第1講典型方程建立

1、1.王元明王元明 數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù) 東南大學(xué)數(shù)學(xué)系東南大學(xué)數(shù)學(xué)系2. 謝鴻政等謝鴻政等 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程 哈爾濱工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系哈爾濱工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系3. 谷超豪等谷超豪等 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程 復(fù)旦大學(xué)復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)系4.4.王明新王明新 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程 哈爾濱工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系哈爾濱工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系課程內(nèi)容：研究數(shù)學(xué)物理方程的建立、求課程內(nèi)容：研究數(shù)學(xué)物理方程的建立、求 解方法和解的物理意義分析。解方法和解的物理意義分析。 Green 方程的導(dǎo)出和定解問題方程的導(dǎo)出和定解問題行波法行波法分離變量法分離變量法解析法解析法函數(shù)法函數(shù)法數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)

2、物理方法基本解法基本解法積分變換法積分變換法差分法差分法數(shù)值法數(shù)值法有限元法有限元法第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)1 基本方程的建立基本方程的建立導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理方程的一般方法：導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理方程的一般方法： 確定所研究的物理量； 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系； 劃出研究單元，根據(jù)物理定律和實驗資料寫出 該單元與鄰近單元的相互作用，分析這種相互 作用在一個短時間內(nèi)對所研究物理量的影響， 表達為數(shù)學(xué)式； 簡化整理，得到方程。 例例 1 1. 弦的微小橫振動弦的微小橫振動 假設(shè)與結(jié)論：假設(shè)與結(jié)論：（1 1）橫振動）橫振動 坐標(biāo)系 Oxu ，位移 u(x,t) 2uds= 1+dxxtan1,uxa （2）微小振動

3、）微小振動（3）弦柔軟、均勻）弦柔軟、均勻. 張力張力 , 密度密度 ；)(xT 建立方程建立方程： 取微元 MM ，研究在水平方向和垂直方向 MM 在不受外力的情況下的運動情況。 x+d dx)( dxxT sgd牛頓運動定律：牛頓運動定律： F = ma作用在弧作用在弧段段 上的水平方向的力為上的水平方向的力為 MM0coscosTT傾角很小，即傾角很小，即0, 0 近似得近似得TT 垂直方向的力為垂直方向的力為22( , )sinsinu x tTTgdsdst（1）sintg,sintg,.dsdx( , )(, ),.u x tu x dx ttgtgxx22( , )tgtgu x

4、 tTTgdxdxt于是等式（于是等式（1 1）變成）變成由微積分知識可知，在時刻由微積分知識可知，在時刻t 有有（2）等式（等式（2 2）可以寫成）可以寫成1|xx dxxxttguuudxTT x+d dx)( dxxT sgd由于很小令令 ，取極限得取極限得0dxxxttguuTT略去重力，可得方程略去重力，可得方程,22222xuatu其中其中Ta2(3)(3)弦振動方程（弦振動方程（3 3）中只含有兩個自變量）中只含有兩個自變量 和和 ，其中，其中 表示時間表示時間， 表示位置表示位置。由于它們描述的是弦的振動或由于它們描述的是弦的振動或波動現(xiàn)象，因而又稱為波動現(xiàn)象，因而又稱為一維波

5、動方程一維波動方程。xttx 注注1.1.如果在弦的每單位長度上有如果在弦的每單位長度上有 外力作用，則方外力作用，則方程（程（3 3）具有下列形式：）具有下列形式：F（4） 2,ttxxua uf其中其中Ff ，而外力可以是壓力、重力、阻力等。，而外力可以是壓力、重力、阻力等。注注2 2.非齊次方程齊次方程齊次方程；齊次方程；, 0, 0 ff例例 2. 傳輸線方程傳輸線方程 待研究物理量: 電流強度 i (x,t) , 電壓 v (x,t)xR xL xG xC iii vvv R 每一回路單位的串聯(lián)電阻每一回路單位的串聯(lián)電阻,L 每一回路單位的串聯(lián)電感，每一回路單位的串聯(lián)電感，C 每單位

6、長度的分路電容，每單位長度的分路電容，G 每單位長度的分路電導(dǎo)，每單位長度的分路電導(dǎo)，xxxKirchhoff 第一,二定律tixLixRvvvvxGtvxCiii )()( 00RitiLxvGvtvCxi微分兩端對兩端對x微分微分兩端對兩端對t微分微分*C相減相減GRvtvGLRCtvLCxvGRitiGLRCtiLCxi )()(22222222 傳輸線方程2222222211xvLCtvxiLCti 高頻傳輸，G=0, R=0高頻傳輸線方程與一維波動方 程 類 似 例3. 聲學(xué)方程 022sastt)(002pa s0p0聲波中的空氣密度相對變化量，空氣定比熱與定容比熱之比值，空氣處于

7、平衡狀態(tài)時的壓強，空氣處于平衡狀態(tài)時的密度。其中2222222zyxLapalce算子三維波動方程 第一章 數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出和定解問題 dVzyxdSnE),(4 4靜靜電電學(xué)學(xué)基基本本定定律律：穿穿過過閉閉合合曲曲面面向向外外的的電電通通量量等等于于區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)所所含含電電量量的的倍倍，即即例例4 靜電場的勢方程靜電場的勢方程 E1 ),(zyx ),(4divzyxE 即 dVEdVzEyExEdSznEynExnEdSnEzyxzyxdiv ),cos(),cos(),cos(奧氏公式故 dVdVE 4div第一章 數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出和定解問題),(4graddivzyxu ),(42

8、22222zyxzuyuxu 0222222 zuyuxu故即 Laplace方程 Poisson方程當(dāng)內(nèi)沒有電荷時 EuEgrad靜電場是有勢場，故存在勢函數(shù)u, 有 例 5. 熱傳導(dǎo)方程dSdtnuzyxkdQ),( 21),(1ttdtdSnuzyxkQ21)()()(ttdtdVzukzyukyxukxFourier定律：V溫度溫度u(xu(x, ,y y, ,z z; ;t) t)，通過對任意一個小的體積微元通過對任意一個小的體積微元 內(nèi)的內(nèi)的熱平衡關(guān)系的研究，建立方程熱平衡關(guān)系的研究，建立方程。奧高公式,21tt內(nèi)，通過曲面S流進V的熱量 其中 , c分別是物體的比熱和密度。溫度由

9、),(1tzyxu變到),(2tzyxu吸收熱量 tVtucdVtzyxutzyxucQtt 21dd),(),(122 熱量守恒定理 21QQ dtdVtucdtdVzukzyukyxukxtttt 2121)()()( 0)(2222222 zuyuxuatu化簡三維齊次熱傳導(dǎo)方程 2ack)(如果所考察的物體內(nèi)部有熱源如果所考察的物體內(nèi)部有熱源 , , 則熱則熱傳導(dǎo)方程為傳導(dǎo)方程為tzyxF,其中其中ctzyxFtzyxf/,fzuyuxuatu )(22222220)(22222 yuxuatu二維熱傳導(dǎo)方程 0)(222 xuatu維熱傳導(dǎo)方程 0)(2222222 zuyuxuatu三維熱傳導(dǎo)方程 當(dāng)我們考察氣體的擴散當(dāng)我們考察氣體的擴散, ,液體的滲透液體的滲透, , 半導(dǎo)體半導(dǎo)體材料中的雜質(zhì)擴散等物理過程時材料中的雜質(zhì)擴散等物理過程時, , 若用若用 表示所擴表示所擴散物質(zhì)的濃度散物質(zhì)的濃度, , 則濃度所滿足的方程形式和熱傳導(dǎo)則濃度所滿足的方程形式和