專題02矢量的運算模型-高考物理模型法之算法模型法解析版

1、高中物理系列模型之算法模型 2.2.矢量的運算模型 模型界定矢量及矢量運算是高中物理的重點和難點之一，常見的矢量有位移、速度、加速度、力、動量、電場強度、 磁感應強度等.狹義的講，矢量的運算是指矢量物理量之間的運算，廣義的說，矢量運算還包括運動形式 的分解與合成.適量運算要遵循特殊的法則。本模型歸納總結高中物理中所涉及到的矢量矢量的加(減)法與 乘法的運算. 模型破解 1 1 . .矢量加法 (i)(i)平行四邊形定則 矢量的加法運算也即矢量的合成，其實質是等效替代，一般可用平行四邊形法則。 如果用表示兩個矢量Ai和A2的有向線段為鄰邊作平行四邊形，那么合矢量A的大小和方向就可以用這兩個 鄰邊

2、之間的對角線表示，這叫做矢量運算的平行四邊形定則 4 4 (ii)三角形法則與多邊形定則 如圖所示，兩矢量合成時由.平行四邊形法則可推廣至三角形法則：將兩矢量A1A2首尾相接，則合矢量 A就是由矢量A1的箭尾指向矢量A2箭首的有向線段所表示的矢量. Ai 多個矢量相加時，則三角形定則推廣可得到多邊形法則，如圖所示.最終合矢量的大小和方向與相加次序 ( (iii)iii)正交分解法 將矢量沿兩個相互垂直的方向分解，稱為正交分解.矢量A1、A2、A3相加時，可先將各矢量沿相互垂直 的x軸和y軸分解，Ai分解為Aix和Aiy,A2分解為A2x和A2、,A3分解為A3x和A3y,則x軸方向上的 矢量和

3、Ax=Aix+A2x+A3x+；y軸方向上的適量和 矢量方向與x軸夾角。滿足tane=A A (iv)(iv)矢量減法 矢量減法是矢量加法的逆運算，也稱為矢量的分解.一個矢量減去另一個矢量，等于加上那個矢量的負矢 量,A1-A2=Ai+(-A2),如圖所不 矢量的分解雖然是矢量合成的逆運算，但無其他限制，同一個矢量可分解為無數對大小、方向不同的分矢 量。因此，把一個矢量分解為兩個分矢量時，應根據具體情況分解。 (v)(v)基本規(guī)律 當兩矢量Ai和A2大小一定時，合矢量A隨著兩矢量間夾角a的增大而減小。當兩矢量間的夾角a=0時,合矢量最大，等于Amxa=Ai+A2；當兩矢量間的夾角a=i80時，

4、合矢量最.小，等于Amin=IAi-A2I,即合矢量的取值范圍是|Ai-A2IA,A，而最小值要分下列兩種情況討論: 【解析】共點的兩個力合成，同向時最大為E+F2,反向時最小為Fi-F2,c正確. 例2.如圖所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O為球心，一質量為m的小滑塊，在水平力F的作用下 靜止P點。設滑塊所受支持力為FN。OF與水平方向的夾角為0。下列關系正確的是() B.F=mgtanO 若n個矢量 Ai、A2、A3、 An中的大小最大的矢量Aj大于其余矢量的大小之和 n ZAi,則他們矢量 y,i；j 和的最小值是 n Aj-zA i,i=j 呼n個矢量Ai、A2、A3、An中的大小

5、最大的矢量Aj不大于其余矢量的大小之和 n AA A, ,則他們矢量 T,i鬲 和的最小值是0。 兩矢量大小相等時，合矢量的方向必在兩矢量的夾角平分在線 例1.兩個大小分別為Fi和F2(F2Fi)的力作用在同一質點上，它們的合力的大小F滿足 A. F2FFi C.Fi-F2FFiF2 B. XMFMX 22 _2_2_2_2_2 D.Fi-F2FFiF2 【答案】A D.FN=mgtanO F=3-,FN=皿且，所以A正確。 tanfsin 例3.如圖，兩根相互平行的長直導線分別通有方向相反的電流I1和I2,且11Al2；a、b、c、d為導線某一 橫截面所在平面內的四點，且a、b、c與兩導線共

6、面；b點在兩導線之間，b、d的連線與導線所在平面垂直。 磁感應強度可能為零的點是 d a10.F.QAbh0 A.a點B.b點 C.c點D.d點 【答案】C 【解析】由矢量的運算法則可知兩矢量的矢量和為零時兩矢量必是等值反向的.由安培定則知兩電流在b點產生的磁場方向相同，在d點產生的磁場方向不在一條直線上，BD皆專靛吳.兩電流在前兩點處產生的磁場方向相反，但由于且a點距電流II近，故兩電流在a點處產生的磁場不可能大小相等，A錯誤,同理可知C正確. 例4.如圖，兩等量異號的點電荷相距為2a M與兩點電荷共線，N位于兩點電荷連線的中垂線上，兩點 n 電荷連線中點到M和N的距離都為L,且L|_a。略

