MMs排隊(duì)模型答案解析

1、3 3M/M/M/M/s s排隊(duì)模型一、 單服務(wù)臺模型 （即M/M/1/M/M/1/ /或M/M/1M/M/1）到達(dá)間隔：負(fù)指數(shù)（參數(shù)為：到達(dá)率）分布；服務(wù)時間：負(fù)指數(shù)（參數(shù)為：服務(wù)率）分布；服務(wù)臺數(shù)：1 1；系統(tǒng)容量：無限；排隊(duì)長度（客源）：無限；服務(wù)規(guī)則: :FCFS.FCFS.1.1.隊(duì)長的分布設(shè)PnPNnn0,1,2,.為系統(tǒng)平穩(wěn)后隊(duì)長N的概率分布，則由（1 1）Cnn1n20, ,n1,2,.（累積服務(wù)率）nn1.1(2)(2)P01(1Cn)n1PnCnPo，n1,2,.及n,n0,1,2,.和n（無客的概率）（有n客的概率）,n1,2,.,并記一(服務(wù)強(qiáng)度，一般1)可得nCnn,

2、n1,2,.故有PnnP0,n1,2,.其中P01(1Cn)1(1n)因此Pn(1)n, ,n0,1,2,. .無客的概率：p01程度（即服務(wù)強(qiáng)度尸服務(wù)機(jī)構(gòu)的利用率如單位時間，2, ,5, ,則，即 40%40%在，忙.至少有一客的概率服務(wù)臺處于忙的概率=繁忙2.2.幾個主要指標(biāo)(1)(1)系統(tǒng)中平均顧客數(shù)=平均隊(duì)長(2)(2)系統(tǒng)中等待的平均顧客數(shù)= =平均排隊(duì)長可以證明(見第二版 P328P328 的注釋) )在 M/M/1M/M/1 中， 顧客在系統(tǒng)中逗留時間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，即密度分布函數(shù)：f(t)()e()t,t0.分布函數(shù)：F(t)P(Tt)1e(*,t0.于是得(3)(3)

3、在系統(tǒng)中顧客平均逗留時間1WET;(4)(4)在隊(duì)列中顧客平均等待時間因?yàn)槎毫魰r間=等待時間Tq+ +服務(wù)時間V, ,即TTqV花1口故WE(Tq)E(V)Wq一,從而得另外還可得到（時間與空間關(guān)系）:LW和LqWq這兩個常稱為 LittleLittle 公式. .各公式可記憶如下：由和服務(wù)效率一，1從逗留時間W等待時間WqWq隊(duì)長LW排隊(duì)隊(duì)長LqL或LqWq還可導(dǎo)出關(guān)系1,1WWq一和LLq一3.3.服務(wù)機(jī)構(gòu)的忙期B和閑期I分析(1)(1)因?yàn)槊ζ诙辽僖豢偷母怕?，閑期=無客的概率1忙期時間長度/閑期時間長度=1(2)(2)因?yàn)槊﹂e交替，次數(shù)平均平均忙期時間長度/平均閑期R時間長度= =R

4、R. .1I1(3)(3)又由分布無記憶性和到達(dá)與服務(wù)相互獨(dú)立性任閑時刻起，下一客到達(dá)間隔仍為負(fù)指數(shù)分布11平均閑期=下一客到達(dá)間隔一I一11平均忙期=RWRW1即顧客平均逗留時間，實(shí)際意義是明顯的.例 1 1 一個鐵路列車編組站, ,設(shè)待編列車到達(dá)時間間隔負(fù)指數(shù)分布， 平均到達(dá)率 2 2 列/h;/h;編組時間服從負(fù)指數(shù)分布,平均 20min20min 可編一組. .已知編組站上共有 2 2 股道，當(dāng)均被占用時， 不能接車， 再來的列車只能停在站外或前方站.求(1)(1)在平穩(wěn)狀態(tài)下系統(tǒng)中列車的平均數(shù)(2)(2)每一列車的平均停留時間；(3)(3)等待編組的列車的平均數(shù). .如果列車因站中的

5、 2 2 股道均被占用而停在站外或前方站時，每列車的費(fèi)用為 a a 元/h,/h,求每天由于列車在站外等待而造成的損失.解這里2, ,3, ,2 213(1)(1)列車的平均數(shù)L1 12(小時) )(2)(2)列車的平均逗留時間L2/W W1 1（小時）（3 3）等待編組的列車平均數(shù),八24rLqL2-一（列）33（4 4）等待編組時間WqW2（小時）,3（5 5）記列車平均延誤（2 2 道滿，不能進(jìn)站）時間為Wo，則W0WPN2W(1p0p1p2)3320.296（小時）3故每天列車由于等待而支出的平均費(fèi)用E24W0a2420.296a14.2a(元).例 2 2 某修理店只有一個修理工，

