數(shù)學(xué)物理方程陳才生主編課后習(xí)題答案1-3章

1、第1章緒 論1.1基本內(nèi)容提要1.1.1用數(shù)學(xué)物理方程研究物理問題的步驟(1) 導(dǎo)出或者寫出定解問題它包括方程和定解條件兩部分；(2) 求解己經(jīng)導(dǎo)出或者寫出的定解問題；(3) 對求得的解討論其適定性并11作適當(dāng)?shù)奈锢斫忉?1.1.2 求解數(shù)學(xué)物理方程的方法常見方法有行波法(又稱D Alembort解法)、分離變量法、積分變換法、Grew函 數(shù)法、能杲積分方法、變分方法等.本書主要使用前面五種方法.1.1.3數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出1. 建立(導(dǎo)出)方程的步驟(1) 從所研究的系統(tǒng)屮劃出一部分分析鄰近部分與這一小部分的相互作用；(2) 根據(jù)物理學(xué)的規(guī)律比如Newton笫-定律、能就守恒定律等.以數(shù)學(xué)式

2、子衣 達這個作用：(3) 化簡整理即得所研究問題的偏微分方程.2. 建立(導(dǎo)出)方程時常用到的物理學(xué)定律(1) Newton第二定律(F = ma).(2) Fourier實驗定律(即熱傳導(dǎo)定律).當(dāng)物體內(nèi)存在溫差時會產(chǎn)生熱杲的流動.熱流強度q (即單位時間內(nèi)流過單位 橫截面的熱量)與溫度的卜降率成正比，即q = ArV«.其屮人為熱傳導(dǎo)系數(shù)負兮衣示熱彊的流向和溫度梯度方向相反.寫成分彊的形式qX = 一加 “， Qy =(lz = -kuz.(3) Newton冷卻定律.物體冷卻時放出的熱與物體和外界的溫度差訶邊-則成正比英 中“0為周圉介質(zhì)的溫度. # 第1章緒 論（4）熱量（質(zhì)

3、量）守恒定律.物體內(nèi)部溫度升高所需耍的熱最（濃度増加所需耍的質(zhì)彊）等J流入物體內(nèi)部 的凈流熱量（質(zhì)雖:）與物體內(nèi)部的源所產(chǎn)生的熱量（質(zhì)彊）Z和.（5）費克（Fick）定律（即擴散定律）.一般地說.由濃度的不均勻物質(zhì)從濃度高的地方向濃度低的地方轉(zhuǎn)移這種 現(xiàn)彖叫擴散 在氣體、液體、固體中都仔擴散現(xiàn)象.粒了流強度q （即單位時間內(nèi)流過單位面積的粒了數(shù)）與濃度的卜降率成正比.即q = ATVu,氏中K為擴散系數(shù).負號表示濃度減少的方向?qū)懗煞值醯男问綖閝x =qy = -Kuy, qz = -I<ue.（6）Gauss定律.通過一個任意閉合曲面的電通農(nóng)等這個閉曲面所包陽的自由電荷的電杲 的L倍,即

4、其中£為介電常數(shù),°為電荷密度.（7）胡克（Hooke）定律.在彈性限度內(nèi)彈性體的彈力和彈性體的形變昴成正比.即/ = -人H直中斤為 彈性體的勁度（倔強）系數(shù)，倔強系數(shù)在數(shù)值上等彈性伸長（或縮短）單位長度時的 彈力，負號表示彈力的方向和形變51的方向相反.另外，有應(yīng)力=楊氏模Mxffl對伸長.3. 定解條件和定解問題的寫出（導(dǎo)出）耍想將-個幾體的物理過程完整地翻譯成數(shù)學(xué)語言.必須寫出它的定無問題: 包括泛定方程和定解條件（初始條件、邊界條件、相容性條件）.泛定方程只能反映 和描繪同一類現(xiàn)象的共同規(guī)律.對J：一個貝體的物理問題.還必須通過定解條件來 反映而耍正確寫出定解條件

5、必須注意以卜兒方面的問題：（1）正確理解題意.正確區(qū)分外源條件、初始條件、邊界條件：（2）正確理解并且應(yīng)用物理定律和定理；（3）注意初始條件和邊界條件的個數(shù).以保證解的適定性.1.1.4定解問題的適定性如果個定解問題的解存在、唯，J1連續(xù)依賴定解條件屮的初始數(shù)據(jù)或者1.2習(xí)題解答邊界數(shù)據(jù)，則稱該定解問題是適定的.否則稱它是不適定的.1.2習(xí)題解答1.1長為厶的均勻細桿，側(cè)面絕緣，-端溫度為0.另-端何怛泄熱源g進入(即單 位時間內(nèi)通過單位截向枳流入的熱帚).桿的初始溫度分布為L(£-t).試寫出相 應(yīng)的定解問題.解 桿的初始溫度分布是土班乙-巧，即初始條件為"(工0) =由

