第二章分段低次插值

1、2.6分段低次插值法例 設(shè)函數(shù)/(勸="-5,5*1 I 1A將-5z5n等份恥t +1個節(jié)點兀=-5 + ihfh = fi = 0幾A ,n n試就 =2,4,6,8,10/(x)的“次Zzzgugw插值多項式 并作圖比較.解： X =/() = T作nLagrange插值多項式厶=£>0冇(%-兀)1+卅兀)n = 2,4/6,8,101從上面例子可知，如果插值多項式的次數(shù)過高，可能產(chǎn)生 Runge現(xiàn)象，因此，在構(gòu)造插值多項式時常采用分段 插值的方法。二、分段線性Lagrange插值1.分段線性插值的構(gòu)造設(shè)插值節(jié)點為兀/函數(shù)值為x / i = O,1,A ,n%

2、 =兀+i -x fi = 0,1/2,A zn-l /z = max/zzi任取兩個相鄰的節(jié)點Xk,xk+1,形成一個插值區(qū)間xk/xk+1構(gòu)造Lagrange線性插值3x-xk+1丄xxk-兒+九+1Xk - Xk+1林+1 -耳= yklM + 兒+仏+id)k = 0,1,A ,n 140)«xo <X< Xjl厶（兀）=V即（X）M兀1 <x<x2M生1）（兀）Vi顯然厶（兀）=y , i = 0,1,A fn(1)(2)我們稱由（1）（2）式構(gòu)成的插值多項式厶（對為分段線性Lagrange插值多項式設(shè)X =為插值點若無x*無+1內(nèi)插則 / =厶（疋

3、）-xk+ %打林+1_卷_ v疋嫌+1_兒耳-耳+1外插取 * =厶（巧=40）（）X * 兀1%*-%0若疋 £X * X取y厶（巧=馬7（巧二兒“匚+兒口暫-5外插分段線性插值y =厶(x)的圖象實際上是連接點耳/”)/i = 0/1/A /的一條折線也稱折線插值，如右圖曲線的光滑性較差在節(jié)點處有尖點但如果增加節(jié)點的數(shù)量減小步長，會改善插值效果因此若/在切上連續(xù)則 燭厶=fM-4-3-2-10123V丨妙2.分段線性插值的誤差估計（H + 1）由第二節(jié)定理1可知次Lagrange插值多項式的余項為 恥）*（勸-恥）©+心）那么分段線性插值厶S）的余項為盡（對=/（兀）

4、一厶（對=兀無）（忑+）x&xkfxk+1,且歹與兀有關(guān)1a<x<bk1liWI 5 懇 may I f'x） I-max | （x-xJ（jr-+1）/ a<x<ba<x<bk111<-*M2-/z2 =-M.h28"222 4二、分段二次Lagrange插值丄分段二次插值的構(gòu)造分段線性插值的光滑性較差，且精度不高因此,當節(jié)點較多時，可根據(jù)情況構(gòu)造分段二次插值設(shè)插值節(jié)點為X）,函數(shù)值為 / i = 0,1,A ,n人=兀+i -xifi = 0,1,2, A ,n-lh = max hti任取三個相鄰節(jié)點Xk1以忑1 /兀+

5、1 為插值區(qū)間 構(gòu)造Lagrange二次插值於（兀）=yk-ilk-iM + 必（兀）+ 兒+iK） k = 1,2,A zn-l（兀一x-l）（x 耳+1）（兀一忑）（一兀+1） m（m）（m+J * % （忑-忑一1）（耳-忑+1）k = 1,2,A zn 1（兀忑1）（% 耳）（耳+1 耳-1）（耳+1 Xk）上式稱為分段二次Lagrange插值若x *為插值點,且h xk,xk+1顯然，插值區(qū)間無一1心+1和無，無+2都包含*那么 yjQCO 還是 y* = L+1）（x*）9一般若忑< X* < xk+1,且X *更接近無,則y* = L（x*）k = 1,2, A/ 1

6、若忑<x*< xk+1，且x *更接近兀+貝9丁* =鷹+1）（芒）k = 1,2, A/ 1若疋 < 小（含h < x0）,則y* =醐（勸若芒 > 和（含尸> xj,則r=駕7理）%* <觀和%* > £時使用的方法是外插10X外插兀0Xk-2-11X*1A罵T)(QX*X*1 1 r1無+1V1 百外插112.分段二次插值的誤差估計由于RnM = f（x）Pn（x）（zt + l）!那么分段二次插值厶（對的余項為人2（兀）=/（兀）一乙（兀）=/（x）-L（x）嚴（&二兀 W -1/+1/二池（X忑_）（兀一耳）（兀一忑+

7、1）且&與兀有關(guān)|7?2（兀）| <y-maxl/w（）l- max I（兀一J（兀一忑）（兀耳利）IO 心4耳_ <x<xk+kM3h327312V 妙例： 躊（兀）在各節(jié)點處的數(shù)據(jù)為I012| 345xi0.300.400.550.650.801.050.301630.410750.578150.696750.873351.18885= 0.36,0.42,0.75,0.98,1.1處的近似值（用分段線性、二 次插值），解：（1）.分段線性Lagrange插值的公式為爐k=O,l,A,n-l13/(036)q 40)(0.36)0.301630.36 0.403-

8、0.4+。邊75肺=0.36711/(0.42)=斗)(042) =0.410750.42-0.550.4-0.55+ 0578150.42 0.40.55-0.4=0.43307同理 f(0.75) u 閉)(0.75)= 0.81448f(0.98) « 理)(0.98) =1.10051L(4)(l.l) =0.87335i05 +1.18885-11-°，8- 0.8-1.051.05-0.8= 1.2519514（2）.分段二次Lagrange插值的公式為代（）=（兀一耳）（兀一無+1） *（兀一耳_1）（兀一林+1）“1' （耳“ 一忑）（忑一 1 一“

9、+J 氣忑一忑-J（嫌一無+J/(036)2閲)(036)=北（兀一耳_1）（兀一®）（耳+1一林-1）（耳+1一®）(0.36 - x1)(0.36 一 x2)+乃+力(0.36 一 x0)(0.36 一 x2)（勺一兀0）（“ 一勺）k =1,2,A ,一l(0.36 一 )(0.36 - 兀)=0.3668615f(0.42)=氏）（042）=溝(0.42 Xy )(0.42 電)+力(0.42 勺)(042 勺)（兀1 一兀o）（兀1 一吃）(0.42 勺)(042 勺)（兀2 一兀0）（兀2 一吃）=0.43281/(0.75) u爐(0.75)= (°.75“4)(075十)+(0-75-x3)(0.75-x5)(J% -兀4)(兀3 一兀5)(勺一兀5)(兀4 一兀5)(0.75 )(0.75 勺)=0.81343/(0.98) 冴)(098) =1.09784/(1.1)44)(1.1) =1.2551316分段