已知橢圓的上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線與圓相切.（1）求橢圓的方程；（2）若不經(jīng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。高考大預(yù)測1、在中，、為定

14、點(diǎn)，為動(dòng)點(diǎn)，記、的對邊分別為、，已知， （1） 證明：動(dòng)點(diǎn)一定在某個(gè)橢圓上，并求出該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2） 設(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與（1）中的橢圓交于兩點(diǎn)，若，求直線的方程2、定義：由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”。如果兩個(gè)橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比。已知橢圓。（1）若橢圓，判斷與是否相似？如果相似，求出與的相似比；如果不相似，請說明理由；（2）寫出與橢圓相似且短半軸長為的橢圓的方程；若在橢圓上存在兩點(diǎn)、關(guān)于直線對稱，求實(shí)數(shù)的取值范圍？（3）如圖：直線與兩個(gè)“相似橢圓”和分別交于點(diǎn)和點(diǎn)

15、，證明：3、已知橢圓的焦點(diǎn)，過作垂直于軸的直線被橢圓所截線段長為，過作直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若A是橢圓與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，求的面積；（3）是否存在實(shí)數(shù)使，若存在，求的值和直線的方程；若不存在，說明理由4、已知橢圓：過點(diǎn)，上、下焦點(diǎn)分別為、，向量直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)為（1）求橢圓的方程；（2）求直線的方程；（3）記橢圓在直線下方的部分與線段所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為，若曲線與區(qū)域有公共點(diǎn)，試求的最小值5、設(shè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)滿足，經(jīng)過點(diǎn)與軸垂直的直線交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)滿足,求點(diǎn)的軌跡方程.6、已知橢圓的方程為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1) 若直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)M、A(0,-b)、B(a,0)滿足，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2) 設(shè)直線l1:y=k1x+p交橢圓于C、D兩點(diǎn)，交直線l2:y=k2x于點(diǎn)E若，證明：E為CD的中點(diǎn)；(3) 對于橢圓上的點(diǎn)Q()(0q 時(shí),在雙曲線的右支上不存在點(diǎn),使之到直