物理競賽中的數(shù)學知識(共16頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上物理競賽中的數(shù)學知識一、重要函數(shù)1 指數(shù)函數(shù)2 三角函數(shù)3 反三角函數(shù)反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x這些函數(shù)的統(tǒng)稱，各自表示其正弦、余弦、正切、余切為x的角。二、數(shù)列、極限1 數(shù)列：按一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項。排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第1項（通常也叫做首項），排在第二位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第2項排在第n位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第n項。數(shù)列的一般形式可以寫成 a1，a2，a3，an，a（n+1）， 簡記為an，通項公式：數(shù)列的第N項an與項的序數(shù)n之間的關系可以用一個公

2、式表示，這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式。2 等差數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。通項公式an=a1+(n-1)d，前n項和等比數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示。通項公式an=a1q (n-1)，前n項和所有項和3 求和符號4 數(shù)列的極限：設數(shù)列,當項數(shù)無限增大時,若通項無限接近某個常數(shù),則稱數(shù)列收斂于A,或稱A為數(shù)列的極限,記作否則稱數(shù)列發(fā)散或不存在.三、函數(shù)的

3、極限：在自變量x的某變化過程中，對應的函數(shù)值f(x)無限接近于常數(shù)A，則稱常數(shù)A是函數(shù)f(x)當自變量x在該變化過程中的極限。設f(x)在x>a(a>0)有定義,對任意e>0,總存在X>0,當x>X時，恒有| f(x)-A|<e，則稱常數(shù)A是函數(shù)f(x)當x®+¥時的極限。記為f(x)=A，或f(x) ® A(x®+¥)。運算法則f(x)± g(x)=f(x) ±g(x)f(x) × g(x)=f(x) ×g(x)，其中g(x)¹ 0.四、無窮小量與無窮大量1

4、若，則稱是時的無窮小量。（若則稱是時的無窮大量）?；颍喝鬭(x)=0 ,則稱a(x)當x® x0時為無窮小。在自變量某變化過程中，|f(x)|無限增大，則稱f(x)在自變量該變化過程中為無窮大。記為 2無窮小量與無窮大量的關系無窮小量的倒數(shù)是無窮大量；無窮大量的倒數(shù)是無窮小量。3無窮小量的運算性質（i）有限個無窮小量的代數(shù)和仍為無窮小量。（ii）無窮小量乘有界變量仍為無窮小量。（iii）有限個無窮小量的乘積仍為無窮小量。4無窮小的比較定義：設a (x)=0，b (x)=0，1)若=0，則稱當x® x0時b (x)是比a (x)高階無窮小。2)若=¥，則稱當x

5、74; x0時b (x)是比a (x)低階無窮小。3)若=C(C¹0)，則稱當x® x0時b (x)與a (x)是同階無窮小，4)若=1,則稱當x® x0時b (x)與a (x)是等價無窮小。5常用的等價無窮小為：當x®0時： sin xx，tan xx，arcsin xx，arctan xx，1-cos x， 。等價無窮小可代換五、二項式定理1 階乘：n!=1×2×3××n2 組合數(shù)：從m個不同元素中取出n（nm）個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從m個不同元素中取出n個元素的組合數(shù)3 二項式定理即六、常用三角函數(shù)公式

6、sin（）sin cos（）cos tan（）tansin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot 和差化積公式 積化和差公式 萬能公式 典型物理問題數(shù)列極限等應用1 螞蟻離開巢穴沿直線爬行，它的速度與到蟻巢中心的距離成反比，當螞蟻爬到距巢中心距離L1=1m的A點處時，速度是V1=2cm/s。 試問螞蟻繼續(xù)由A點到距巢中心L2=2m的B點需要多長時間？2 常見近似處理1 人在岸上以v0速度勻速運動，如圖位置時，船的速度是多少？2 如圖所示，頂桿AB可在豎直滑槽K內(nèi)滑動，其下端由凹輪M推動，凸輪繞O軸以勻角速度轉動.在圖示的瞬時，OA=r，凸輪輪緣與A接觸，法線n與OA之間的夾

