微分方程的例題分析及解法

1、如文檔對(duì)你有用，請(qǐng)下載支持!微分方程的例題分析及解法本單元的基本內(nèi)容是常微分方程的概念，一階常微分方程的解法，二階常微分方程的解法，微分方程的應(yīng)用。一、常微分方程的概念本單元介紹了微分方程、常微分方程、微分方程的階、解、通解、特解、初始條件等基本概念，要正確理解這些概念；要學(xué)會(huì)判別微分方程的類型，理解線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理。二、一階常微分方程的解法本單元介紹了三種類型的一階微分方程的求解方法：變量可分離型，齊次型，線性方程。對(duì)于一階微分方程，首先要看是否可以經(jīng)過恒等變形將它的變量分離；對(duì)于一階線性微分方程，先用分離變量法求解其相應(yīng)的齊次方程，再用常數(shù)變易法求解非齊次方程；當(dāng)然也可直接代下列通

2、解公式：齊次型微分方程令u=Y,則方程化為關(guān)于未知數(shù)u與自變量x的變量可分離的微分方程。x三、二階微分方程的解法1 .特殊類型的二階常微分方程本章介紹了三種特殊類型的二階方程的求解方法：(1) y*=f(x),直接積分；(2) y"=f(x,y')，令y'=p,(3) y"=f(y,y),令y'=p，則y$=dppdy這三種方法都是為了“降價(jià)”，即降成一階方程。2 .二階線性常系數(shù)微分方程二階線性常系數(shù)微分方程求解的關(guān)鍵是：(1)特征方程對(duì)于相應(yīng)的齊次方程，利用特征方程求通解：(2)對(duì)于非齊次方程，根據(jù)下列形式自由項(xiàng)的特點(diǎn)和f(x)=eaxp(x)c

3、osPx+pn(x)sinBx】設(shè)置特解y用的形式，然后使用待定系數(shù)法。四、微分方程的應(yīng)用求解應(yīng)用問題時(shí)，首先需要列微分方程，這可根據(jù)有關(guān)科學(xué)知識(shí)，分析所研究的變量應(yīng)該遵循的規(guī)律，找出各量之間的等量關(guān)系，列出微分方程，然后根據(jù)微分方程的類型的用相應(yīng)的方法求解，還應(yīng)注意，有的應(yīng)用問題還含有初始條件。、疑難解析(一)一階微分方程1 .關(guān)于可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程是一階微分方程中的一種最簡(jiǎn)單的方程，形如fi(x)gi(y)dx+f2(x)g2(y)dy=0(1)的微分方程稱為變量可分離的微分方程，或稱可分離變量的微分方程，若f2(x)gi(y)#0,則方程(1)可化為變量已分離的方程

4、兩端積分，即得(1)的通解：G(y)=F(x)+C(2)(2)式是方程(1)的通解(含有一個(gè)任意常數(shù))，但不是全部解，用分離變量法可求出其通解為y=sin(x+c),但顯然y=±1也是該方程的解，卻未包含在通解中，從這個(gè)例子也可以理解通解并不是微分方程的全部解，本課程不要求求全部解。有些看上去不能分離變量的微分方程，通過變量代換可以化為可分離變量的方程來求解。如齊次型微分方程。y'=f(工)或電=f(-)(3)xdxx可用代換y=ux化為兩端同時(shí)積分即可求解。(2)關(guān)于一階線性微分方程。一階線性微分方程是指形如y'+p(x)y=q(x)(4)的方程，其中p(x)、q(

5、x)是已知函數(shù)，其特點(diǎn)是y,y'都以一次哥的形式出現(xiàn)在方程中，求它的通解時(shí)，即可以用公式-p(x)dxp(x)dxy=e(fq(x)ebdx+C)(5)來求，也可以用常數(shù)變易法來求，即通過分離變量法先求出齊次線性方程一p(x)dx、一p(x)dx的通解=Ce，再令C來未知函數(shù)C(x),將y=C(x)e代入一p(x)dx方程(4),求出C(x),最后得到所求通解y=C(x)eJ。有的方程把x看作未知函數(shù)，y看作自變量時(shí)成為一階線性微分方程，如方程可變形為關(guān)于x=x(y)的一階線性非齊次方程如同一些方程用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q可化成可分離變量方程求解一樣，有些方程用變量代換可以化成一階線性非齊次方

