河海大學(xué)彈性力學(xué)徐芝綸版第六章

1、第六章 用有限單元法解平面問題第五節(jié)第五節(jié) 單元的結(jié)點力列陣與勁度矩陣單元的結(jié)點力列陣與勁度矩陣第四節(jié)第四節(jié) 單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣 第三節(jié)第三節(jié) 單元的位移模式與解答的收斂性單元的位移模式與解答的收斂性第二節(jié)第二節(jié) 有限單元法的概念有限單元法的概念第一節(jié)第一節(jié) 基本量及基本方程的矩陣表示基本量及基本方程的矩陣表示概述概述第六節(jié)第六節(jié) 荷載向結(jié)點移置荷載向結(jié)點移置 單元的結(jié)點荷載列陣單元的結(jié)點荷載列陣第六章 用有限單元法解平面問題例題例題第十一節(jié)第十一節(jié) 應(yīng)用變分原理導(dǎo)出有限單元法的基本方程應(yīng)用變分原理導(dǎo)出有限單元法的基本方程第十節(jié)第十節(jié) 計算實例計算實例第九節(jié)第九節(jié)

2、 計算成果的整理計算成果的整理第八節(jié)第八節(jié) 解題的具體步驟解題的具體步驟 單元的劃分單元的劃分第七節(jié)第七節(jié) 結(jié)構(gòu)的整體分析結(jié)點平衡方程組結(jié)構(gòu)的整體分析結(jié)點平衡方程組第六章 用有限單元法解平面問題 對工程問題，力學(xué)研究涉及到對工程問題，力學(xué)研究涉及到工程簡化工程簡化、物理模型物理模型和和力學(xué)分析力學(xué)分析，而解決力學(xué)問題的三大支柱為，而解決力學(xué)問題的三大支柱為實驗手段實驗手段，理論理論分析分析和和計算手段計算手段。 用計算手段解決力學(xué)問題（用計算手段解決力學(xué)問題（計算力學(xué)）計算力學(xué)）是是計算機科學(xué)、計算數(shù)學(xué)和力學(xué)學(xué)科計算機科學(xué)、計算數(shù)學(xué)和力學(xué)學(xué)科交叉、交叉、相互滲透的產(chǎn)物。相互滲透的產(chǎn)物。一般認為

3、計算力學(xué)始于一般認為計算力學(xué)始于有限元方法的出現(xiàn)有限元方法的出現(xiàn)。 數(shù)值計算方法是計算力學(xué)的核心內(nèi)容數(shù)值計算方法是計算力學(xué)的核心內(nèi)容，它是解決工程實，它是解決工程實際力學(xué)問題的有效手段，已被學(xué)術(shù)界和工程界廣泛認可作際力學(xué)問題的有效手段，已被學(xué)術(shù)界和工程界廣泛認可作為一種力學(xué)狀態(tài)的分析工具。近幾十年來數(shù)值方法發(fā)展迅為一種力學(xué)狀態(tài)的分析工具。近幾十年來數(shù)值方法發(fā)展迅速，相繼出現(xiàn)了：速，相繼出現(xiàn)了：第六章 用有限單元法解平面問題變分法（變分法（Variational Method）有限差分法（有限差分法（Finite Difference Method, FDM）有限元法（有限元法（Finite E

4、lement Method, FEM）邊界元法（邊界元法（Boundary Element Method, BEM）無限元法（無限元法（Infinite Element Method, IEM）剛體彈簧模型或剛性有限元法（剛體彈簧模型或剛性有限元法（Rigid-Spring Model RBSM ）界面應(yīng)力元模型（界面應(yīng)力元模型（Interface Stress Element Model, ISEM）離散元法（離散元法（Distinct Element Method, DEM）關(guān)鍵塊理論（關(guān)鍵塊理論（Key Block Theory, KBT）非連續(xù)變形分析非連續(xù)變形分析(Discontin

5、uous Deformation Analysis, DDA)無單元法（無單元法（Meshless Element Free Method）流形方法（流形方法（Manifold Method, MM）廣義有限元法（廣義有限元法（Generalized Finite Element Method, GFEM）混合數(shù)值方法（混合數(shù)值方法（Mixed Numerical Method）現(xiàn)有的數(shù)值分析方法現(xiàn)有的數(shù)值分析方法第六章 用有限單元法解平面問題第六章第六章 用有限單元法解平面問題用有限單元法解平面問題1.有限元法有限元法（Finite Element Method-FEM） FEM2. FEM

6、的特點的特點 概述概述（1 1）具有）具有通用性和靈活性通用性和靈活性。 首先將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)，然后再利用首先將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)，然后再利用分片插值技術(shù)分片插值技術(shù)與與虛功原理虛功原理或變分方法進行求解?；蜃兎址椒ㄟM行求解。簡稱簡稱FEM，是彈性力學(xué)的一種是彈性力學(xué)的一種近似解法。近似解法。第六章 用有限單元法解平面問題簡史3. FEM簡史簡史 （2 2）對同一類問題，可以編制出）對同一類問題，可以編制出通用程序通用程序，應(yīng)用計算機進行計算。應(yīng)用計算機進行計算。 （3 3）只要適當(dāng)加密網(wǎng)格，就可以達到工程）只要適當(dāng)加密網(wǎng)格，就可以達到工程要求的精度。要求的精度。 1943 194