6、桿的 端溫度為零，得邊界條件“(M) = 0；ff的另T#有恒定熱流強度g,即工(lL.t) q.故定解問題為ut = aUxx.0 < x < 厶，£ > 0,«M(z,0) =- z),0 w 工 w E,“(0f) = 0, uz(L,t) =辛，i >0.1.2設(shè)有一長為厶的均勻柔軟的弦做微小橫振動.其平衡位置是工軸的區(qū)間0. Q.讓u表 示橫位移，弦的線密度為必悵力人小為:T.在振動過程中.受到一阻力，阻力的人小與 位移速度成正比比例系數(shù)為斤.設(shè)初始位移為諷對，初始速度為0.在丁 = 0端固定. 在t = L端佇一彈性支撐彈性強度為斤.試寫

7、出弦的位移u(x. t)所滿足的定解問題.解 在工=厶端有一彈性支撐彈性強度為人這表明rL=£ = -岡 i'即(7X十畑)L“ = °又因為在振動過程屮，受到-阻力，阻力的人小與位移速度成正比，比例系數(shù)為人.所 以阻力F(zJ) = -kut,那么由參考文獻1中例121的推導(dǎo)可以得到該眩做微小橫 振動的方程為1.3補充習(xí)理解答#1.3補充習(xí)理解答5Utt = Mxx11(.P因此所求的定解問題是Tkutt = uxx s0 < x < £, f > 0.PPu(z, 0) = 0(x), Mf(x, 0) = 0.0 W R W Z,u

8、(0,f) = 0. (Tux + ku) =0, f 2 0.xL1.3考慮在正方形區(qū)域刃=(r. i/)|0 <x<1.0<i/< 1上的波動方程的邊值 問題(«zr - yy = °>(Z, 7/) 6u(x,0) = /i(x), u(x, 1) =0 w a s 1,"(O.y) = gi(y), u(l,y) = g2(y),0 W y W 1,貝沖m,92都是已知換數(shù).試問該問題是否適定？為什么？舉例說明.解 一般來講，該問題的解是不唯一的.因此是不適定的.比如若“ =u(“)是 問題的解,那么容易臉證u = u + s

9、in nJtxsinny (n $ 1)也是該問題的解.因此上述 問題的解不唯一.1.4說明定解問題(Ut = -Uxx, (z，0 R1 x (O.oo),1 w(x, 0) = 1, a 以的解是不適定的.解 容易驗證兩數(shù)un(x.t) = 1 + en2f sin nx (n > 1),滿足 J = uxx,(x,t) Rl x (0,oo),1 u(i, 0) = 1 十丄 sin m, j: R1.顯然.當(dāng)n > +8時supjGR, |u(t.() - 1| => 0.但是.剤> oc時slip |?in(x, t) 1| = suprRl.t>0ze

10、RLoOlen2fsinnx=sup <>o所以原定解問題的解是不穩(wěn)定的.1.3補充習(xí)題解答1.5由流體力學(xué)知理想流體的完整方程組由Euler型運動方程pv(十 p(v V)v 十 Vp = F.(1.3.1)和連續(xù)性方程帶十S)= o,(1.3.2)以及物態(tài)方程p = /("),(1.3.3)組成.其中方程(131)應(yīng)該看作三個分昴”叫班的方程：v.p.p分別為流速、樂力 和密度；F為單位質(zhì)彊上所受外力.試導(dǎo)出當(dāng)外力F =()時.聲波在空氣中傳播所滿足 的聲波方程._解設(shè)內(nèi)和風(fēng)為空氣在平衡狀態(tài)下的壓力和密度，并記S =匕一空.即0 =P0Po(l + S).為方便起見,

11、假設(shè)外力為零.由J：聲波在空氣中傳播時,S和©都是很小的 S.BIJpftpo. r是式(1.3.1)和式(1.3.2)中的二次項均可忽略.即式(1.3.1)變?yōu)関t = -Vp,(1.3.4)P而式(1.3.2)變?yōu)? PoV v = 0. 即 S( + V v = 0.(1.3.5)聲波的傳播過程是絕熱的.絕熱過程的物態(tài)方程(1.3.3)是p = po(l + S)S它可以 近似為線性函數(shù)P = Po(l 十 C'S),(1.3.6)其中7為定壓比熱與定容比熱的比值.由式(1.3.4)和式(1.3.6),得vt = 一迴 PS.(1.3.7)Po而由式(1.3.5)和式(

12、1.3.7)得Stt - a2S 一 0.(1.3.8)這就是聲波方程，其中°2=迴Po1.6 一均勻細圜錐桿.用均勻材料制成，質(zhì)杲密度為桿材料的楊氏?？礊?#163;桿 上各點的縱方向位移為u(x.t).試證明桿做縱向微振動的方程為貉=召彩(瑞)Z.9)解均勻細圓錐桿做微小橫振動，可應(yīng)用Hooke定律.并J1假設(shè)密度卩是常數(shù).以稅 表示圖11所示兀衛(wèi)十小段的質(zhì)心位移.小段質(zhì)帚為pSg S是細1.3補充習(xí)理解答#桿的橫截面積.由Newton第二定律得2 opSX曙=P(x + g t)S(x + Aj) 一 P(z, t)S(x)=洛(PS)X又因為S = Hr2 = lt(x ta

