雙曲線的性質(zhì)

1、2.61雙曲線的性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解雙曲線的對(duì)稱性、范圍、定點(diǎn)、離心率、漸近線等簡(jiǎn)單性質(zhì).2.能利用雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)求雙曲線的方程.3.能用雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)分析解決一些簡(jiǎn)單的問題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)雙曲線（a0，b0）的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)范圍雙曲線上所有的點(diǎn)都在兩條平行直線x=-a和x=a的兩側(cè)，是無限延伸的。因此雙曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足x-a或xa.對(duì)稱性對(duì)于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程（a0，b0），把x換成-x，或把y換成-y，或把x、y同時(shí)換成-x、-y，方程都不變，所以雙曲線（a0，b0）是以x軸、y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，且是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，這個(gè)對(duì)稱中心稱為雙曲

2、線的中心。頂點(diǎn)雙曲線與它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)稱為雙曲線的頂點(diǎn)。雙曲線（a0，b0）與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)即為雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為A1（-a，0），A2（a，0），頂點(diǎn)是雙曲線兩支上的點(diǎn)中距離最近的點(diǎn)。兩個(gè)頂點(diǎn)間的線段A1A2叫作雙曲線的實(shí)軸；設(shè)B1（0，-b），B2（0，b）為y軸上的兩個(gè)點(diǎn)，則線段B1B2叫做雙曲線的虛軸。實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)度分別為|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)。雙曲線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)，不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆。雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上。實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線稱為等軸雙曲線。離心率雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比

3、叫做雙曲線的離心率，用e表示，記作。因?yàn)閏a0，所以雙曲線的離心率。由c2=a2+b2，可得，所以決定雙曲線的開口大小，越大，e也越大，雙曲線開口就越開闊。所以離心率可以用來表示雙曲線開口的大小程度。等軸雙曲線，所以離心率。漸近線經(jīng)過點(diǎn)A2、A1作y軸的平行線x=±a，經(jīng)過點(diǎn)B1、B2作x軸的平行線y=±b，四條直線圍成一個(gè)矩形（如圖），矩形的兩條對(duì)角線所在直線的方程是。我們把直線叫做雙曲線的漸近線；雙曲線與它的漸近線無限接近，但永不相交。要點(diǎn)二、雙曲線兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的比較標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，焦距范圍，對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn) 軸實(shí)軸長(zhǎng)=，虛軸長(zhǎng)= 離心率

4、漸近線方程要點(diǎn)詮釋：雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看x2、y2的系數(shù)，如果x2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上。對(duì)于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來判定焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上。要點(diǎn)三、雙曲線的漸近線（1）已知雙曲線方程求漸近線方程：若雙曲線方程為，則其漸近線方程為已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成“0”，然后因式分解即得漸近線方程。（2）已知漸近線方程求雙曲線方程：若雙曲線漸近線方程為，則可設(shè)雙曲線方程為，根據(jù)已知條件，求出即可。（3）與雙曲線有公共漸近線的雙曲線與雙曲線有公共漸近

5、線的雙曲線方程可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)在y軸上）（4）等軸雙曲線的漸近線等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，為，因此等軸雙曲線可設(shè)為.要點(diǎn)四、雙曲線中a,b,c的幾何意義及有關(guān)線段的幾何特征： 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由雙曲線本身的形狀大小所確定的，分別表示雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：cb0，ca0，且c2=b2+a2。雙曲線，如圖：（1）實(shí)軸長(zhǎng)，虛軸長(zhǎng),焦距，（2）離心率：；（3）頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離：，；（4）中結(jié)合定義與余弦定理，將有關(guān)線段、和角結(jié)合起來.（5）與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算問題時(shí)，?？紤]到用雙曲線的定義及余弦定

6、理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算與解題，將有關(guān)線段、，有關(guān)角結(jié)合起來，建立、之間的關(guān)系. 【典型例題】類型一：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)例1求雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程與離心率.【解析】 把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由此可知實(shí)半軸長(zhǎng)，虛半軸長(zhǎng)，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，虛軸長(zhǎng)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，焦點(diǎn)坐標(biāo)，離心率，漸近線方程為【總結(jié)升華】在幾何性質(zhì)的討論中要注意a和2a，b和2b的區(qū)別，另外也要注意焦點(diǎn)所在軸的不同，幾何量也有不同的表示. 舉一反三：【變式1】雙曲線mx2y21的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則m等于()A B4 C4 D.【答案】A【變式2】已知雙曲線8kx2ky2=2