6、來修理的顧客到達(dá)過程為PoissonPoisson 流，平均 4 4 人/h;/h;修理時間服從負(fù)指數(shù)分布，平均需要 6 6min.min.試求：(1)(1)修理店空閑的概率(2)(2)店內(nèi)恰有 3 3 個顧客的概率；(3)(3)店內(nèi)至少有 1 1 個顧客的概率；(4)(4)在店內(nèi)的平均顧客數(shù)；(5)(5)每位顧客在店內(nèi)的平均逗留時間；(6)(6)等待服務(wù)的平均顧客數(shù)；(7)(7)每位顧客平均等待服務(wù)時間；(8)(8)顧客在店內(nèi)等待時間超過 10min10min 的概率. .解這里4, ,1/0.110, ,-215(1)(1)修理店空閑的概率p0112/50.6(2)(2)店內(nèi)恰有 3 3

7、個顧客的概率3332P3(1)-155(3)(3)店內(nèi)至少有 1 1 個顧客的概率PN11po2/5(4)(4)在店內(nèi)的平均顧客數(shù)0.0380.4(5)(5)每位顧客在店內(nèi)的平均逗留時間WL也10(min)4(6)(6)等待服務(wù)的平均顧客數(shù)2/512/50.67（人）LqL0.40.670.268(人)(7)(7)每位顧客平均等待服務(wù)時間(8)(8)顧客在店內(nèi)等待時間超過 10min10min 的概率. .io11PT10e615e10.3679. .二、多服務(wù)臺模型（即 M/M/s/M/M/s/ /或 M/M/sM/M/s）到達(dá)間隔：負(fù)指數(shù)（參數(shù)為：到達(dá)率）分布；單臺服務(wù)時間：負(fù)指數(shù)（參數(shù)為

8、：服務(wù)率）分布;WqLq0.26844(min)服務(wù)臺數(shù)：s;s;12Ls系統(tǒng)容量：無限;排隊(duì)長度（客源）:無限;服務(wù)規(guī)則: :FCFS.FCFS.數(shù)據(jù)分析設(shè)PnPNnn0,1,2,.為系統(tǒng)平穩(wěn)后隊(duì)長N的概率分布，則n0,1,2,.和系統(tǒng)的服務(wù)率n,n1,2,3,.,sns,ns,s1,.記s,則當(dāng)s1時，不至越排越長,ss稱s為系統(tǒng)的服務(wù)強(qiáng)度或服務(wù)機(jī)構(gòu)的平均利用率.由前面的(1),(2)(1),(2)和(3)(3)公式得nP0,nn!nnsP0,s!s1,2,3,.,sCn(/)nn!(/)ss!s3nns,s!s其中Pns1ns1P0-.n0n!s!(1s)當(dāng)ns時，顧客要等待.記這個等待

9、的概率為c(s,)Pnns稱為 ErlangErlang 等待公式. .(1)(1)平均排隊(duì)長s!(1sF0L Lq(ns)P(ns)Pnns1sP P0s!s!n(ns)(ns)ss1ssP0sdnP0s,s.,、2s!dsn1s!(1s)或c(s，)s1 1s正在接受服務(wù)的顧客的平均數(shù)s1npnsPnn0nsns一PosPos!(1s)(2)(2)n0n!s1n1s1P0ni(n1)!(s1)!(1s)S與s無關(guān). .奇！(3)(3)平均隊(duì)長L平均排隊(duì)長+ +平均接受服務(wù)的顧客數(shù)Lq. .q對多臺服務(wù)系統(tǒng)，仍有 LittleLittle 公式：W,WWq例 3 3 考慮一個醫(yī)院醫(yī)院急診的管

10、理問題. .根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，急論據(jù)病人相繼到達(dá)的時間間隔服從負(fù)指數(shù)分布，平均每 0.5h0.5h 來一個；醫(yī)生處理一個病人的時間也服從負(fù)指數(shù)分布,平均需要 20min.20min.該急診室已有一個醫(yī)生，管理人員現(xiàn)考慮是否需要再增加一個醫(yī)生.解這是一個 M/M/s/M/M/s/8 模型，有2, ,3,-, ,s1,23由前面的公式，結(jié)果列表如下指標(biāo)-模型s=1s=2空閑的概率P00.33305有1個病人的概率P10.222r0.333有2個病人的概率P20.1480.111平均病人數(shù)L20.75平均等待病人數(shù)Lq1.3330.083病人平均逗留時間W1P0.375病人平均等待時間Wq0.6670.