13、nct)2t把P和S代入方JC«l'P(xJ)是在工點的截而S(t)上"時刻沿軸方向所受到的應(yīng)力.令丄 t 0.得 訊貉謠侔)，(1.3.10)而由Hooke定律,得P = E釜程(1.3.10),得到”(jt 異 tan2(Edu頁)1.3補充習(xí)理解答#1.3補充習(xí)理解答#化簡后，得式(139).證畢.注如果員I錐桿的坐標按圖12所示則圓錐桿的縱向微振動方程為(1.3.11)1.3補充習(xí)理解答#其中力為圓錐的高事實上此時截面而積5 = r2,半徑r = (/>-T)tann.將其代入 式(1.3.10),便得式(1311)1.3補充習(xí)理解答#1.3補充習(xí)理解

14、答#1.7真空屮電磁場的Ahixwell/jfil組的微分形式為，V E = 0,(1.3.12)VxE = -1hhcV H = 0.V x H = Et.c試由這一組方程導(dǎo)出電催波方程#第1儀緒 論(e“ = Qhe、iV'E和H分別為真空中的電場強度和磁場強度.c為光速.解 對方程組(1.3.12)中第四個方程關(guān)"求導(dǎo)，得V x Hf = -Eft.c又將Vx作用J：(1.3.中第二個方程，得V x V x F = - * x Ht,即r 1(E) £ = 一上 7xH“那么由方程組(1.3.12)中第一個方程.得Ett = g'E.同理.可證得第二個

15、電磁波方程Htt = c2AH.1.8導(dǎo)出彈性桿的微小縱振動方程.這里設(shè)桿的楊氏模療為E(t).質(zhì)鼠密度為加工), 作用于桿的外力密度為Ff),其方向沿軸(桿軸)方向.解 以表示桿上工點f時刻的縱向位移.考察桿上一小段也工+ 的運 動情況.用u(x.t)表示圖1.3所示小段的質(zhì)心位移.小段質(zhì)就為pSg S是細桿的橫 截面面積.由Newton第二定律得=(p(x + Ax. t) p(x. f )S,9第1儀緒 論因此其中"(魚)表示®點的截面上鬥時刻沿工軸方向所受到的應(yīng)力顯然.肖厶r-0時.d2u Op吒莊=頁由Hooke定律，應(yīng)力和相對伸長成正比.所以duH：中比例系數(shù)E

16、為楊氏模氐 對r均勻桿.E為常數(shù).所以桿的微小縱振動方程為卜叭| u+Au |1 1 1 1?XIV 1.31.9 一長為厶的柔軟勻質(zhì)輕弦廠端固 定在以勻角速度s轉(zhuǎn)動的豎n桿上.由 慣性離心力的作用眩的平衡位置是水平 的（圖1.4）.試證明：此弦相対水平平衡 位置的橫向微振動的方程為d2u7舞07斶.證 以"=u（x.t）表示工點f時刻沿垂貢九方向的位移I大1為弦是柔軟的.所 以弦上任一點的張力T總是沿著弦的切線方向.由J弦做微小橫振動.在工方向無運 動那么 由Newton第二定律，在i:r + Zkr上自=Tuxx + 些。Tux(z,t),血1噸衣示這-小段眩的平均位移，是弦的質(zhì)

17、磺密度它是常數(shù).本題中眩的張力 是由內(nèi)離心力產(chǎn)生的.作用在工處弦的張力為rL1T = T(t) = / uspds = -pu?2(£2 t2),J t2所以令T 0.得就（込雌）.一根長為厶的勻質(zhì)柔軟重繩其上端固定在一豎立軸上，繩子和軸以角速 度a轉(zhuǎn)動.導(dǎo)出此繩子的微小橫振動方程. 11 第1帝緒 論解以繩子的上端為原點，取衛(wèi)軸 豎肖向卜(圖1.5).以u(z.t)表示繩子的橫向 位移(即對 幾軸的偏離).以T(aU)表示繩 的張力，它沿繩的切向.考察繩了的一小 段x. z+At的運動.為此先求tl J ' 繩子受縱向力車力的作用，張力與=有 關(guān).事實上,匚點所受重力為pg

18、(L-x)(卩為 繩的質(zhì)鳳密度它是常數(shù))，所以T(zJ)= P9(L - x).注意到現(xiàn)在橫向外力是離 心力,即F(x,t) = piv2u(x,t)Az.那么 由Newton第二定律，得圖1.5p工麗=pgL - pg(L -工)L 十d2U 2uc)u 2其屮&表示這一小段的平均位移.對上式利用中值定理并且令工-0,得其中a(H)= g(L-x).它是二階線性變系數(shù)雙曲型方程. 注如果繩子的卜端為原點取軸豎直向上則方程為o2u a ( du 芥之頁(W丿+1.10 一根細長的勻質(zhì)圓桿軼截而的半徑為/? 桿的側(cè)面按N owtcm冷卻定律與 周閘介質(zhì)交換熱昴.試證明圓桿內(nèi)沿軸向的溫度分