7、去（a/L）（n至2）項的貢獻，則兩點電荷的合電場在 M和N點的強度（） 【解析】對小滑塊受力分析如圖所示，根據平行四邊形定則可得 A.大小之比為2,方向相反 B.大小之比為1,方向相反 C.大小均與a成正比，方向相反 D.大小均與L的平方成反比，方向相互垂直 【答案】AC 故有Ei：E2=2;又因N點處強場方向由對稱性知平行于兩場源電荷由十 -q產生的電場弱于+q產生的電場，總場強方向由一q指向+q,AC正確。 B、C三點與電場方向在同一個豎直面內，運動軌跡如圖所示.已知過 AC線段的中點，BD連線恰與AC垂直，質點從A點運動到B點所用的時間為tAB,質點從B點運動到C 點所用的時間為tBC

8、。下列說法正確的是 A.tAB一定等于tBC,電場方向向左 B.tAB一定等于tBC,電場方向向右 【解析】如右下圖所示，合電場在 M和N點的強度分別為 Ei kqkq 22 (L-a)(La) 4kqaL 22、2 (L-a) 4kqa L31 a21-(-)2一L 4kqa C kqa E=2 E22 2kqa 3 3a2至 L31(-)2 一L， 2kqa q指向一q,在M點因距+q較近, 例5.在一個水平方向的勻強電場中，某帶負電荷的小球做勻變速曲線運動，依次經過 A、B、C三點、, A、 B點切線與AC連線平行，D點為 C.tAB不一定等于tBC,電場方向向左 D.tAB不一定等于t

9、BC,電場方向向右 【答案】B 【解析】小球在運動中受到豎直向下的重力與水平方向上的電場力作用二而曲線運動中合力方向指向運動軌跡的內側,則可知電場力的方向必是水平向左,因小球帶負電,故電場強度方向水平向右.AC錯誤，因小球的運動是勻變速曲線運動， 可將其運動分解為沿AC方向上的勻變速運動與垂直于AC方向即沿DE方向上的勻變速運動.由于B點切線與AC連線平行，可知小球在B點時沿DB方向上的分速度為零艮陰、球在從A運動到C的過程中沿DB方向上先;咸速再加速設4例沿DB方向上的加速度為&從A到B由勻加速運動的逆過程有而。嚷從B到C有毋=；，故有如=3 正確D錯誤. 模型演練 1.如圖，三個大

10、小相等的力F,作用于同一點O,則合力最小的是 OF-O*F F FF A.B. 【答案】C 【解析】 在ABD三圖中三力的合）力等值反向，三個力的合力一定為零2.在等邊三角形白三個頂點a、流，方向如圖。過c點的導線所受 , ；場亡上 - -4*4* A.與ab邊平行，豎直1可上 C.與ab辿垂直，指向左邊 【答案】C 120F 0 0NO .F F C.D. 了大小雖不相同，但一定小為零，叩在C圖其中任兩個力的合力與第二個 ,答案為C. b、c處， 各有一條長直導線垂直穿過紙面， 導線中通有大小相等的恒定電安培力的方向 B.與ab邊平行，豎直向下 D.與ab辿垂直，指1可右邊 a、b、c處均有

11、一通電導線，且導線中通有大小相等的恒定電流.由安培 F、，F(xiàn) F、120/FF. 定則可得：導線a、b的電流在c處的合磁場方向豎直向下.再由左手定則可得：安培力的方向是與 垂直，指向左邊. 3.四根相互平行的通電長直導線a、b、c電流均為I,如圖所示放在正方形的四個頂點上，每根通電直導線 單獨存在時，四邊形中心O點的磁感應強度都是B,則四根通電導線同時存在時O點的磁感應強度的大小 和方向為 a，丁中b Z- I嗡 fI / I%，. !/： O； I，-I rI事. If r* IiF%I d-,-c IIc 練3圖 A.2/2B,方向向下 C.2/5B,方向向右D.2J2B,方向向上 【答案

12、】A 【解析】由安培定則知導線在。點處產生的磁場方向分別沿050a、Od、0a,再由矢量合成法則及 對稱性知A正確中 4.三根相互平行的通電長直導線放在等邊三角形的三個頂點上，右圖為其截面圖，電流方向如圖所示。若每 根導線的電流均為I,每根直導線單獨存在時，在三角形中心O點產生的磁感應強度大小都是B,則三根導 線同時存在時O點的磁感應強度大小為 A.0B.B C.2BD.3B ab邊 練4圖 【答案】C 【解析】根據安培定則判斷得知：三根導線在O點產生的磁感應強度的方向分別為：上面導線產生的B方 向水平向左，大小為B;下面左邊導線產生的B方向斜向左上方，與水平成60角，下面右邊導線產生的B 方