6、程，如伯努利方程。y'+p(x)y=q(x)yn,(n#0,1)用代換z=y1則化為z'+(1-n)p(x)z=(1一n)q(x)(二)關(guān)于常數(shù)變易法所謂常數(shù)變易法就是將相應(yīng)的線性齊次微分方程通解中的常數(shù)C變?yōu)榇ê瘮?shù)C(x),然后代入線性非齊次微分方程中，求出C(x),從而得到線性非齊次微分方程通解的方法。常數(shù)變易法的關(guān)鍵是如何確定C(x)，由于y'+p(x)y=0的通解為y=Ce4P(x)dx(1),(一p(x)dx將常數(shù)C用C(x)代換，設(shè)y=C(x)el為方程y'+p(x)y=q(x)的通解，將其代入方程中，就得到關(guān)于待定函數(shù)C(x)的導(dǎo)數(shù)C'(

7、x)應(yīng)滿足的方程，即C(x)eTP(x)dx=q(x)(*)(*)式是求C(x)過程中重要的一步，應(yīng)記住這個(gè)表達(dá)式，事實(shí)上，它的左端是將通人一p(x)dx解y=C(x)e中的C(x)換成C'(x),右端是原方程中右端頂(非齊次項(xiàng))將(*)式變形，再求積分就得到C(x)。y21nx例求y-=-的通解。xx1 2lnxy斛這一階線性萬(wàn)程，p(x)=-一,q(x)=。相應(yīng)的齊次方程y-2=0的xxx通解為y=Cx。設(shè)非齊次方程的通解為y=C(x)x,代入原方程，得2 2一一所求通斛為面y=(lnx,-C)x=2xlnx2Cxxx(三)可降階的特殊本章所研究的二階微分方程主要有兩類：一是可降價(jià)

8、的二階微分方程，它的形式及相應(yīng)的解法見表8-1:表8-1可降階的二階微分方程及求解方法方程形式求解方法積分得y'=f(x)dx+C，再積分，得通解。設(shè)yjp,則yp方程化為p'=f(x,p)設(shè)y'=p,則/5曲，方程化為dy(四)二階線性常系數(shù)微分方程y"=py+qy=f(x)(其中p,q為常數(shù))當(dāng)f(x)=0時(shí)稱為齊次的，此時(shí)通解依特征方程九2+p九+q=0的特征根兒，九2而定(見教材表8-6-1),當(dāng)f(x)第0時(shí)，稱為非齊次的。它的通解可寫成其中y是該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，而y”是該方程的一個(gè)特解。一般說來，求特解y”并不是件容易的事情，但當(dāng)右端項(xiàng)f

9、(x)為某些特殊形式函數(shù)時(shí),特解y”具有相應(yīng)的特殊形式，如表8-2所示。這時(shí)可用特定系數(shù)法來求出y表8-2非齊次項(xiàng)f(x)的形式特征方程的根特解y*的形式f(x)是n次多項(xiàng)式0不是特征根(即q#0時(shí))0是特征方程的單根(即q=0時(shí)0是特征重根，(即p=q=o時(shí))y=邛(x)W(x)是與f(x)同次的多項(xiàng)式即f(x)是指數(shù)函數(shù)與多項(xiàng)式乘積a不是特征根a是單特征根a是重特征根Qm(x)是與Pm(x)同次的多項(xiàng)式士ico不是特征根士is是特征根A(x)、B|(x)都是l次多項(xiàng)式a±i不是特征根a±i6是特征根從表8-2可以看出，特解y*的設(shè)法與非齊次項(xiàng)f(x)的形式基本是相同的，

10、只不過依a不是特征根、是單根、是重根時(shí)，依次再分別乘以一個(gè)xk因子(k=0,1,2)。解題時(shí)首先應(yīng)設(shè)定特解y*的形式，注意其中的未知多項(xiàng)式中(x)或Qm(x)或A(x),Bl(x)的次數(shù)的確定方法；設(shè)定未知多項(xiàng)式的系數(shù)后，將y”代入原方程，用待定系數(shù)法確定未知系數(shù)。(五)關(guān)于特征根法特征根法不僅可用于二階線性常系數(shù)齊次微分方程通解，也可用于求高階線性常系數(shù)齊次微分方程通解，即(1)若九是單實(shí)根，則通解中含加Cie'x(2)若九是m重實(shí)根，則通解中含加項(xiàng)(Ci+C2x+Cmxm_1)e'x(3)若九=a±i口是共軻復(fù)根，則有通解中含加項(xiàng)eax(c1cosBx+C2sin