19、布«(Tj)滿足方程du k d2u 2H況=亦菸訴佃7°)'比中人為桿的導(dǎo)熱系數(shù)"為桿的比熱容"為單位長度桿的質(zhì)杲.H是Newton冷卻定 律的比例系數(shù)“0是周用介質(zhì)的溫度.解 考察勻質(zhì)細桿中攵.工+ &的1段(圖1.6).根據(jù)熱傳導(dǎo)的Fourier定律,能 駅流(即單位時間通過單位截面的熱朗為-磅，是單位時間內(nèi)通過截面流入體 枳尤的純能龜為”(kuxx ( Arux)|+r)Jt/?2 = ( Arux)/?2Ar = AruxxJt/?2Aj：.乂根據(jù)N owton冷卻定律.在單位時間內(nèi)通過體積兀M創(chuàng)表欣面積為2兀/?A)與 周陽介

20、質(zhì)交換熱吊血得到的熱罠為-H(u-u0)(2nliST).以上兩項之.和等J：單位時 間內(nèi)體積元卩中增加的能量.由于cputv = C/7U/JT/?2A.T.所以c/7u(= lcuxxnFi2 Sjc 2RH(xi !/o)Aj?.消去便得到所要的方程.xx+At圖1.61.12設(shè)一塊均勻張緊的薄膜.靜止狀態(tài)在水平位nOryt面內(nèi)假設(shè)該薄膜做 微小橫振動(Oey平而的垂吃Jj向“軸方向).用函數(shù)u (上,yj)表示膜在點(.y)處、 在f時刻的位移.試推出叭卩亦)所滿足的偏微分方程.解 設(shè)膜的面密度為o.因為薄膜是均勻的.所以“是常數(shù).乂設(shè)般是柔軟的.膜 上每點的張力位J該點膜的切平面內(nèi)，

21、方向與截口互相垂直.由J：振動是微小的，可 假定膜上任意點沿任總方向的斜率小J-l, 的面積尤在振動中認為是近似不變 的.取平衡位置時位于(?),(“ + Ax.y), (x + Ax, y十Ay), (x,y + “)處的矩形 血元為隔離體按Hooke泄律.張力是常數(shù).設(shè)單位截I I長度上的張力為T在任意時 亥"膜微元的位置如圖1.7所示.其截I 上受鄰近部分臟的張力的人小為T工.T 與!/軸的負方向夾角為m截廠IEC所受張力大小為TSy.直方向與工軸夾角為第截 I ICD所受張力犬小為TAt, K方向與?/軸夾角為0;截I ID4所受張力人小為TSy. 其方向與工軸負方向的夾角為

22、這此張力在0功平面的常屆相耳平衡.膜上每一點 每一時刻的位移發(fā)生在與67/平面垂直的方向.hNcwkm第二定律.得TAt sin a 十 TAx sin 3 TAi/sin 6 十 TA?/ sin 7 = (pxy)uu .(1.3.13)曲J獨做微小橫振動所以!sin a u tan a = uy(x?/, f), sin (3 u tan 0 = uy(x. y +0,sin 5 % tan 6 = ux(x,y,t), sin 7 u tan 7 = ux(x 十 Sx.y.t).1.3補充習(xí)懸解答 # -將它們代入式(1.3.13),可得TAxu1/(x,t/ + At/, I) -

23、 uv(x,y,t) + Tux(x + 込 y)一 ux(x. y.t) = pAxAt/uff, 即T涪+欝卜叫令= -> 0. Ai/ -* 0.有T(UXX 十 Myy) = P'tt lfia2 = T/p,則UH - «2(WXX 十 Uyy) = 0.(1.3.14)這是二維波動方程.如果膜上每點還受到“方向的場力的作用，其力密度(即膜的單位面積上所受的 力)為F(z, y.t),令/(z,y,t) = Fgt)/p,則方程(1.3.14)變?yōu)锳Utt - a(Uxx + Uyy) = /(T, 2/J)(1315)這是非齊次的二維波動方程1.13 設(shè)Q

24、= (x5y)| x R1,!/ > 0.考慮柯兩問題(+ n = 0,(x, y) 6 Q,1 u(z, 0) = 0(t), utf(x,0) = 0(丄),x R其中呎工人諷巧為田匕的有界連續(xù)函數(shù)問：這個問題的解是否適定?13第1儀緒 論解然.當(dāng)該問題的解i股足不適定的.例如,取如(工,妙)=占e”"sin(/i2 + 1)顯O OO時，有sup |<(x)| + sup 妙(工)| = (n.-2 + n"1) sup | sin(/n2 + 1t)| > 0 工 WR1xRlrRz但是、當(dāng)"TOO時，有sup |wn(x,l/)| T

