定積分典型例題20例答案匯編

1、定積分典型例題20例答案例 1 求 lim (3 孑 2f (x -1) 3x =1,2n J| 3 n3).n廠n分析將這類問題轉(zhuǎn)化為定積分主要是確定被積函數(shù)和積分上下限.若對(duì)題目中被積函數(shù)難以想到，可采取如下方法：先對(duì)區(qū)間0, 1 n等分寫出積分和，再與所求極限相比較來(lái)找出被積函數(shù)與積分上下限.解 將區(qū)間0, 1 n等分，則每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)為二1,然后把4 =丄-的一個(gè)因子-乘nn n nn入和式中各項(xiàng)于是將所求極限轉(zhuǎn)化為求定積分即lim 4(曲 +審2n_.1 sin2tcostdt=2 :、1 sin2tcostdt2 22例3(1)若f (x) e丄x +|+卅)=1計(jì)氣卩弋F + 山

2、+；F)=壞dx= 門一丿 nn n n , n n 042 2例 2 J2xxdx=2盯解法1由定積分的幾何意義知，0 J2xx2dx等于上半圓周(x1)2+y2=1 ( y X0)與x軸所圍成的圖形的面積.故彳2x 一x2dx= 02解法2本題也可直接用換元法求解.令x_1 = sint (丄蘭t蘭三),則2-x dx =：'：.2-= 202 cos tdt=22 2dt ,則 f(X)= ; (2)若 f(x)二x0xf (t)dt ,求 f(X)= 分析(2).4(1) f(x) = 2xe由于在被積函數(shù)中丄2-e;x不是積分變量，故可提到積分號(hào)外即xf(X)=x 0 f (

3、t)dt，則這是求變限函數(shù)導(dǎo)數(shù)的問題，禾U用下面的公式即可v(x)d v(x) f (t)dt = fv(x)v(x) -fu(x)u (x) dx u(x)可得.xf (x) = 0 f (t)dt xf(x) 例4設(shè)f (x)連續(xù)，且x3 -10 f (t)dt =x，貝y f(26)=乂3丄解 對(duì)等式;f(t)dt =x兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得故 f(x3，令_1 =26 得 x=3，所以 f(26)=127x函數(shù)F(x)=(3.一)dt (x . 0)的單調(diào)遞減開區(qū)間為1 1 11解F(x)" %，令Fg°得x 3，解之得°兀9，即(0,9)為所求°x例

4、 6 求 f (x) = 0 (1t)arctan tdt 的極值點(diǎn).解由題意先求駐點(diǎn).于是f (x) = (1 _x)arctan x .令f (x) = 0 ,得x =1 , x =0 .列表如下：x(皿,0)0(0,1)1(1,亦)f (x)-0+0點(diǎn)，x =0為極小值點(diǎn).故x =1為f (x)的極大值例7已知兩曲線y =f (x)與y =g(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線相同，其中arcs inx 十2g(x) = 0 e dt, x 一1,1,試求該切線的方程并求極限lim nf (3).n性n分析 兩曲線y=f(x)與y=g(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線相同，隱含條件f(0)=g(0),

5、f (0g (0).解由已知條件得0 t2f(0) =g(0) = °e dt =0 ,且由兩曲線在(0,0)處切線斜率相同知-(arcsin x)2 e f(0)=g(0)2=1 .x -0故所求切線方程為 y =x .而聊33f(-f (0)(=3f (0) =3 .3 -0n分析x2sin2 tdt回0 ：t(t -sint)dt '該極限屬于0型未定式，可用洛必達(dá)法則.0x224x3i sin tdt . 2x(sin x2)2(x2)2(匚=lim=(-2) lim=(一2) limt(t_si nt)dt t(T)x(x-s inx)xT x-s inxi

6、6;1 - cosx12x2 =(2) lim =0 .X： si nx注此處利用等價(jià)無(wú)窮小替換和多次應(yīng)用洛必達(dá)法則.x t2例9 試求正數(shù)a與b，使等式lim' . dt =1成立.7 x bsin x ° 后產(chǎn)分析 易見該極限屬于 0型的未定式，可用洛必達(dá)法則.0解lim 127 x b sin xJa 彳2xdt = lim a x = lim2x-° 1 -b cosx7 Ja +x22x1 -bcosx1.八.lim1 ,.a x 01bcosx由此可知必有1叫(1 -bcosx) = 0 ,得b =1 .又由1 -lim a x01 -cosx得a =4

7、 .即a = 4 , b =1為所求.si nx234例 10 設(shè) f (x) sin t dt, g(x) = x x，則當(dāng)2a =1，0 時(shí)，f (x)是 g(x)的( ).A .等價(jià)無(wú)窮小. B .同階但非等價(jià)的無(wú)窮小.解法1由于 愉型=lim sin(sincosxxT g(x)C.高階無(wú)窮小.D .低階無(wú)窮小.3x2 亠 4x3cosx sin(sin x)= limlimx 03 4x x 101x21lim3 x 0 x23故f (x)是g(x)同階但非等價(jià)的無(wú)窮小.選B .解法2將sint2展成t的幕級(jí)數(shù)，再逐項(xiàng)積分，得到f (t2)3 Hdt =fsin3x -舟3!342s