7、角為，試求此瞬時頂桿AB的速度.(第十一屆全國中學生物理競賽預賽試題)3三個芭蕾舞演員同時從邊長為L的正三角形頂點A,B,C出發(fā)，速率都是v，運動方向始終保持著A朝著B,B朝著C,C朝著A。經(jīng)過多少時間三人相遇？每人經(jīng)過多少路程？4 如圖所示，半徑為R2的勻質圓柱體置于水平放置的、半徑為R1的圓柱上，母線互相垂直，設兩圓柱間動摩擦因數(shù)足夠大，不會發(fā)生相對滑動，試問穩(wěn)定平衡時，R1與R2應滿足什么條件? 5.一只狐貍以不變的速度沿著直線AB逃跑，一只獵犬以不變的速率追擊，其運動方向始終對準狐貍.某時刻狐貍在F處，獵犬在D處，F(xiàn)DAB，且FD=L，如圖141所示，求獵犬的加速度的大小.解析：獵犬的

8、運動方向始終對準狐貍且速度大小不變，故獵犬做勻速率曲線運動，根據(jù)向心加速度為獵犬所在處的曲率半徑，因為r不斷變化，故獵犬的加速度的大小、方向都在不斷變化，題目要求獵犬在D處的加速度大小，由于大小不變，如果求出D點的曲率半徑，此時獵犬的加速度大小也就求得了. 獵犬做勻速率曲線運動，其加速度的大小和方向都在不斷改變.在所求時刻開始的一段很短的時間內(nèi)，獵犬運動的軌跡可近似看做是一段圓弧，設其半徑為R，則加速度其方向與速度方向垂直，如圖141甲所示.在時間內(nèi)，設狐貍與獵犬分別 到達，獵犬的速度方向轉過的角度為/R而狐貍跑過的距離是： 因而/R/L，R=L/所以獵犬的加速度大小為=/L6如圖所示，半徑為

9、R，質量為m的圓形繩圈，以角速率繞中心軸O在光滑水平面上勻速轉動時，繩中的張力為多大？解析 取繩上一小段來研究，當此段弧長對應的圓心角很小時，有近似關系式若取繩圈上很短的一小段繩AB=為研究對象，設這段繩所對應的圓心角為，這段繩兩端所受的張力分別為和（方向見圖143甲），因為繩圈勻速轉動，無切向加速度，所以和的大小相等，均等于T. 和在半徑方向上的合力提供這一段繩做勻速圓周運動的向心力，設這段繩子的質量為，根據(jù)牛頓第二定律有：；因為段很短，它所對應的圓心角很小所以將此近似關系和代入上式得繩中的張力為7 在某鉛垂面上有一固定的光滑直角三角形細管軌道ABC，光滑小球從頂點A處沿斜邊軌道自靜止出發(fā)自

10、由地滑到端點C處所需時間，恰好等于小球從頂點A處自靜止出發(fā)自由地經(jīng)兩直角邊軌道滑到端點C處所需的時間.這里假設鉛垂軌道AB與水平軌道BC的交接處B有極小的圓弧，可確保小球無碰撞的拐彎，且拐彎時間可忽略不計. 在此直角三角形范圍內(nèi)可構建一系列如圖144中虛線所示的光滑軌道，每一軌道是由若干鉛垂線軌道與水平軌道交接而成，交接處都有極小圓?。ㄗ饔猛希?，軌道均從A點出發(fā)到C點終止，且不越出該直角三角形的邊界，試求小球在各條軌道中，由靜止出發(fā)自由地從A點滑行到C點所經(jīng)時間的上限與下限之比值.解析 直角三角形AB、BC、CA三邊的長分別記為 、，如圖144甲所示，小球從A到B的時間記為，再從B到C的時間

11、為，而從A直接沿斜邊到C所經(jīng)歷的時間記為，由題意知，可得：=3：4：5，由此能得與的關系.因為所以因為：=3：4，所以 小球在圖144乙中每一虛線所示的軌道中，經(jīng)各垂直線段所需時間之和為，經(jīng)各水平段所需時間之和記為，則從A到C所經(jīng)時間總和為，最短的對應的下限，最長的對應的上限小球在各水平段內(nèi)的運動分別為勻速運動，同一水平段路程放在低處運動速度大，所需時間短，因此，所有水平段均處在最低位置（即與BC重合）時最短，其值即為，故= 的上限顯然對應各水平段處在各自可達到的最高位置，實現(xiàn)它的方案是垂直段每下降小量，便接一段水平小量，這兩個小量之間恒有，角即為ACB，水平段到達斜邊邊界后，再下降一小量并接

