圓錐曲線解題技巧匯編

1、圓錐曲線解題技巧及例題匯編1、定義法(1 )橢圓有兩種定義。第一定義中，m+r2=2a。第二定義中，ri=edi2=ed2。(2) 雙曲線有兩種定義。第一定義中，幾-r2 =2a，當(dāng)ri>r2時，注意 匕的最小值為c-a:第二定義中，ri =edi，r2=ed2，尤其應(yīng)注意第二定義的應(yīng)用，常常將半徑與“點到準(zhǔn)線距離”互相轉(zhuǎn)化。(3) 拋物線只有一種定義，而此定義的作用較橢圓、雙曲線更大，很多拋物線問題用定義解決更直 接簡明。2、韋達(dá)定理法因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問 題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐

2、曲線問題的重點方法之一，尤其是 弦中點問題，弦長問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用。3、解析幾何的運算中，常設(shè)一些量而并不解解出這些量，利用這些量過渡使問題得以解決，這種方法稱為“設(shè)而不求法”。設(shè)而不求法對于直線與圓錐曲線相交而產(chǎn)生的弦中點問題，常用“點差法”，即設(shè)弦的兩個端點 A(Xi,yi),B(x2,y2),弦AB中點為M(xo,yo)，將點A、B坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，作差后，產(chǎn)生 弦中點與弦斜率的關(guān)系，這是一種常見的“設(shè)而不求”法，具體有：X2V2XV(1) r 耳=i(a b 0)與直線相交于 A、B，設(shè)弦AB中點為M(Xo,yo),則有一20k =0。aba

3、b2 2(2) X2 一 y2 =i(a 0,b0)與直線I相交于A、B，設(shè)弦AB中點為M(xo,yo)則有X； 一絞丘=：0a ba b(3) y2=2px ( p>0)與直線 I 相交于 A、B 設(shè)弦 AB 中點為 M(X0,y。),則有 2y°k=2p,即 yok=p.【典型例題】例1、(1)拋物線 C:y2=4x(2)拋物線C: y2=4x上一點上一點 P到點 A(3,42 )與到準(zhǔn)線的距離和最小，則點 P的坐標(biāo)為Q到點B(4,1)與到焦點F的距離和最小，則點Q的坐標(biāo)為。當(dāng)A、P、F三點共線時，距離和最小。(2) B在拋物線內(nèi)，如圖，作 QR丄I距離和最小。PF,則 P

4、H=PF，因而易發(fā)現(xiàn)，|H交于R，則當(dāng)B、Q、R三點共線時，分析：(1) A在拋物線外，如圖，連' /Q -p B /T"士（X-D31解:( 1)(2， 2 )連PF,當(dāng)A、P、F三點共線時， AP + PH =|AP +|PF最小，此時AF的方程為即y=2 . 2 (x-1),代入y2=4x得P(2,22 ),(注：另一交點為(丄，2)，它為直線AF與拋物線的另一交點,2舍去)1(2) ( ,1 )4過Q作QR丄I交于R,當(dāng)B、Q、R三點共線時,BQ|BQ QR最小，此時Q點的縱坐標(biāo)為1，代入y =4x得x= Q( 1 ,1)4點評:這是利用定義將“點點距離”與“點線距離

5、”互相轉(zhuǎn)化的一個典型例題，請仔細(xì)體會。2 2F是橢圓 y 1的右焦點，A(1,1)為橢圓內(nèi)一定點，P為橢圓上一動點。43(1)PA +|PF的最小值為PA +2PF的最小值為分析:PF為橢圓的一個焦半徑，常需將另一焦半徑PF 或準(zhǔn)線作出來考l'匚yA PHF 0Fx慮問題。解：(1)4- 設(shè)另一焦點為F ，貝U F (-1,0)連A F ,PF取得最小值為4-5 。PA + PF| = PA +2a- PF' = 2a-(PF' - PA) Z2a - AF =4-45當(dāng)P是F 'A的延長線與橢圓的交點時，PA +|PF1a=2, c=1, e=,2(2) 3作

