第四講 線性方程組的解ppt課件

1、一、線性方程組有解的判定條件問題：問題： .01nARxAnnm 矩矩陣陣的的秩秩的的充充分分必必要要條條件件是是系系數(shù)數(shù)有有非非零零解解元元齊齊次次線線性性方方程程組組定定理理的的解解討討論論線線性性方方程程組組的的秩秩，和和增增廣廣矩矩陣陣如如何何利利用用系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣bAxBA ,根據(jù)克拉默定理根據(jù)克拉默定理個方程只有零解個方程只有零解所對應的所對應的 nDn證證必要性必要性. . ,nDnAnAR階非零子式階非零子式中應有一個中應有一個則在則在設(shè)設(shè) 從而從而有非零解，有非零解，設(shè)方程組設(shè)方程組0 Ax這與原方程組有非零解相矛盾，這與原方程組有非零解相矛盾， .nAR 即即不不能能成成

2、立立nAR )(充分性充分性. . ,nrAR 設(shè)設(shè).個自由未知量個自由未知量從而知其有從而知其有rn- -任取一個自由未知量為，其余自由未知量為，任取一個自由未知量為，其余自由未知量為，即可得方程組的一個非零解即可得方程組的一個非零解 .個非零行，個非零行，的行階梯形矩陣只含的行階梯形矩陣只含則則rA證證必要性必要性,有解有解設(shè)方程組設(shè)方程組bAx ,BRAR 設(shè)設(shè)則則B B的行階梯形矩陣中最后一個非零行對應矛盾的行階梯形矩陣中最后一個非零行對應矛盾方程，方程， .,2的的秩秩陣陣的的秩秩等等于于增增廣廣矩矩矩矩陣陣的的充充分分必必要要條條件件是是系系數(shù)數(shù)有有解解元元非非齊齊次次線線性性方方

3、程程組組定定理理bABAbxAnnm 這與方程組有解相矛盾這與方程組有解相矛盾. .BRAR 因而因而并令并令 個自由未知量全取個自由未知量全取0 0，rn- -即可得方程組的一個解即可得方程組的一個解充分性充分性. . ,BRAR 設(shè)設(shè) ,nrrBRAR 設(shè)設(shè)證畢證畢個非零行，個非零行，的行階梯形矩陣中含的行階梯形矩陣中含則則rB其余其余 個作為自由未知量個作為自由未知量, ,rn- - 把這把這 行的第一個非零元所對應的未知量作為行的第一個非零元所對應的未知量作為非自由未知量非自由未知量, ,r小結(jié)小結(jié)有唯一解有唯一解bAx nBRAR nBRAR 有無窮多解有無窮多解. .bAx 方程組

4、的通解方程組的通解性性程組的任一解，稱為線程組的任一解，稱為線定義：含有個參數(shù)的方定義：含有個參數(shù)的方齊次線性方程組：系數(shù)矩陣化成行最簡形矩陣，齊次線性方程組：系數(shù)矩陣化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解；便可寫出其通解；非齊次線性方程組：增廣矩陣化成行階梯形矩非齊次線性方程組：增廣矩陣化成行階梯形矩陣，便可判斷其是否有解若有解，化成行最陣，便可判斷其是否有解若有解，化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解；簡形矩陣，便可寫出其通解；例例1 1 求解齊次線性方程組求解齊次線性方程組.034022202432143214321 - - - - - - - xxxxxxxxxxxx解解 - - - - - -

5、 341122121221A - - - - - - -463046301221二、線性方程組的解法施行初等行變換：施行初等行變換：對系數(shù)矩陣對系數(shù)矩陣 A13122rrrr- - - 0000342101221)3(223- - - -rrr212rr - - - - -00003421035201即得與原方程組同解的方程組即得與原方程組同解的方程組 - - -, 0342, 0352432431xxxxxx - - - ,342,3522413222221cxcxccxccx).,(43可任意取值可任意取值xx由此即得由此即得 - - - ,342,352432431xxxxxx形形式式，