7、的一個(gè)焦點(diǎn)為，則k的值等于（ ）A2 B1 C1 D【答案】C類型二：雙曲線的漸近線例2.已知雙曲線方程，求漸近線方程。（1）；（2） 【解析】（1）雙曲線的漸近線方程為：即（2）雙曲線的漸近線方程為：即【總結(jié)升華】雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，即；若雙曲線的方程為（，焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)在y軸上），則其漸近線方程為.舉一反三：【變式1】求下列雙曲線方程的漸近線方程（1）；（2）；（3）【答案】（1）；（2）；（3）【變式2】(2015 北京)已知雙曲線的一條漸近線為，則a_【答案】【解析】 漸進(jìn)線為，有，由雙曲線的方程得b=1，且a0所以【變式】（2016 北京文）已知雙曲線 （a

8、0，b0）的一條漸近線為2x+y=0，一個(gè)焦點(diǎn)為（ ,0），則a=_；b=_.【答案】依題意有，結(jié)合c2=a2+b2，解得a=1，b=2。例3. 根據(jù)下列條件，求雙曲線方程。（1) 與雙曲線有共同的漸近線，且過點(diǎn)；（2）一漸近線方程為，且雙曲線過點(diǎn)【解析】（1）解法一：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為由題意，得，解得，所以雙曲線的方程為當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為由題意，得，解得，（舍去）綜上所得，雙曲線的方程為解法二：設(shè)所求雙曲線方程為（），將點(diǎn)代入得，所以雙曲線方程為即（2）依題意知雙曲線兩漸近線的方程是.故設(shè)雙曲線方程為，點(diǎn)在雙曲線上， ，解得，所求雙曲線方程為.【總結(jié)升華】求雙

9、曲線的方程，關(guān)鍵是求、，在解題過程中應(yīng)熟悉各元素（、及準(zhǔn)線）之間的關(guān)系，并注意方程思想的應(yīng)用。若已知雙曲線的漸近線方程，可設(shè)雙曲線方程為（）.舉一反三：【變式1】中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)在(0,3)，一條漸近線為的雙曲線方程是（ ）A. B. C. D.【答案】D【變式2】過點(diǎn)(2，-2)且與雙曲線有公共漸近線的雙曲線是 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【變式3】設(shè)雙曲線的漸近線方程為，則的值為A4 B3 C2 D1【答案】C【變式4】雙曲線與有相同的（ ）A實(shí)軸 B焦點(diǎn) C漸近線 D以上都不對(duì)【答案】C類型三：求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍例4. 已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn),過且垂

10、直于軸的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn),若是正三角形,求雙曲線的離心率?！窘馕觥?，是正三角形，【總結(jié)升華】雙曲線的離心率是雙曲線幾何性質(zhì)的一個(gè)重要參數(shù)，求雙曲線離心率的關(guān)鍵是由條件尋求a、c滿足的關(guān)系式，從而求出舉一反三：【變式1】(1) 已知雙曲線的離心率，過點(diǎn)A(0,-b)和B(a,0)的直線與原點(diǎn)間的距離為，求雙曲線的方程.(2) 求過點(diǎn)(-1,3)，且和雙曲線有共同漸近線的雙曲線方程.【答案】（1）（2）【變式2】(2015 山東文)過雙曲線(a0,b0)的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直線，交C于點(diǎn)P.若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2a,則C的離心率為    

11、;   .【答案】【解析】雙曲線的右焦點(diǎn)為（c，0）.不妨設(shè)所作直線與雙曲線的漸近線平行，其方程為，代入求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，由，得，解之得（舍去，因?yàn)殡x心率），故雙曲線的離心率為.【變式3】已知a、b、c分別為雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)、半焦距，且方程ax2bxc0無實(shí)根，則雙曲線離心率的取值范圍是()A1<e<2 B1<e<2C1<e<3 D1<e<2【答案】D類型五：雙曲線的焦點(diǎn)三角形例5已知雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)6，過左焦點(diǎn)的弦交左半支于、兩點(diǎn)，且，設(shè)右焦點(diǎn)，求的周長(zhǎng).【解析】由雙曲線的定義有: ，.即.故的周長(zhǎng).【總結(jié)升華】雙曲

12、線的焦點(diǎn)三角形中涉及了雙曲線的特征幾何量，在雙曲線的焦點(diǎn)三角形中，經(jīng)常運(yùn)用正弦定理、余弦定理、雙曲線定義來解題，解題過程中，常對(duì)定義式兩邊平方探求關(guān)系舉一反三：【變式1】已知雙曲線的方程，點(diǎn)A、B在雙曲線的右支上，且線段AB經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)F2，|AB|=m，F(xiàn)1為另一焦點(diǎn)，則ABF1的周長(zhǎng)為（ ）A2a+2m B4a+2m Ca+m D2a+4m【答案】B 【變式2】已知是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，P在雙曲線上且滿足，則_【答案】【鞏固練習(xí)】1、 選擇題1(2015 廣東)已知雙曲線的離心率，且其右焦點(diǎn)為F2（5，0），則雙曲線C的方程為（ ）A B C D2設(shè)F1、F2分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，雙