25、OQ1.14擴散方程.卜面考慮一維擴散的例子.設(shè)一均勻的細直管.里面充滿了液 體(比如水),當(dāng)注入-化學(xué)物質(zhì)(比如染料)那么該染料就耍在水里擴散用“仗,)農(nóng) 示在1：處時刻r時的液體的濃度.任意取一小段工0, x,見圖1.8. 在®(h工這圖18一段上，所含該化學(xué)物質(zhì)的質(zhì)彊為M(0 = u(y,t)dy.所以，A廠(t)= / ut(y.t)dy.J HOJro另外,在這一段上質(zhì)彊的變化由兩個端點的流入罠和流出最而產(chǎn)生.根據(jù)Fick擴 散定律得M'(t)=流入量一流出量=Kux(i,t) - Kux(xo，t).所以' ut(yj)dy = Kux(x,t) 一 Ku

26、x(x0,t). =0= (/Cllx)x 它稱為一維擴散方程，其中K為擴散系數(shù).對J：三維空間區(qū)域r?匕的擴散問題我們?nèi)稳￠_區(qū)域dgq.那么rhFick擴散定 律，得兩邊關(guān)hr求導(dǎo)、得=/D加心d心磅dSDOD由丁區(qū)域D是任意的，故XW)器(噲)+款嗨)+歎噲).它稱為三維擴散方程.如果K =衛(wèi)為常數(shù).則上述方程化為ut = div(JVVu) = a2d2U 02u2 a+ 夢+応1.3補充習(xí)懸解答 #-1.15長為厶的柱形管，一端封閉.另一端開放.管外空氣中含有某種氣體，比濃 度為5向管內(nèi)擴散寫出該擴散問題的定解問題.解'&x = 0端封閉.則該端沒仃氣體的流動，故宙擴散

27、定律仃-()=0.又 由J：開放的一端與管外相通.應(yīng)與管外空氣中的氣體濃度一樣.所以有u(L.t) = u0. 故該擴散問題的定解問題為(ut = DuXX30 < i < L. t>0.ux(0,t) = 0. u(L,t) = uq. t > 0,«(x.0) = 0,1.1G設(shè)仃-厚壁圓筒貞初始溫度為并設(shè)它的內(nèi)衷面的溫度增加與時間f成 線性關(guān)系，外表而按Newton冷卻定律進行熱交換試寫出實溫度分布滿足的定解問解如圖1.9所表示，設(shè)圓筒的內(nèi)半徑 為門，外半徑為仏則由區(qū)域的對稱性，我 們只需要考慮溫度“隨半徑r和時間啲變化情 況.顯然該問題的泛定方程和初始

28、條件分別 為ut = DAu = D(urr + rrj < r < 廠2, f > 0,n(n0)=",而內(nèi)表而的溫度為u(ri, /) = at 十 b.其中為常數(shù).(tM(r.O) = uo,可求得b = i/o.故有“(d) = at + u0.又設(shè)周I洞介碩的溫度為«1,則11J Newton冷卻定律仃-kur(r2,t) = H(u(r2,t) - g),即(u + /iwr)|rwr2 =5，其h=k/H,上和H分別為熱傳導(dǎo)系數(shù)和熱交換系數(shù).這是第三類邊界條件.1.17根長為£的勻質(zhì)細桿，當(dāng)桿做縱向微振動時.z = 0端固定.寫出卜

29、面兩種條件下x = L端的邊界條件.r =厶端受縱向拉力的作用； 15 第1帝緒 論(1) z = L端受彈性力F(t) = -ku(L.t)的作用"為彈性系數(shù).u(L.t)為工=L端 的縱向位移.解由Hooke定律.得H |- F lx=L= £5*式中E為楊氏模最.S為桿的橫截面枳.(2)由F(t) = -ku(L,t)f 得u丄"=-£"(川)，或(Wx + Am)|x=l =0.式中人=k/ES.第2章二階線性偏微分方程的分類與標準型2.1基本內(nèi)容提要2.1.1兩個自變量的二階線性偏微分方程的分類和化標準型1. 方程的分類考慮兩個門變吊

30、上！/的二階線性偏微分方程«11WXX + 2a 12"" + a22uyy + aLux + bluy + CM /(”),(工，M) P (2.1.1)其中實系數(shù)函數(shù)011(X, y). «12(X. y),y)在。上不全為零，判別式4 = af2_ftila22-(1) 若在點(xo,j/0)處，判別式 > 0.則稱方程(2.1.1)在點(列,如)為雙曲 型的；(2) 若在點血皿)處，判別式4 = 0.則稱方程(2.1.1)在點(to.?/o)為拋物 型的；(3) 若在點(兀皿)處，判別式4 < 0,則稱方程(2.1.1)在點(珈如)為