8、in x 2f(x t2sin7x |l),lim =limxo g(x)x_o.311. 4sin x( sin x )3 342 4limx3 - x4x_osin4x l|l421 x=132例11計(jì)算.Jx|dx .分析 被積函數(shù)含有絕對(duì)值符號(hào)，應(yīng)先去掉絕對(duì)值符號(hào)然后再積分.2 2_ _50 = _22202x2 0 xx|dx = *(x)dx0xdx = 一刁注 在使用牛頓-萊布尼茲公式時(shí)，應(yīng)保證被積函數(shù)在積分區(qū)間上滿足可積條件.如二丄，則是錯(cuò)誤的.錯(cuò)誤的原因則是由于被積函數(shù)A在x=0處間斷且在被6x2積區(qū)間內(nèi)無(wú)界1例 12 設(shè) f(x)是連續(xù)函數(shù)，且 f (x) =x+3 0 f

9、 (t)dt，貝U f(x)= .b 分析本題只需要注意到定積分f(x)dx是常數(shù)(a, b為常數(shù)).1 1解 因f (x)連續(xù)，f (x)必可積，從而0 f (t)dt是常數(shù)，記f(t)dt=a，則1 1f(x)=x 3a，且 o(x 3a)dx = o f (t)dt =a .所以1 2 1 1x2 3ax0 = a，即卩 3a = a ,2 213從而a ，所以 f(x) =x 4421 2x + x 例 13 計(jì)算 1 2xx2dx .分析由于積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此首先應(yīng)考慮被積函數(shù)的奇偶性.2 21 2x x1 2x1 xdx =dx j 1 -x211 -x2j 1 -x2由于

10、2x21 f1 _x2是偶函數(shù)，而1 . 1匚X2是奇函數(shù)，有dx =0 ,于是1 2x2 x / dx = 41 Wx2J%7dx=41x2(1L)dx = 4 0dx_4LLdx由定積分的幾何意義可知1 .1 _x2dx,故041dx =4 0 dx -4ji4 -二421 2x x丄1 一1 -X2例14計(jì)算d f (x2 -t2)dt，其中f (x)連續(xù).分析要求積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，但被積函數(shù)中含有x ,因此不能直接求導(dǎo)，必須先換 元使被積函數(shù)中不含 x,然后再求導(dǎo).解由于x 221 x 2220tf(x -t )dt = 2 ,0f(x -t )dt .故令 x2 -t2 二u ,當(dāng)

11、 t =0 時(shí) U =x2 ；當(dāng) t =x 時(shí)U =0，而 dt2 二 Yu，所以x 22101 x20tf (x -1 )dt =? x2 f(u)(-du)=： 0 f (u)du ,故d x 22d 1 x21220tf (x -t )dt= 0 f (u)du = f(x ) 2x = xf (x ).dx 0dx 2 0錯(cuò)誤解答 2 ftf(x2 t2)dt =xf(x2 x2)=xf(0). dx 0錯(cuò)解分析這里錯(cuò)誤地使用了變限函數(shù)的求導(dǎo)公式，公式d x 門(x) a f(t)dt = f (X) dx掃中要求被積函數(shù)f(t)中不含有變限函數(shù)的自變量x，而f(X2t2)含有x，因此

12、不能直接求導(dǎo)，而應(yīng)先換元.n例 15 計(jì)算 °3 xsinxdx .分析 被積函數(shù)中出現(xiàn)幕函數(shù)與三角函數(shù)乘積的情形，通常采用分部積分法.TLH4 codsx )：xs in xd x Q3xc( cosx )x6 0 2 6例16計(jì)算分析被積函數(shù)中出現(xiàn)對(duì)數(shù)函數(shù)的情形，可考慮采用分部積分法.i|n (1 亠 x) i111 i 10右dx= 0ln(1 X)d(L)=廠1n(1 x)00右1(1 x)dx=-ln 2 _打(丄24 0 1 x)dx3 x= l|n 2 -丄1 n3 .24n例 17 計(jì)算：ex sin xdx .分析 被積函數(shù)中出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積的情形通常要多

13、次利用分部積分法._J_JT解 由于 o2 ex sin xdx = o2sin xdex =ex sin x2 - o2ex cosxdxn jr=e2!2 ex cos xdx ,(1)o2 ex cosxdx2 cosxdeex cosxo - o2 ex (-sinx)dxn= .02ex sin xdxT ,將（2）式代入（1）式可得 in xdx 事-o2 esin xdx 1,o2 e sin xdx =1例 18 計(jì)算 0 xarcsinxdx .分析 被積函數(shù)中出現(xiàn)反三角函數(shù)與幕函數(shù)乘積的情形，通常用分部積分法.1 1；xarcsinxdx = 0 arcsinxd2 2 1

14、 2(才)=今 arcsinx0 - 0 x d (arcsinx)2 a2x2 dx .-x(1)令 x =sint，貝U1 x2y2 dx2 -聖丄dsint1 -si n2t切 costdt cost二詐 n2tdt2 cos2t=o 2sin 2t 2 二亍0蔦(2)將（2）式代入（1）式中得xarcs in xdx =8例19設(shè)f（x）0,n上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f 5）=3且f（x） + f “（x）cosxdx=2 ,求廠（0分析被積函數(shù)中含有抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式，可考慮用分部積分法求解.解 由于 玳 f (x) + f "(x)cos xdx = f (x)d sin x + (cosxdf "(x)= f (x)sin x f -f (x)sin xdx + f &q