12、一相應的水平量，如此繼續(xù)下去，構成如圖所示的微齒形軌道，由于、均為小量，小球在其中的運動可處理為勻速率運動，分別所經(jīng)的時間小量與之間有如下關聯(lián)：于是作為之和的上限與作為之和的之比也為故的上限必為，即得：這樣=7:5求導與微分一、導數(shù)的概念1導數(shù)定義 設y=f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義,在該鄰域內(nèi)給自變量一個改變量,函數(shù)值有一相應改變量,若極限存在,則稱此極限值為函數(shù)y=f(x)在x0點的導數(shù),此時稱y=f(x)在x0點可導,用表示.若在集合D內(nèi)處處可導（這時稱f(x)在D內(nèi)可導）,則對任意,相應的導數(shù)將隨的變化而變化,因此它是x的函數(shù),稱其為y=f(x)的導函數(shù),記作.2導數(shù)的幾何意義若函數(shù)

13、f(x)在點x0處可導,則就是曲線y=f(x)在點（x0,y0）處切線的斜率,此時切線方程為.當=0,曲線y=f(x)在點（x0,y0）處的切線平行于x軸,切線方程為.若f(x)在點x0處連續(xù),又當時,此時曲線y=f(x)在點（x0,y0）處的切線垂直于x軸,切線方程為x=x0.1幾個基本初等函數(shù)的導數(shù) 2導數(shù)的四則運算（1）；（2）；（3）；（4）二、微分1微分的概念設在的某鄰域內(nèi)有定義,若在其中給一改變量,相應的函數(shù)值的改變量可以表示為其中A與無關,則稱在點可微,且稱A為在點的微分,記為是函數(shù)改變量的線性主部.在可微的充要條件是在可導,且.當時,可得,因此由此可以看出,微分的計算完全可以借

14、助導數(shù)的計算來完成.（2）微分的幾何意義 當由變到時,函數(shù)縱坐標的改變量為,此時過點的切線的縱坐標的改變量為dy.如圖2-1所示.當dy<時,切線在曲線下方,曲線為凹弧.當dy>時,切線在曲線上方,曲線為凸弧.2微分運算法則設可微,則三、不定積分1不定積分概念【定義】(原函數(shù)) 若對區(qū)間I上的每一點x,都有則稱F（x）是函數(shù)f(x)在該區(qū)間上的一個原函數(shù).原函數(shù)的特性 若函數(shù)f(x)有一個原函數(shù)F(x),則它就有無窮多個原函數(shù),且這無窮多個原函數(shù)可表示為F（x）+C的形式,其中C是任意常數(shù).【定義】(不定積分) 函數(shù)f(x)的原函數(shù)的全體稱為f(x)的不定積分,記作.若F(x)是f

15、(x)的一個原函數(shù),則2不定積分的性質（1）積分運算與微分運算互為逆運算.（2）（3）3基本積分公式 四、定積分【定義】(定積分) 函數(shù)在區(qū)間a,b上的定積分定義為，【定理】(牛頓-萊布尼茨公式) 若函數(shù)在區(qū)間a,b上連續(xù)，是在a,b上的一個原函數(shù)，則.上述公式也稱為微積分基本定理,是計算定積分的基本公式.常見應用1 一石砌堤，堤身在基石上，高為h，寬為b，如圖所示。堤前水深等于堤高h，誰和堤身的單位體積重量分別為q和，問欲防止堤身繞A點翻倒，比值b/h應等于多少？2一個半徑為四分之一的光滑球面置于水平桌面上球面上有一條光滑均勻的勻質鐵鏈，一端固定于球面頂點A，另一段恰好與桌面不接觸，且單位長度鐵鏈的質量為p，求鐵鏈A端所受到拉力以及鐵連所受球面的支持力3質量為m的均勻橡皮圈處于自然狀態(tài)下的半徑為r1，彈性系數(shù)為k?，F(xiàn)將它保持水平套在半徑為r2的豎直圓柱上（r2r1），套上后橡皮圈的質量分布仍是均勻的，橡皮圈與柱面之間的靜摩擦因數(shù)為。現(xiàn)在圓柱體繞豎直軸轉動