11、Bx)根據(jù)上述這些加項(xiàng)，就可寫出方程的通解形式。例如求方程y_2y*'+2y*_2y，+6y=0的通解。其求特征方程是分解因式為(九一1)2(片+1)=0_特征根為'1-'2-1,'3,4-i因?yàn)?=1是二重根，所以通解中含加項(xiàng)（C+C2x）ex；因?yàn)?4=±i是一對(duì)共軻復(fù)根,所以通解中含加項(xiàng)C3COSX+_C4Sinx,從而得到原方程的通解為、例題分析例1為下列各題選擇正確答案：（1）下列微分方程中，是二階線性微分方程的為（a.(y)2yy二x2b.(y)+2y=cosxcyy=2y.xy_5y3x2y=ln2x（2）下列微分方程中,）所給的函數(shù)是通

12、解?！?xA. y = ，y = x ； yx22c2B.y=_,xy=Cyx22D.y=一一,x+yy（3）下列微分方程中為可分離變量方程的是（adx.A.=xt+1;dtdx2C.=xt+t；dtdx一x=esint；dtdx2.2=x+t；dt(4)微分方程y2yy5cosx的特解形式應(yīng)設(shè)為A.Cexcosx；.ex(Cicosx+C2sinx)；C.xe"(C1cosx+C2sinx);D.x2e(C1cosx+C2sinx);（5）微分方程y”+y=0的通解為（）A. y =CexC2e*. y = (C1 C2x)e« ;C.y=Ccosx+C2sinx；d,y

13、=(C1+C2x)ex；“線性”是指未知解（1）微分方程的“階”是指方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù),函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)均以線性(一次)形式出現(xiàn)在方程中，由于，A、C中分別含有(y")2和y'y”項(xiàng)，都呈非線性形式，B中(y)2是一階導(dǎo)數(shù)，方程為一階方程，故只有選擇D正確，事實(shí)上，D51中方程可化成二階線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為yw-y+3xy=1lnx。xx(2)微分方程的通解是指所含獨(dú)立任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階相等的解。經(jīng)驗(yàn)證，所給四個(gè)答案中，AB、C是方程的解，但A、D中不含任意常數(shù)，說明它們是特解，不是通解，故選項(xiàng)B正確。(3)將方程進(jìn)行變量分離，可知dx,、一、，A為dx=t

14、(x+1)是可分離變量方程。BC、D均不能分離變量，故正確選擇是Ao(4)二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的特解形式與右端項(xiàng)的形式密切相關(guān)，此方程中右端項(xiàng)f(x)=e=cosx,因此特解y*應(yīng)設(shè)為y*=xke4(Cicosx十Czsinx),其中k由a+iP不是特征方程的根，是單根或是重根而分別設(shè)為0,1,2此題中a=-1,P=l,a+Pi不是特征根，因此特解應(yīng)設(shè)為y*=e'(C1COSx+C2Sinx),故正確的選項(xiàng)為B。(5)二階常系數(shù)線性齊次方程的通解與特征方程的根的形式密切相關(guān)。y“十y=0的特征根為九=古，是共軻復(fù)根，通解為三角函數(shù)形式y(tǒng)=C1cosx+C2sinx,故選項(xiàng)C正確

15、。例2在下列各題的空白處填寫正確答案：(1)通過點(diǎn)(1,1)處，且斜率處處為x的典線方程是。(2)二階微分方程y"=ex的通解是。(3)微分方程y*+y'=0滿足初始條件y(0)=1,y'(0)=1的特解為。(4)齊次方程y'=)+1的通解是。x解(1)斜率處處為x的曲線方程應(yīng)滿足積分得y'=1x2+C,代入條件y(1)=1,得C=1,故所求曲線方程是y=x2+1。2222(2)對(duì)y"=ex兩次積分，得y'=ex+C1,y=ex+C1x+C2,此為所求通解。(3)微分方程y"+y'=0的特征方程為九2+九=0,特征根