6、把把它它寫寫成成通通常常的的參參數(shù)數(shù)令令2413,cxcx .1034350122214321 - - - - ccxxxx例例 求解非齊次線性方程組求解非齊次線性方程組 - - - - - - - - - -. 3222, 2353, 132432143214321xxxxxxxxxxxx解解對增廣矩陣對增廣矩陣B進行初等變換，進行初等變換， - - - - - - 322122351311321B13122rrrr- - - - - - - - -10450104501132123rr - - - - - - -200001045011321, 3)(, 2)( BRAR顯顯然然，故方程組

7、無解故方程組無解例例 求解非齊次方程組的通解求解非齊次方程組的通解.2132130432143214321 - - - - - - - - - - - -xxxxxxxxxxxx解解 對增廣矩陣對增廣矩陣B進行初等變換進行初等變換 - - - - - - - - 2132111311101111B - - - - - -2121001420001111.00000212100211011 - - - - , 2 BRAR由由于于故方程組有解，且有故方程組有解，且有 2122143421xxxxx 42442342242102120021xxxxxxxxxxxx.0210211200001142

8、4321 xxxxxx.,42任任意意其其中中xx所以方程組的通解為所以方程組的通解為例例 求求出出它它的的一一切切解解在在有有解解的的情情況況下下，是是有有解解的的充充要要條條件件證證明明方方程程組組. 054321515454343232121 - - - - - - - - - -aaaaaaxxaxxaxxaxxaxx解證解證對增廣矩陣對增廣矩陣B進行初等變換，進行初等變換，方程組的增廣矩陣為方程組的增廣矩陣為 - - - - - - 543211000111000011000011000011aaaaaB - - - - - 51432100000110000110000110000

9、11iiaaaaa 051 iiaBRAR. 051 iia是是方方程程組組有有解解的的充充要要條條件件由于原方程組等價于方程組由于原方程組等價于方程組 - - - - - - - -454343232121axxaxxaxxaxx由此得通解：由此得通解： 544543354322543211xaxxaaxxaaaxxaaaax .5為為任任意意實實數(shù)數(shù)x例例 設(shè)有線性方程組設(shè)有線性方程組 23213213211 xxxxxxxxx?,有有無無窮窮多多個個解解有有解解取取何何值值時時問問 解解 21111111 B 11111112 作作初初等等行行變變換換，對對增增廣廣矩矩陣陣),(bAB

10、- - - - - - -2222111011011 - - - - - - - - -32222120011011 - - - - - - - 22112100111011 ,11時時當當 000000001111B ., 3 方方程程組組有有無無窮窮多多解解 BRAR其通解為其通解為 - - - 33223211xxxxxxx .,32為為任任意意實實數(shù)數(shù)xx ,12時時當當 - - -22120011011 B這時又分兩種情形：這時又分兩種情形： :, 3,2)1方方程程組組有有唯唯一一解解時時 - - BRAR .21,21,212321 - - xxx .,故故方方程程組組無無解解B

11、RAR ,2)2時時- - - - - -300063304211B三 思考題.,?,12105, 3153, 363, 1324321432143214321求求出出一一般般解解況況下下情情在在方方程程組組有有無無窮窮多多解解的的有有無無窮窮多多解解有有唯唯一一解解方方程程組組無無解解取取何何值值時時當當討討論論線線性性方方程程組組tptxxxxxxpxxxxxxxxxx - - - - - - 思考題解答 - - - - - tpB121051315133163113211解解 - - - - - - - -191260066402242013211tp - - -53000422001121013211tp;, 4)()(,2)1(方方程程組組有有唯唯一一解解時時當當 BRARp - - - - -1000021000112101321153000420001121013211ttB有有時時當當,2)2( p;, 4)(3)(,1方方程程組組無無解解時時當當 BRARt -