6、出右準(zhǔn)線I，作PH丄I交于H，因a2=4, b2=3 , c2=1 , PF= _|PH ,即2 PF = PH PA +2PF =|PA + PH2 當(dāng)A、P、H三點共線時，其和最小，最小值為a-Xa= 41=32222例3、動圓M與圓G：(x+1) +y =36內(nèi)切，與圓C2：(x-1) +y =4外切,求圓心M的軌跡方程。分析：作圖時，要注意相切時的“圖形特征”：兩個圓心與切點這三點共線(如圖中的 A、M、C共線，B、D、M共線)。列式的主要途徑是動圓的“半徑等于半徑”(如圖中的MC = MD )。MCCMD-擴 Ji F,0 B5 XAC -MA+解：如圖,MB =8(*)MB DB

7、即6 MA = MB -22 2點M的軌跡為橢圓，2a=8, a=4, c=1 , b 2由得(X1-X2) 1+(X 1+X2)=9即(X1+X2)2-4X1X2 1+(X 1+X2)2=9=l5軌跡方程為 =11615點評：得到方程(* )后，應(yīng)直接利用橢圓的定義寫出方程，而無需再用距離公式列式求解，即列出.(x1)2y» ；(x匚1)2y2 =4,再移項，平方，相當(dāng)于將橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)了一遍，較繁瑣！3例 4、 ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 sin C-s in B=si nA,求點 A 的軌跡方程。5分析：由于sinA、sinB、sinC的關(guān)系為一次齊次式，兩

8、邊乘以2R (R為外接圓半徑)，可轉(zhuǎn)化為邊長的關(guān)系。解:sin C-si nB= 3 si nA2Rsi nC-2Rs inB= 3-2RsinA3 AB _ AC =由、得 2x 1 X2=(2x o)2-2yo =4x o2-2y 0 BC5即 AB - AC =6(*)點A的軌跡為雙曲線的右支(去掉頂點)/ 2a=6, 2c=10 a=3,c=5,b=42 2所求軌跡方程為X y 1(x>3)916點評：要注意利用定義直接解題，這里由(*)式直接用定義說明了軌跡(雙曲線右支)例5、定長為3的線段AB的兩個端點在y=x2上移動，AB中點為M，求點M到x軸的最短距離。分析：(1 )可直

9、接利用拋物線設(shè)點，如設(shè)A(x 1,x12), B(X2, X22),又設(shè)AB中點為M(x oyo)用弦長公式及中點公式得出y。關(guān)于X。的函數(shù)表達(dá)式，再用函數(shù)思想求出最短距離。(2) M到x軸的距離是一種“點線距離”，可先考慮 M到準(zhǔn)線的距離，想到用定義法。2 2解法一： 設(shè) A(X1, X1 ), B(X2, X2), AB 中點 M(xo, yo)(X1 -X2)2 (X； -x；)2 =9 則X1 +X2 =2x。2丄 2cX1 十 X2 =2yo代入得 (2xo)2-(8xo2-4yo) 1+(2xo)2=9 4y° _4x092，1 4xo24y° =4xo9t =

10、(4x01)91)4xo +14Xo 2 9-仁5,八552 5蔦此時M(盲冷)t 2V2當(dāng) 4x0+1=3 即 X。八 3 時，(yo)m.法二：如圖,2|MM2| =卜宀 +|BB2| = AF|+|BF| 列AB|=3313/1BA0MrBTAB2MM 2 蘭-,即 MM j + 啟-,21425MM 1色一，當(dāng)AB經(jīng)過焦點F時取得最小值。45 M到x軸的最短距離為 54點評：解法一是列出方程組，利用整體消元思想消X1, X2,從而形成yo關(guān)于X。的函數(shù)，這是一種“設(shè)而不求”的方法。而解法二充分利用了拋物線的定義，巧妙地將中點 M到x軸的距離轉(zhuǎn)化為它到準(zhǔn)線的距離，再利用梯形的中位線，轉(zhuǎn)化