13、向斜向右上方，與水平成60。角，則根據平行四邊形定則進行合成可知，下面兩根導線產生的合場強大小 為B,方向水平向左，所以三根導線同時存在時的磁感應強度大小為2B,方向水平向左. 5 5.取兩個完全相同的長導線，用其中一根繞成如圖（a）所示的螺線管，當該螺線管中通以電流強度為I的 電流時，測得螺線管內中部的磁感應強度大小為B,若將另一根長導線對折后繞成如圖（b）所示的螺線管， 并通以電流強度也為I的電流時，則在螺線管內中部的磁感應強度大小為（） 【解析】雙線并繞的線圈相當于兩個線圈一圈隔一圈地繞在同一個線圈架上.通電時兩個線圈中的電流方向正好相反，產生的磁場方向也相反，磁通量的變化為零J所以沒有

14、自感電動勢，選項A正確. 2 2.矢量的乘法。 矢量乘法運算中包括三種情況： 一種是矢量和標量的乘積，其結果仍為矢量，如F=ma、F=qE等。此類運算中，若該標量大于零，則結果 與原矢量同向，小于零時則與原矢量反向. 第二種情況是矢量和矢量相乘，結果構成了新的標量，矢量間這樣的乘積叫標積.兩矢量的標積等于兩矢 量的大小及兩矢量間夾角余弦三者的乘積，如功W=FScos、a功率P=F-vco舞的計算是采用兩個矢量的 標積。 第三種情況是矢量和矢量相乘結果卻構成新的矢量，矢量間這樣的乘積叫矢積。兩矢量的矢積大小等于兩 矢量的大小及兩矢量間夾角正弦三者的乘積，如洛侖茲力f=qvBsina等的計算是采用

15、兩個矢量的矢積。新矢 量的方向與原兩矢量所決定的平面垂直. 例5.一質點開始時做勻速直線運動，從某時刻起受到一恒力作用。此后，該質點的動能可能 A.一直增大 B.先逐漸減小至零，再逐漸增大 C.先逐漸增大至某一最大值，再逐,漸減小 D.先逐漸減小至某一非零的最小值，再逐漸增大 【答案】ABD(A)0。(B)0.5B。 (C)Bo(D)2Bo 【解析】該質點的動能變化取決于該恒力的做功情況，設恒力與質點的瞬時速度之間的夾角為口，恒力的功率FwAc”物.若初始狀態(tài)下如3則恒力對質點一直做正功，質點的動能將一直增大，A正確s若初始狀態(tài)下90 a180?則初始階段恒力對質點做負功，底點的動靛減小，同時

16、a也斌小J當a；射或1兜口之后，恒力又開始對質點做正功，質點動I次開始置匕D正瑜若初始狀態(tài)下a=180)則初始階段恒力對底點做負功直到廢點的動能;底小零后，質點反向加速運動，恒力開始對質點做正功，質點動能雙開始熠加，B正確j無情況能C選項對應，C錯誤. 另解：從運動的合成與分解角度考慮，仍設恒力與速度間夾角為a，若口=0O,質點做勻加速直線運動， 速率增大動能增加，若0 a90,質點做勻變速曲線運動，沿恒力方向加速運動，.垂直于合力方向 勻速運動，速率一直增大，動能一直增加；若90 a(180,質點也做勻變速曲線運動，沿恒力方向 質點先減速再反向加速，垂直于恒力方向質點勻速運動，此情況下質點的

17、速率先減小再增大，動能也是先減小再增大，但其最小值不為零；若a=180。，質點先做勻減速直線運動，速度減小零后再反向加速， 其動能也先減小到零再增加，故ABD正確. 例6長螺線管中通有恒定電流，把一個帶電粒子沿軸線方向射入螺線管，不計重力，粒子在管中將做： A.圓周運動B.沿軸線來回運動 C.勻加速直線運動D.勻速直線運動 【答案】D 【解析】在螺線管內磁感線的方向平行于其軸線，則帶電粒子進入管內后速度方向與磁場方向平行，在 f=Bqvsina中a=00,故粒子不受力，沿軸線做勻速直線運動，D正確. 模型演練 6 .運動員跳傘將經歷加速下降和減速下降兩個過程。將人和傘看成一個系統(tǒng)，在這兩個過程

18、中，下列說法正確的是 A.阻力對系統(tǒng)始終做負功 B.系統(tǒng)受到的合外力始終向下 C.重力做功使系統(tǒng)的重力勢能增加 D.任意相等的時間內重力做的功相等 【答案】A A正確.運動員跳傘將 【解析】阻力的方向始終與人的運動的方向相反，所以阻力對系統(tǒng)始終做負功，故 經歷加速下降和減速下降兩個過程，在減速下降的過程中，由牛頓第二定律可知，此時合力的方向是向上的，所以B錯誤.在下降的過程中重力做正功，由能的轉化和可知此時物體的重力勢能減小，所以C錯誤.由 重力做的功W=mgh可知，由于人不是勻速運動的，在相等的時間內下降的高度不同，所以任意相等的時間 內重力做的功不相等，故D錯誤. 7 . .一個25kg的小孩從高度為3.0m的滑梯頂端由靜止開始滑下，滑到底端時的速度為2.0