16、為=-1,%=0,通解為y=C1efC2將初始條件y(0)=1,y'(0)=1代入，得C1=1,C2=2,故所求特解為y=e7+2。如文檔對(duì)你有用，請(qǐng)下載支持!(4)設(shè)u=丫，則dy=udx+xdu,代入原方程中，得xdu=dx,u=lnCx,故所求通解為y=xlnCx例3判斷下列微分方程屬于哪種類型，并求出它們的通解或特解。(1)(exW_ex)dx+(ex4yey)dy=0;(2)y(x2y)dxx2dy=0；(3)(y.x2y2)dx-xdy=0,y(1)=02/,、.4xxy(4)y=2,y(0)=1y-xy分析這幾個(gè)方程都是一階微分方程，通過適當(dāng)變形來判斷它們的類型。解(1)

17、將方程變形，得這是變量可分離型方程，分離變量得兩端積分得：ln(ey-1)-ln(ex1)C1整理后得方程的通解為(2)觀察方程中dx、dy的系數(shù)，都是二次函數(shù)，故原方程為齊次方程。當(dāng)x#0時(shí)，各項(xiàng)除以x2,得令u=y,貝Uy=uxx代入方程中，得1兩漏積分得：-二-2lnx-C1uyx再將u二y代回，得-2lnx-C1xy于是方程的通解為(3)觀察方程中dx、dy的系數(shù)，都是一次函數(shù)(/x2+y2可看作是一次函數(shù))，因此方程為齊次方程。當(dāng)x>0時(shí)，將各項(xiàng)除以x,得令u=y,則y=uxx代入齊次方程中，得兩端積分，得將u=y代回，得x故滿足方程初始條件的特解為移項(xiàng)，兩端平方x2y2=(x

18、2_y)2整理后得y=1(x2-1)2此即為所求特解。(4)將方程變形，得此為變量可分離方程。分離變量，得兩端積分得ln(4y2)-ln(1_x2)lnC(4+y2)(1x2)=C(C為任意常數(shù))將初始條件y|x4=1代入，得C=5因此滿足方程初始條件的特解為例4判斷方程的類型，并求解：(1) ycosxysinx=1一2(2) xdy+(2xy-x+1)dx=0,y(1)=0(3) x3y(2-3x2)y=Qy(1)=1*(4)ylnydx十(xlny)dy=0(5)y-exex=0解(1)方程變形為這是一階線性非齊次方程方法一：用公式法這里p(x)=tanx,q(x)=secx,于是通解為

19、=sinx+Ccosx(C為任意常數(shù))方法二：用常數(shù)變易法先求出齊次方程y'+ytanx=0的通解；將y'+ytanx=0變形為dy=-tanxdx,兩端積分得y即齊次方程的通解為y=C1cosx(C1為任意常數(shù))設(shè)y=C(x)cosx,將其代入非齊次方程，得積分求得2C(x)= isec xdx =tanx C故所求方程的通解為y=(tanx+C)cosx=sinx+Ccosx(C為任意常數(shù))(2)方程變形為此為一階線性非齊次方程2.11用公式求斛：這里p(x)二一，q(x)=-,于是萬(wàn)程的通解為xxx1 1C=+f(其中C為任意常數(shù))2 xx21將初始條件y(1)=0代入，

20、得C=,因此方程滿足初始條件的特解為2(3)方程變形為這是一階線性齊次方程，用公式求通解為1將初始條件y(1)=1代入，得C因此方程滿足初始條件的特解為e*(4)將y看作自變量，x看作未知函數(shù)，則原方程是關(guān)于未知函數(shù)x=P(y)的一階線性非齊次方程。11這里P(y)=,q(y)=，于是通解為ylnyy1 c=-lny+(C為任息常數(shù))2 lny(5)該方程是一階非線性方程，是可分離變量型方程，原方程變形為x積分得_ln(ey_1)=ex+C,ey=1+Ceqex、故通解為y=ln(1+Ce)(C為任意常數(shù))小結(jié)(1)從上面的例子看出，判斷方程的類型是最基本的，分清類型才能確定求解的辦法，這不僅

21、是對(duì)一階微分方程而言的，對(duì)其它的微分方程也是如此。(2)對(duì)一階微分方程來說，如果它是形如y,=f(x)g(y)的方程，則屬于變量可分離方程；如果方程形如yr=f(),則屬于齊次方程。有些方程則需作適當(dāng)代換，化成上述兩x種類型。如y'=f(ax+by+c),u=ax+by+c,則可化成變量可分離的形式。(3) 一階線性微分方程是一階微分方程中比較基本而又重要的類型之一，它可以用公式-p(x)dxp(x)dxy=eLfq(x)e，dx+C求通解，也可以用常數(shù)變易法求通解，用公式法求通解時(shí)，要注意先把方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式y(tǒng)p(x)y=q(x)這親才能準(zhǔn)確地確定出p(x)、q(x)。用公式法求通解