11、為A、B到準(zhǔn)線的距離和，結(jié)合定義與三角形中兩邊之和大于第三邊(當(dāng)三角形“壓扁”時，兩邊之和等于第三邊)的屬性，簡捷地求解出結(jié)果的，但此解法中有缺點，即沒有驗 證AB是否能經(jīng)過焦點F，而且點M的坐標(biāo)也不能直接得出。2 2例6、已知橢圓X y =1(2乞m乞5)過其左焦點且斜率為 1的直線與橢圓及準(zhǔn)線從左到右依次 m m T變于 A、B、C、D、設(shè) f(m)= |AB CD| , (1)求 f(m), (2)求 f(m)的最值。分析：此題初看很復(fù)雜，對f(m)的結(jié)構(gòu)不知如何運算，因A、B來源于“不同系統(tǒng)” ，A在準(zhǔn)線上，B在橢圓上，同樣 C在橢圓上，D在準(zhǔn)線上，可見直接求解較繁，將這些線段“投影”

12、到x軸上，立即可得防f (m) = (XB - Xa ) w'2 (XD - Xc )= /(Xb - Xa) - (XD - Xc )|=.2(Xb Xc) -(Xa Xd)= T2|(Xb +xji1y c1D此時問題已明朗化，只需用韋達(dá)定理即可。F1甘A0-Fx2 2解：(1)橢圓 1 中，a2=m, b2=m-1 , c2=1，左焦點 Fi(-1,0)m m 1則 BC:y=x+1,代入橢圓方程即(m_1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1) 2-m2+m=0 (2m-1)x2+2mx+2m-m 2=0設(shè) B(x1,y1),C(X2,y2),則X1 +X

13、2=-2m2m -1(2 _ m _5)f(m) =|AB| - CD| =T2|(Xb - Xa) - % - Xc)|二 2 (X1X2)-(Xa Xc) = ：；2X1X22m2m-1(2) f(m)-22m1 “2(11)2m12m1當(dāng) m=5 時,f(m)min10 .29當(dāng) m=2 時，f (m)maxBC 中點為 M(X0,y°),點評：此題因最終需求Xb Xc，而BC斜率已知為1,故可也用“點差法”設(shè)通過將 B、C坐標(biāo)代入作差，得勺 -y= 0，將y°=x0+1，k=1代入得- jX0一 二0，m m Tm m Tx°m2m -1，可見XbXc2m

14、2m -1當(dāng)然，解本題的關(guān)鍵在于對f (m) =| AB - CD|的認(rèn)識，通過線段在x軸的“投影”發(fā)現(xiàn)f (m) = Xb Xc是解此題的要點?！就骄毩?xí)】1、已知：Fl,2是雙曲線2x2a2莒 =1的左、右焦點，過F!作直線交雙曲線左支于點b2 *A、B,若 AB = m， ABF 2的周長為()A、4aB、4a+mC、 4a+2mD、4a-m2、若點P到點F(4,0)的距離比它到直線x+5=0的距離小1,貝U P點的軌跡方程是( )2 2 2 2A、y =-16x B、y =-32xC、y =16xD、y =32x3、已知 ABC的三邊AB、BC、AC的長依次成等差數(shù)列，且AB AC，點

15、B、C的坐標(biāo)分別為(-1 , 0), (1 , 0)，則頂點A的軌跡方程是()2 2 2 2A、X-丄=1B、乞 L=1(x0)43432 2 2 2C、x -1(x : 0)D、-1(x0且y = 0)43434、過原點的橢圓的一個焦點為F(1, 0),其長軸長為4,則橢圓中心的軌跡方程是A、(x -1) 1 2y2 二3(x = -1)24B、(x 丄)2 y2 二 9(x = -1)249丁一1)2 1 2X (y 2)2 25、已知雙曲線=1上一點M的橫坐標(biāo)為4，則點M到左焦點的距離是9166、拋物線y=2x2截一組斜率為2的平行直線，所得弦中點的軌跡方程是27、 已知拋物線y=2x的