31、橢圓 型的.另外，如果方程(2.1.1)在區(qū)域O中的每點均為雙曲熨那么稱方程(2.1.1)在區(qū) 域O中是雙曲型的同樣如果方程(2.1.1)在區(qū)域貝屮的每點均為拋物型(橢惻型)的. 那么稱方程(2.1.1)在區(qū)域。中是拋物型(橢圓型)的.2. 特征方程常微分方程au(dt/)2 2«i2dxdi/ + a22(dx)2 = 0.(2.1.2)稱為偏微分方程(2.1.1)的特征方程.而特征方程(2.1.2)的積分曲線(乂稱通枳分或者 通解)稱為方程(2.1.1)的特征曲線或特征線如果anO.那么可得(2.1.3)方程組(2.1.3)也稱為偏微分方程(2.1.1)的特征方程組.2.1基木內(nèi)

32、容提耍 #-3. 化標準型雙曲型：zA>0.此時方程組(2.1.3)仃兩族不同的實積分曲線，即01(叭 y) = c,初(a,y) = C2,經(jīng)變換£ = egy)、n = 02(sy), 方程(2.1.1)可以化為第一標準熨"5 = A2U( + B2Urj + C2U + 局 作變換« =扣+ "), 0=扣一“)，方程(2.1.1)可以化為第二標準熨Maa 一 = AUn 十 BU0 + C3M + 巧.(2.1.4)(2.1.5)(2.1.6)2.1基木內(nèi)容提耍 #-2.1基木內(nèi)容提耍 19-拋物型：4 = 0這時方程組(2.1.3)成為一

33、個常微分方程dy = ai2dx an *其解為一族實特征曲線，設(shè)為©(£，!/) = c.取£ = y)和任一函數(shù)=諷=,y).使專蘭農(nóng)0,那么式(2.1.1)町化為拋物型方程的標準型如y)Ujjjj =+ BUff + C4U + Fg(2.1.7)注 如果農(nóng)豐0,通常取0 = y；如果如豐0.通常取/ = z.橢圓型：J<0.這時特征方程(2.1.3)沒有實的特征曲線.由丁方程組(2.1.3)的 系數(shù)是實函數(shù)因此其解為対共軌復(fù)值特征曲線©1(9 y) = a + i0 = 6,02 = a i/? = C2,其屮a.S為的實函數(shù).作變換(=a

34、 = a(z.?/), = 0 = 0(H,y),(2.1.8)那么(2.1.1河化為橢圓世方程的標準型(2.1.9)叱 + unn = 蟲5 + 民5 + C5U + 尺.2.1.2多個自變最的二階線性偏微分方程的分類和化標準型n個自變品1“2,宀的二階線性偏微分方程的-般形式為其中X =(T1.T2, - ,xn).系數(shù)aij,bi,cf(x)為n維空間某區(qū)域£?上的適當(dāng)光滑的實 函數(shù).a.j(x) = aji(a;),11不全為零.系數(shù)a萬構(gòu)成的對稱陣A = (a：j)nXn)它所對應(yīng)的 二次型是nQ(入)=Q(入1,入2,，入J =另 旳人入j(2.1.11)ij=l我們有如

35、卜分類：若二次型Q(入I,入2,，入“)在點d =(理，電，鳴)處為非退化且不定(即 矩陣仙g°)”xn的特征值全不為零II不同則諄方程(2.1.10)在點卅)為超雙曲 型的(ultrnhyperbolic).特別地.若此時二次熨Q(mào)(入1,入2,九)的正慣性指數(shù)或負 慣性指數(shù)為n - 1,則稱方程(2.1.10)在此點為雙曲型的(hyperbolic).(2) 若二次型Q(入I,入2,，入J在點？=(迅述，鳴)處為退化二次型(即 矩陣(血血°)“至少冇一特征值為零)，則稱方程(2.1.10)在點工°為超拋物型的(ultraparabolic). 特別地.若此時二次

36、型Q(入汕的正慣性指數(shù)或負慣件指數(shù) 為n-1,則稱方程(2.1.10)在此點為拋物型的(parabolic).(3) 若二次型Q(入1,入2,，入在點d =(俎述，鳴)為正定或負定(即矩 陣(仙)”x“的特征值的符號完全相同)，則稱方程(2.1.10)在點為橢圓型的(el- liptic)設(shè)方程(2.1.10)中的系數(shù)知上莎為常數(shù).此時,A =(切)nxn是一個71階實對稱 非零矩陣.由線性代數(shù)知識知道.必存在非奇異矩陣B =(如)“n,使得/ ij0.0、0t20(如)耐=血切=.,l 00in 1其中認 -1.0.1, 1.2,小.設(shè)集合"，阮心中1的個數(shù)為卩(稱為 正慣性指數(shù))

37、-1的個數(shù)為g(稱為負慣性指數(shù)).I人I此上述炬陣對角線冬尤的個數(shù) *n-p-g>0.根據(jù)定義，我們有如下分類:如果p>0,g>0,p + g = n,則常系數(shù)偏微分方程(2.1.10)是超雙曲型的.特 別地.當(dāng)("<?) = 5 - 1.1),或(P,q) = (1,7»_ 1)時,方程(2.1.10)是雙曲型的. # 第2住二階線性偏微分方程的分類9標準樂(4) 如果">().q>().p + q<n.則常系數(shù)偏微分方程(2.1.10)是超拋物熨的.特 別地,當(dāng)(p.q) = (n 一 1.0),或(p.q) = (0