22、時(shí)，要先求出齊次方程的通解_,"p(x)dxy=Ce,然后將常數(shù)C變成待定函數(shù)C(x),即令-p(x)dxy=C(x)e)為非齊次方程的通解，代入原方程求出C(x),將C(x)代回，這樣便得到方程的通解。(4) 一階線性非齊次方程的通解式可寫成下面兩項(xiàng)之和上式右端第一項(xiàng)是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程的通解，第二項(xiàng)是非齊次方程的一個(gè)特解(在通解式中取C=0便得到這個(gè)特解)。由此可知，一階線性非齊次方程的通解等于對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解與非齊次方程的一個(gè)特解之和。例5求下列微分方程的通解。(1)y"=xex(2)yy"-(y)2=0(3)(1+x2)y*=2xy：y(0)=0,yT

23、0)=3(4)y*=(y)3+分析這些都是可降價(jià)的二階微分方程式，可用變量代換的方法將它們化為一階微分方程來求解。解(1)方程右端不顯含y,y'，只把y'作為新未知函數(shù)，則方程就是關(guān)于y'的一階微分方程，兩邊積分，得再積分即得通解y=(xex-exC1)dx=xex-2exC1xC2(2)方程不顯含x,作代換p=y'，于是代入原方程，得ypdp-p2=0dy如果p#0,那么約去p并分離變量，得兩端積分并化簡(jiǎn)，得 p =C1y，即y = Gyln y = C1xln C2于是有分離變量并積分，得C1xy=C?e1如果p=0,那么從y'=p中可得y=C,顯然

24、它也是原方程的解，但y=C已被包含在解y=C2ec1x中了(僅Ci=0,就得到它)，所以原方程通解為(3)方程不顯得y,設(shè)y，=p,則y=p'代入方程并分離變量后，有2.兩漏積分，得Inp=ln(1+x)+InC1,即由條件y(0)=3,得C1=3,所以再積分，得3y=x3xC2由條件y(0)=1,得Ci=1于是所求的特解為y = x3 3x 1(4)方程僅含y'，不顯含y與x,設(shè)p = y',則y"= p型，代入原方程，得 dy當(dāng)p #0時(shí)，約去p并分離變量，得積分得arctan P = y C, P = tan(y C)將p = y '代入并分離變

25、量得積分得 In sin( y +C) = x + In C2 即于是原方程的通解為此題是中，若y"表示為p',即y"=p',那么代入原方程后也得到一個(gè)可分離變量方程。分離變量并積分得dp .2-二 dxp(p 1)1y 2xdx 二Ce"x -1exdx一C 二e2x一 x1=arcsin(C1e ) +C2 (其中 C1兩個(gè)計(jì)算結(jié)果是一致的小結(jié)從上面例子看出，方程（1）y*=f（x）直接積分兩次就可得到通解，而方程（2）和（3）則必須作代換后通過降價(jià)才能求通解，值得注意的是，對(duì)方程（2）和（3）所作的代換是相同的，即均為y'=p，但y“

26、的表達(dá)式卻是不同的，要根據(jù)方程中是含有x還是含有y而將y”分別表示成y"=p'（方程（3）情形，含x不含y）或y"=pdp（方程（2）情形，含dyy不含x）。例6求下列微分方程的通解：（1）y"+4y'+13y=0y"+5y'_6y=0分析這兩個(gè)是二階常系數(shù)線性齊次方程，寫出特征方程，求出特征根，根據(jù)特征根的不同情況，定出它們的通解。解（1）所給微分方程的特征方程是特征根九=-2±3,為一對(duì)共軻復(fù)根，因此所求通解為（2）所給方程的特征方程是特征根4=-6,九=1是兩個(gè)不相等的實(shí)根，因此所求通解為例7求初值問題的解。解所給

27、微分方程的特征方程為1 -特征根%2=-2是兩個(gè)相等的實(shí)根，因此所求方程的通解為：1將初始條件y（0）=1,y（0）=0代入，求得C1=1,C2=,因此初值問題的解為2例8求下列微分方程的通解（1） 2y"+5y'=5x2（2）y"-6y'+9y=（x2+1）e3x分析這是二階常系數(shù)線性非齊次方程，求通解y時(shí)，應(yīng)先求出對(duì)應(yīng)齊次方程的通解y,再根據(jù)右端函數(shù)的形式及特征根的情況，設(shè)出非齊次的方程的特解y*,則y+y”就是所求通解。解（1）先求齊次方程2y"+5y'=0的通解y,特征方程為2九2+5兒=0,特征根為_f.x故齊次方程通解為y=C1