16、弦AB所在直線過定點 p(-2, 0)，則弦AB中點的軌跡方程是&過雙曲線x2-y2=4的焦點且平行于虛軸的弦長為9、 直線y=kx+1與雙曲線x2-y2=1的交點個數(shù)只有一個，則k=2 210、 設(shè)點P是橢圓 =1上的動點，F(xiàn)1, F2是橢圓的兩個焦點，求sin / F1PF2的最大值。25911、已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，左焦點到坐標(biāo)原點、右焦點、右準(zhǔn)線的距離依次成等差數(shù)列，若直線I與此橢圓相交于 A、B兩點，且AB中點M為(-2，1)， AB =4. 3，求直線I的方程和橢 圓方程。2 212、已知直線I和雙曲線A、B、C、D o篤-爲(wèi)=1(a0,b 0)及其漸近線的交

17、點從左到右依次為a b求證：AB =CD【參考答案】1、CAF2 AF=2a, BF2 BF=2a ,二 AF2| + BF2 - AB| =4a, AF2| + BF2 + AB = 4a + 2m,選 C2、C點P到F與到x+4=0等距離，P點軌跡為拋物線 p=8開口向右，則方程為 y2=16x，選C3、D/ AB 十 AC =2匯2，且 AB >|AC點A的軌跡為橢圓在y軸右方的部分、又 A、B、C三點不共線，即y豐0，故選D。4、A設(shè)中心為(x, y),則另一焦點為(2x-1 , 2y),則原點到兩焦點距離和為 4得1(21)2 (2y)2二4 ,y2又 c<a,. . (

18、x -1)2 y2 : 2(x-1)2+y2<4 ，由，得XM -1,選 A292999295 29左準(zhǔn)線為x=-_, M到左準(zhǔn)線距離為 d =4 -()= 則M到左焦點的距離為 ed二一 一5553 5116、x (y 二)22ryrrr設(shè)弦為 AB , A(x i, yi), B(X2, Y2)AB 中點為(x, y)，則 yi=2xi , y2=2x2 , Yi-y2=2(xi -X2 )% _y2 =2(x x2)二 2=2 2x,捲 - x221111將x 代入y=2x2得y，軌跡方程是x (y> )222 227、y =x+2(x>2)設(shè) A(X1, y) B(X

19、2, y2)，AB 中點 M(x，y)，則2y12=2 x1 , y2= 2X2, yf -yl =2(X1 X2), 上為X2(y1 y22kAB = k|MPy -0x 2y2 y = 2，即 y2=x+2x 2又弦中點在已知拋物線內(nèi)P,即 y2<2x，即 x+2<2x , x>28、4a2 =b2 =4,c2 =8,c =2 2，令 x =2 .2代入方程得 8-y2=42 y =4, y= ± 2,弦長為 49、一 i2或-1y=kx+1 代入 x2-y2=1 得 x2-(kx+1) 2-1=02 2- (1-k )x -2kx-2=01 _ k2 式 0 得 4k2+8(1-k2)=0, k= ± J2 = 0- 1-k2=0 得 k= ± 12 2 210、解：a =25 , b =9 , c =16設(shè)F2為左、右焦點，貝U F*-4 , 0)F2(4, 0)設(shè) PRPFr2F1flF2 =日” 則J +2 =2日+r22 -2訂2 cos 日=(2c)2rr-得 2r1 r2(1+cos 0 )=4b 1+cos 04b22吋212 的最大值為a21+cos 0的最小值為2b22， a18即 1+cos 02577-cos0,0：t：二-arccos 則當(dāng)時，sin0取值得最大值1,25252即sin / F1 p