11、042病人需要等彳的概率PTq00.667(=1p0)0.167(=1pcPI)等待時間超過0.5小時的概率PTq0.50.404P0.022等待時間超過1小時的概率PTq10.2450.003如果是一個醫(yī)生值班，則病人等待時間明顯長結(jié)論是兩個醫(yī)生較合適.例 4 4 某售票處有三個窗口，顧客的到達(dá)服從泊松過程，平均到達(dá)率每分鐘0.9人/min./min.服務(wù)（售票）時間服從負(fù)指數(shù)分布,平均服務(wù)率0.4人/min./min.現(xiàn)設(shè)顧客到達(dá)后排成一隊(duì)這是 M/M/sM/M/s 模型，其中s3,-2.25,由公式可得：，依次向空閑的窗口購票2.253,1s34(1)(1)整個售票處空閑概率Po-non

12、!s!(1s)1Po01230.07482.252.252.252.2510!1!2!3!12.25/3s(2)(2)平均排隊(duì)長LqpsTs!(1s)30.07482.253/43!(1/4)2平均隊(duì)長：Lq1.70(人)LLq/1.72.253.95(人)(3)(3)平均等待時間W_qLZPLZP1.89(min)(min)q0.9平均逗留時間WWq1/1.891/0.44.39(分鐘)(4)(4)顧客到達(dá)后必須等(即系統(tǒng)中顧客數(shù)已有 3)3)的概率在上例中，若顧客到達(dá)后在每個窗口前各排一隊(duì)，且中途不換隊(duì)，則 M/M/3M/M/3/8/8 如下圖所示(b).(b).c(3,2.25)sPos

13、!(1s)2.2530.07483!1/40.57. .(a)0.9窗口1窗口2_1窗口30.40.40.30.30.40.3(b)0.93 3 個 M/M/1/M/M/1/8 8每個隊(duì)的平均到達(dá)率為1230.9/30.3（人/分鐘）結(jié)果比較如下不魅一一._模型M/M/3M/M/1服務(wù)臺空閑的概率Po0.07480.25（每個子系統(tǒng)）顧客必須等待的概率P（n3）=0.570.75平均排隊(duì)長Lq1.702.25（每個子系統(tǒng)）平均隊(duì)長L3.959.00（整個系統(tǒng)）平均逗留時間W4.39（分鐘）10（分鐘）平均等待時間Wq1.89（分鐘）7.5（分鐘）單隊(duì)比三隊(duì)優(yōu)越百度知道編組站是鐵路網(wǎng)上集中辦理大

14、量貨物列車到達(dá)、解體、編組出發(fā)、直通和其它列車作業(yè)，并為此設(shè)有比較完善的調(diào)車作業(yè)的車站。其主要任務(wù)是根據(jù)列車編組計(jì)劃的要求，大量辦理貨物列車的解體和編組作業(yè)。對貨物列車中的車輛進(jìn)行技術(shù)檢修和貨運(yùn)檢查整理工作，并且按照運(yùn)行圖規(guī)定的時刻，正點(diǎn)接發(fā)列車。所以，人們往往稱編組站為編組列車的工廠。編組站的主要任務(wù)和作用可以歸納為：-一解編各種類型的貨物列車.作業(yè)：5.15.1 某店令有一個修理工人， 顧客到達(dá)過程為 PoissonPoisson 流，平土勻3 3 人/h,/h,修理時間服從負(fù)指數(shù)分布,平均需 10min.10min.求(1)(1)店內(nèi)空閑的概率；(2)(2)有 4 4 個顧客的概率；(3)(3)至少有 1 1 個顧客的概率；(4)(4)店內(nèi)顧客的平均數(shù)；(5)(5)等待服務(wù)的顧客的平均數(shù)；(6)(6)平均等待修理時間；(7)(7) 一個顧客在店內(nèi)逗留時間超過 15min15min 的概率.設(shè)有一單人打字室,顧客的到達(dá)為 PoissoPoisson n 流,平均到達(dá)時間間隔為 20min,20min,打字時間服從負(fù)指數(shù)分布，平均為 15min.15min.求(1)(1)顧客來打字不必等待的概率；(2)(2)打字室內(nèi)顧客的平均數(shù)；(3)(3)顧客在打字室內(nèi)的平均逗留時間；(4)(4)若顧客在打字室內(nèi)的平均逗留時間超過 1.25h,1.25h,則主人將考慮