13、曲線上存在一點(diǎn)P使得|PF1|+|PF2|=3b, |PF1|·|PF2|=，則該雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D.33.雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn),它的一條漸近線方程為,則雙曲線的離心率為( )A. B. C. D. 4過雙曲線=1的右焦點(diǎn)F2作垂直于實(shí)軸的弦PQ，F(xiàn)1是左焦點(diǎn)，若ÐPF1Q=90°，則雙曲線的離心率是（ ）A. B.1+ C.2+ D.5. 已知雙曲線(a>0，b>0)的焦點(diǎn)到漸近線的距離是其頂點(diǎn)到漸近線距離的3倍，則雙曲線的漸近線方程為()Ay±x By±xCy±x Dy±3x6（2

14、016 天津文）已知雙曲線的焦距為，且雙曲線的一條漸近線與直線 垂直，則雙曲線的方程為（ ）A BC D二、填空題7已知雙曲線C：(a0，b0)的實(shí)軸長(zhǎng)為2，離心率為2，則雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_8橢圓與雙曲線焦點(diǎn)相同，則a_.9（2015春 黑龍江期末改編）與雙曲線有共同的漸近線，且過點(diǎn)（2,2）的雙曲線方程為 10（2016浙江文）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2若點(diǎn)P在雙曲線上，且F1PF2為銳角三角形，則|PF1|+|PF2|的取值范圍是_三、解答題11.設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)若在雙曲線右支上存在點(diǎn)P，滿足，且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，求該

15、雙曲線的漸近線方程12設(shè)雙曲線=1（0<a<b）的半焦距為c，直線過(a,0)，(0,b)兩點(diǎn).已知原點(diǎn)到直線的距離為c，求雙曲線的離心率. 13已知雙曲線(a>0，b>0)過點(diǎn)，且點(diǎn)A到雙曲線的兩條漸近線的距離的積為.求此雙曲線方程14已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足，求的面積.15如下圖，已知F1，F(xiàn)2是雙曲線(a>0，b>0)的兩焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上，求雙曲線的離心率【答案與解析】1【答案】：C【解析】由雙曲線右焦點(diǎn)為F2（5，0），則c=5，a=4b2=c2a2=9，所以雙曲線方程為

16、2【答案】：B【解析】：由雙曲線的定義得：|PF1|-|PF2|=2a,(不妨設(shè)該點(diǎn)在右支上)|PF1|+|PF2|=3b,所以|PF1|=，兩式相乘得。結(jié)合得，故,故選B。3【答案】：D【解析】：設(shè)雙曲線方程為焦點(diǎn)又,4. 【答案】：B【解析】：因?yàn)閨PF2|=|F2F1|， P點(diǎn)滿足=1，,即 2ac=b2=c2-a2,故e=1+.5. 【答案】：B【解析】：如圖，分別過雙曲線的右頂點(diǎn)A，右焦點(diǎn)F作它的漸近線的垂線，B、C分別為垂足，則OBAOCF，故漸近線方程為：.6. 【答案】：A【解析】由題意得，選A 7. 【答案】：(±2,0) 【解析】：由題意得：a1，e2，所以c2，

17、又由標(biāo)準(zhǔn)方程可得焦點(diǎn)在x軸上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±2,0)8【答案】：【解析】；由題意得4a2a21，2a23，a.9【答案】：【解析】設(shè)雙曲線方程為， 因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)（2,2），所以k=3,所以雙曲線的方程為。10. 【答案】【解析】由已知a=1，c=2，則，設(shè)P（x，y）是雙曲線上任一點(diǎn)，由對(duì)稱性不妨設(shè)P在右支上，則1x2，|PF1|=2x+1，|PF2|=2x1，F(xiàn)1PF2為銳角，則|PF1|2+|PF2|2|F1F2|2，即(2x+1)2+(2x1)242，解得，所以，11. 【解析】：過F2作F2APF1于A，由題意知F2A2a，2c，則2b，4b，而2a，4b2c2a，c2ba，c2(2ba)2，a2b24b24aba2，解得，雙曲線的漸近線方程為.12.【解析】： 由已知，的方程為ay+bx-ab=0, 原點(diǎn)到的距離為，則有, 又c2=a2+b2, ，兩邊平方，得16a2(c2-a2)=3c4.兩邊同除以a4并整理得3e4-16e2+16=0，e2=4或. 0<a<b, ,得,e2=4，故e=2.13.【解析】：雙曲線的兩漸近線的方程為bx±ay0.點(diǎn)A到兩漸近線的距離分別為，已知d1d2，故 ()又A在雙曲線上，則14b25a2a2b2()()代入()，得3a2b24a24b2()聯(lián)立()、()解得b22，a24.故