28、,C2e2由于a=0是特征根（方程右端函數(shù)可看作是5x2e0x）,故特解設(shè)為注意：無(wú)論f（x）中有無(wú)了一次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)，在設(shè)y*時(shí)，其中的二次多項(xiàng)式Q2（x）中必須含有二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)。因?yàn)閥=3Ax22BxC代入方方程中，有比較兩邊同次哥的系數(shù)，得1_2-8從而求得A=,B=-,C=，所以原方程的一個(gè)特解是3525于是原方程的通解為(2)齊次方程y“6y'+9y=0的特征方程為特征根為兩個(gè)相符的實(shí)根兒=3,故齊次方程的通解為y=(C1+C2x)e3x由于a=3是重根，因此非齊次方程的特解形式為因?yàn)閥=3Ax4(4a3B)x3(3B3C)x22Cxe3x代入方程中，整理有比較兩端同

29、次哥的系數(shù)，有所以原方程的一個(gè)特解為于是原方程的通解為例9求下列方程的特解(1) y-8y16y=xe4x(2) y2y，2y=xe",y(0)=1,y(0)=0解(1)方程右端函數(shù)f(x)=x+e4x可看作是函數(shù)(*)=*與f2(x)=e4x之和,因此原方程的特解y*是下列兩個(gè)方程y"-8y，+16y=f1(x)=xy"-8y'+16y=f2(x)=x4x的特解y1與丫2.之和，即y：=y1,y2微分方程的特征方程為九2-8九+16=0,顯然0=0不是特征根，因此方程的特解設(shè)為FF計(jì)算y、y2并代入方程，有8A+16Ax+16B=x,一-1_1,-解出A

30、=，B=故方程的特解為1632由于人=4是二重特征根，因此方程的特解為rF計(jì)算丫2”、丫2”并代入方程有故方程的特解為于是原方程的一個(gè)特解為(2)特征方程為片+2兒+2=0,顯然a=1不是特征根，因此特解設(shè)為因?yàn)閥=(A-B-Ax)e*代入方程中，有(Ax-B)e4=xe",比較兩端同次哥系數(shù)，求得于是求得方程的一個(gè)特解經(jīng)驗(yàn)證知它不是滿足初始條件的特解為求滿足初始條件的特解，必須要先求出原方程的通解，由于原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為所以原方程的通解為將初始條件y(0)=1,y'(0)=0代入，求得故滿足初始條件的特解為由此例可以看出，如果僅求方程的一個(gè)特解，那么由待定系數(shù)法就

31、可以求出：若要求滿足初始條件的特解，則需先用特定系數(shù)法求出一個(gè)特解(此特解不一定滿足題給的初始條件)，這時(shí)應(yīng)先求出非齊次方程的通解，然后再代入初始條件，確定任意常數(shù)，這樣才能求得初值問題的解。例10求下列微分方程的一個(gè)特解。2x(1) y-4y4y=esin5x(2) y"-2y1：-3y=(x1)sinx(3) y_2y2y=4excosx解(1)特征方程為九24九+4=0,特征根為=%=2由于非齊次項(xiàng)f(x)=e2xsin5x,其中a=2戶=5,a±i=2+5i不是特征根，故特解設(shè)為其中AB是待定系數(shù)(注意：特解不能只設(shè)一項(xiàng)Ae2xsin5x),因?yàn)閒(x)應(yīng)看成是對(duì)特

32、解求導(dǎo)將y：y"'y，一同代入原方程，整理后得1比較兩端同類項(xiàng)系數(shù)，得A=0B=-,于是方程的一個(gè)特解為25(2)特征方程為片一2九一3=0,特征根兒1=3,%=-1,由于f(x)=(x+1)sinx屬于f(x)=eaxpl(x)cosPx+Qn(x)sinPx型，這里a=0,P=1,p(x)=0,故特解設(shè)為計(jì)算y"：y"有代入原方程，有比較兩端同項(xiàng)的系數(shù)，得由此解得于是求得一個(gè)特解為(3)特征方程為九2一2九十2=0,特征根九=1±i,由于f(x)=4excosx,屬于f(x)=eax型，這里a=1,P=1,p1(x)=4,n(x)=0，由于a