38、"_ 1)時,方程(2.1.10)是拋物型的.(5) 如果(p, q) = (n,0),或(p，g) = (0. n),則常系數(shù)偏微分方程(2.1.10)是#6圓型 的.作自變昴的非奇異線性變換£ = Bx,這樣方程(2.1.101就可以化為標準形式bs-x4+=i(2112)2.2習(xí)題解答2.1判定下列方程的類型：(1) 4mxi - 7uxy + 3uyy = 0;(2) a2urx 十 2auxy 十 uyy = 0. a為常數(shù);(3) r2uxx - y2uyy = 0：(4) i2u + (ar + y)2uyy = 0.解 (1)系數(shù)an = 4,012 = 7

39、/2.022 = 3.判別式4 = a% flnfl22 = 1/4 > 0, 方程是雙曲型.(2) 系數(shù)an = a2,ai2 = a,a22 = 1-判別式 = a% «11«22 = 0、方程是拋 物型.(3) 系數(shù)an = x2,ai2 = 0(i22 = 一！A 判別式4 = a2 一 «11«22 = 2!/2-當(dāng)0 0時，方程是雙曲型.當(dāng)27 = 0時.方程是拋物型.(4) 系數(shù)an = x2,ai2 = 0,a22 =(工 + 界.判別式4 =尿2-©222 = -x2(x + y)2. 當(dāng)z(x + !/) 0 0時.方

40、程是橢圓型：當(dāng)環(huán)r +切=0時，方程是拋物型.化下列方程為標準型：22 Wxx 十 4Wjr-|y + 5Uyy + Ux + 212y 0.解 判別式 = -1<0方程是橢圓型.特征方程組是39 . ；%石=2“石=2-】，其特征線是y (2 + i)ar =",妙(2 - i)x = c2.令£ = y _2工、葉=x.貝9原方程化為 標準型+ uTlfl - Ujj = 0.2»3十 2工1/：1 xy 十 2/ Myy = 0.解 判別式 = 0方程是拋物型.特征方程組是2.2習(xí)題解答_ y石=?其特征線是y =皿 令£ =椒、n = x.

41、則原方程化為標準世= °2.4 nxx 2cosxuTy (3 + sin x)uyv yu書=0. 解 判別式4 = 4方程是雙曲型.特征方程組是2 cos 斗2.2習(xí)題解答2.2習(xí)題解答其特征線是y = 2x sin 工 + ci, y = 2x sin r +令£ = v - 2t + sinx. = “ + 2工+ sine則原方程化為標準型32”的 + (C + )(叱 + 5)= 0令5=( + “)/2. t = W 7/)/2.則=0.2.2習(xí)題解答2.2習(xí)題解答2.5(1 4- X2)UXI + (1 十 y2)yy + 広+ J/«y = &#

42、176;解 判別式 = -(1 +”)(1 + /)< 0,方程是橢圓型.特征方程組是dy /T+T5-. d? = VTT1/1 十 1/2 = _VTTb2.2習(xí)題解答其特征線是ln(!/ 十 /1 + y2) = ln(z + + r2)i + cj. ln(!/ + /1 + I/2) = - ln(x + /1 + r2)i + ci.令(=n(y + Jl + /). “ = n(x + x/T+Tr7).則原方程化為標準熨M& + U”fj = 0.2.6 e2xuxx + 2ex+«uxv + vuyy = 0.解 判別式zl = 0.方程是拋物型.特征

43、方程組是2.2習(xí)題解答2.2習(xí)題解答其特征線是2.2習(xí)題解答令© =曠"一°7“ =耳則原方程化為標準型e2xu9)fJ + 叱(卩皆)=0或者求下列定解問題的解：2.7uTX + 2 cos xuxy sin2 xUyy sin xuy = 0,(j y) HI2,u(x, sin x) = x + cos x. uy(x. sin x) = sin j. x R1.解判別式 = 1 方程是雙曲型.符征方程組是単=COS Z + 1, 翌=COS T 1.drax其特征線是y = sinar 十 m 十y = sin® rr 十 c?.令£

44、= y sinx rj = y sinz +工，貝9原方程可化為標準型= °,其通解為" = F(° + G5),故原方程的通解是u(x, y) = F(y sin x x) + G(y sin x + jt),比中F.G為任意二階可微西數(shù).卜面ft!初始條件確定函數(shù)F.G因為u(x,sinr) = F(x) + G(jt) = x + cosuy(x,sini) = Fx) + Gz(x) = sin對第二個方程關(guān)Jr積分，得F(x) + G(x) = coax + q由此得到x cXCG(x) = 2 + 2*F(-h) = - + COST-故原方程的解為u