33、+iP是單特征根，故特解設(shè)為為求導(dǎo)計(jì)算方便，設(shè)u(x)=C1cosx+C2sinX,于將以上三式代入方程中，并考慮到u"=_u,u'=_C1sinx+C2cosx,于是有較同類項(xiàng)系數(shù)，得 C1 =0,C2=2,于是所求方程的一個(gè)特解為例11求方程y"+y'+y=cos2x的通解。2解將f(x)=sinx變形為于是原方程的通解y是齊次方程的通解y與下面兩個(gè)方程1cyyy=-cos2x的特解y和y2”的和，即y=y+y/十y2*2.一1.3特征萬(wàn)程為九2十九十1=0,特征根為h=直i,故方程的通解為22對(duì)方程來講，由于0不是特征根，故特解設(shè)為1 .1代入方程，斛

34、出A=，故y1=2 2對(duì)方程來講，由于a=0,P=2,a+iP不是特征根，故特解設(shè)為計(jì)算2、y2*并代入方程，整理得比較兩端同類項(xiàng)系數(shù)得一.31解出b1=一，B2=一，故2613所以原方程的通解為、哥級(jí)數(shù)解法求一階或二階微分方程通解常用的方法還有數(shù)值解法(如龍格一庫(kù)塔法)等，這些例子教材中已講得較詳細(xì)了，在此不贅述了，下面看一下關(guān)于微分方程的應(yīng)用問題舉例。例12求一曲線，使由其任一點(diǎn)的切線、二坐標(biāo)軸和過切點(diǎn)平行于縱軸的直線所圍成的梯形面積等于常數(shù)值3a2解列方程設(shè)p(x,y)是所求曲線y=f(x)上的任一點(diǎn)，則過該點(diǎn)的切線方程為Yy=y'(X*)或丫=y'(Xx)+y其中(X,

35、Y)是切線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)。于是由該切線、二坐標(biāo)軸及直線X=x所圍成的梯形面積為由已知條件S=3a2得即解方程這是一個(gè)線性非齊次方程， 用常數(shù)變易法求非齊次方程( 代入方程(*),整理后得積分，得2y y 一一6a2-2-x其對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為*)的通解，設(shè)通解為C(x)= -/dxn2a*)xx，一口,2a2o從而得到y(tǒng)=(rC)x2x即所求曲線方程為求解微分方程的應(yīng)用問題時(shí)，首先要列出方程，然后再求解。一般說來，列方程有有下述兩種方法：(1)根據(jù)有關(guān)科學(xué)知識(shí)，分析所研究的變量應(yīng)遵循的規(guī)律，找出各變量之間的等量關(guān)系，列出微分方程；(2)微元法：這種方法的基本思想是，把所研究的整體理加以“

36、細(xì)分”，取微元，分析變量在微元內(nèi)的變化情況，找出等量關(guān)系，再列出方程，具體做法是：將自變量x的取值區(qū)間細(xì)分，從中任取一小段dx,在微小區(qū)間x,x+dx上，示知函數(shù)看作是均勻不變的，于是可用微分dy近似代替函數(shù)y的改變量，在后根據(jù)物理定律列出方程。dx例13潛水艇下降過程中受到重力mg與阻力-k一的作用，于是運(yùn)動(dòng)方程為dt,2,dxdxmg-k一二m-dtdt2.2_.dm , dxmr k= mgdt dt這是二階線性非齊次方程，特征方程為k特征根為人=0,九=-一，故對(duì)應(yīng)的齊次萬(wàn)程的通解為mktx=CiC?em由非齊次項(xiàng)f(x)=mg,0是特征根，故方程的特建設(shè)為代入方程得kA=mg,A=m9,從而特解為kx-嗎xk由、知方程的通解為ktx(t)=C1C2e-mmgtk依題意，t=0時(shí)，x(0)=0,x'(0)=0,代入中有一2一2解出C2;寸。二一粵kk于是得到潛水艇下降的深度x與時(shí)間t的關(guān)系是三、自我檢測(cè)題(一)填空題1 .微分方程y*=x的通解為。2 .方程y'+2y=0的通解為。3 .方程y2y'-3y=xex的特解應(yīng)設(shè)為y*=。2324 .求萬(wàn)程y&q