45、(x. y) = F(y sin r t) + G(y sin 工十 匚)=j十 cos(y sin x i).2.2習(xí)題解答uIX 2 sin TuTy 一 (3 十 cos2 x)uyy 十 ux 十(2 sin ar cos x)uy = 0.(z, y) e R2,COSX)= 0. UW(T, COSI)=COST, X E R1.解 判別式4 = 4.方程是雙曲型.特征方程組是dy 石=2 sin 工、石=2 sin x,2.2習(xí)題解答2.2習(xí)題解答其特征線足y cost 2工=5、 y cost 十 2丄=q.令£ = y cosx 2x.tj = y cosx + 2

46、，則原方程化為標準型=憐其通解為私=F(0 +話7仞).故原方程的通解是y cos z 2x , u(x,y) = F(y cost 2x) + e 3 G(y cost + 2x).由第一個初始條件，得u(jr, cost) = F(2x) + e 一壬 G(2rr) = 0.所以G(2a) = -eTF(-2ar),求導(dǎo)數(shù)得2G2x) = 一(-2巧十 2壯 F'(-2r).乙由第二個初始條件得cost = uy(x,coax) = Ff(2x) + -e"7G(2x) +e壽G"(2ar),4由此解得F(2jt) = (sin t + q),G(2x) = s

47、in x + cp所以原初始問題的解是u(x.y) = F(y cosh 2r)十 e 5 G(y cosx 十 2i)=2 cos i sin 27第2盤二階線性備微分方程的分類打標準型(2.2.1)2.9證明：兩個自變龜?shù)亩A常系數(shù)雙曲型方程«llWrx + a12uxy + «22wyy + alux + 5叫 + CU = f(l.y)一定可以經(jīng)過門變吊及未知數(shù)的IE奇異變換u = VeA將它化成-V + CV = F(«,77)的形式，其中C為常數(shù)，F(xiàn)為已知函數(shù).證 當(dāng)4 = «12_«11«22 > 0時，方程(2.

48、2.1)是雙曲型方程，故存在& = <(x,!/),耳= ri(T,y),其中磐型MO,使得方程(221)化為o(x. y)一 U初 + 如哎 + A2U7J + A3U = flD進一步令“=以入£+巴則得以£ - Vrirt十(Al - 2入)以十(A2 - 2“)十(A2 一 “2十A41十“血十AS)V = /但一入, 令入=_*.“ = #,則方程變?yōu)槌?心+ CV = F(5其中C = 1(42 -召)+蟲3, F = Ae-“-切.證畢.2.10適當(dāng)選取參數(shù)A和利用變換v(x.y) = 4+繩“(),化簡下列方程:(1) UXX + Uyy +

49、aux + (3uy += 0：(2) uXI = a-2uw + 6ux 十 au;(3) uxx 一 a2uvv = aux 十 0uy 十 7u;(4) uxy = aux + (3uy.解(1)設(shè)u(x,y) = eXx,tyv(i,y),接代入原方程.可得vxx + vyy + (a 2X)vx 十(0 - 2p)vy + (A2 + “2 - An - “0 + y)v = 0.11o2 i “2取入=ia, “ =釵o = 7 - 音丄，則上述方程化為Zx4VZx + vyy 十 70 =()(2)類似地，設(shè)ti(x.y) = cXxflvv(x. y), Jt 中入=一 *0，

50、“ =疋則原方程化為2.2習(xí)題解答# -(2) 類似地，設(shè)u(x,y) = eXxfiyv(x.y),其中入=-|a, p =卜 則原方程化 為vxx - a2vyy += 0.其中To = (/?2a2 - a2) - 7-(3) 類似地,設(shè)u(x, y) = eXxPVv(x,y), K中入=一隊 u = -a, 70 = 一則原 方程化為VXy + =0.2.11求方程uxy =("z Uy) x - y的通解.解原方程可以化為(X 一 y)uxy = ux 一 uv 或 xuXy + Uy = yuxv 十 ux,它可以寫成(xux + u)y = (yuy + u)x 或(

51、xu)xj, = (yu)yx 或(xu 一 yu)xy = 0,枳分兩次、得其通解(x - y)u = F(x) + G(y) 或 u = ,x - y其中F和G為任慝二階可微函數(shù).2.12設(shè)方程Auxx 十 Buxy 十 Ctlyy = 0(2.2.2)中的常系數(shù)A.B.C滿足"2 440 = 0.蟲*0.證明該方程的通解具有如卜形式：y) = f(mx 十 y)十 xg(mx 十 y),其中/g為任意兩個二階可微換數(shù)和m = -召.解 因為判別式4 = 132 - AC = 0.所以原方程為拋物熨方程和特征方程為d" Bd7 = 24 =其特征曲線是y + mi = ci.作變駁代換(= jt/ + mx, “ = x.那么原方程化為"何=°2.2習(xí)題解答29 -2.2習(xí)題解答# -該方程關(guān)旳積分兩次得具通解w = (C + g(£),所以原方程通解為u = if(y + mx) + g(y + mi).求下列方程的標準型:2.13 Wxy Wxz + "工 + "卩"z = 0 解方程的系數(shù)矩陣是卜面求矩陣B使得BABT = diagii,t2,t3 = Dh其中力 -1,0,1.我們利 川初等變換求矩陣B皋本想法是：先寫出