7、3年柯朗年柯朗( (德國著名數(shù)學(xué)家德國著名數(shù)學(xué)家 ) )第一次提出第一次提出了了FEMFEM的概念。的概念。 FEM FEM是上世紀(jì)中期才出現(xiàn)，并得到迅速發(fā)展是上世紀(jì)中期才出現(xiàn)，并得到迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用的一種數(shù)值解法。和廣泛應(yīng)用的一種數(shù)值解法。 第六章 用有限單元法解平面問題 1970 1970年后，年后，F(xiàn)EMFEM被引入我國，并很快地得到應(yīng)用被引入我國，并很快地得到應(yīng)用和發(fā)展。和發(fā)展。簡史 1956 1956年，特納等人提出了年，特納等人提出了FEMFEM。 2020世紀(jì)世紀(jì)5050年代，平面問題的年代，平面問題的FEMFEM建立，并應(yīng)用建立，并應(yīng)用于工程問題。于工程問題。 1960 19

8、60年提出了年提出了FEMFEM的名稱。的名稱。 20 20世紀(jì)世紀(jì)6060年代后，年代后，F(xiàn)EMFEM應(yīng)用于各種力學(xué)問題和應(yīng)用于各種力學(xué)問題和非線性問題，并得到迅速發(fā)展。非線性問題，并得到迅速發(fā)展。第六章 用有限單元法解平面問題導(dǎo)出方法5.5.本章介紹平面問題的本章介紹平面問題的FEMFEM4. FEMFEM的主要導(dǎo)出方法的主要導(dǎo)出方法 應(yīng)用應(yīng)用靜力方法靜力方法或變分方法導(dǎo)出?；蜃兎址椒▽?dǎo)出。僅敘述按位移求解的方法。僅敘述按位移求解的方法。且一般都以平面應(yīng)力問題來表示。且一般都以平面應(yīng)力問題來表示。第六章 用有限單元法解平面問題6-1 基本量和基本方程的基本量和基本方程的 矩陣表示矩陣表示

9、本章無特別指明，均表示為本章無特別指明，均表示為平面應(yīng)力平面應(yīng)力問題問題的公式。的公式。 采用采用矩陣表示矩陣表示, ,可使公式統(tǒng)一、簡潔，可使公式統(tǒng)一、簡潔，且便于編制程序。且便于編制程序。第六章 用有限單元法解平面問題。Tyxff)(f。Tyxvyxu),(, ),(d。Txyyx)(。Txyyx)(。Tjjiivuvu)(。TjyjxiyixFFFF)(F基本物理量基本物理量：。Tyxff)(f體力體力: :基本物理量位移函數(shù)位移函數(shù):應(yīng)變應(yīng)變:應(yīng)力應(yīng)力:結(jié)點位移列陣結(jié)點位移列陣:結(jié)點力列陣結(jié)點力列陣: :面力面力: :第六章 用有限單元法解平面問題 物理方程物理方程:)(bD)(210

10、0010112cED FEM中應(yīng)用的方程：中應(yīng)用的方程：)()(ayvxuyvxuT幾何方程幾何方程:應(yīng)用的方程其中其中D D為彈性矩陣，對于平面應(yīng)力問題是為彈性矩陣，對于平面應(yīng)力問題是: :第六章 用有限單元法解平面問題 -結(jié)點虛位移結(jié)點虛位移; ; - -對應(yīng)的虛應(yīng)變。對應(yīng)的虛應(yīng)變。ATTdxdytF*)( )(*應(yīng)用的方程圖6-1yxoij*,iiyvF*,iixuF*,jjyvF*,jjxuF虛功方程虛功方程:其中其中: : 在在FEMFEM中，用結(jié)點的平衡方程代替平衡中，用結(jié)點的平衡方程代替平衡微分方程，后者不再列出。微分方程，后者不再列出。第六章 用有限單元法解平面問題 3 3.

11、.整體分析整體分析。 6-2 6-2 有限單元法的概念有限單元法的概念 FEMFEM的概念，可以簡述為：的概念，可以簡述為：采用有限自由度采用有限自由度的離散單元組合體模型去描述實際具有無限自由的離散單元組合體模型去描述實際具有無限自由度的考察體，是一種在力學(xué)模型上進行近似的數(shù)度的考察體，是一種在力學(xué)模型上進行近似的數(shù)值計算方法。值計算方法。 其理論基礎(chǔ)是其理論基礎(chǔ)是分片插值技術(shù)分片插值技術(shù)與與虛功原理虛功原理或變分原理?；蜃兎衷怼?FEM的概念1.1.將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)；將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)； 2.2.單元分析；單元分析；FEMFEM的分析過程：的分析過程：第六章 用有限單元法解

12、平面問題(a) 桁架(b) 深梁（連續(xù)體） 結(jié)構(gòu)力學(xué)研究的對象結(jié)構(gòu)力學(xué)研究的對象是是離散化結(jié)構(gòu)離散化結(jié)構(gòu)。如桁架，。如桁架，各單元（桿件）之間除結(jié)點鉸結(jié)外，沒有其他聯(lián)各單元（桿件）之間除結(jié)點鉸結(jié)外，沒有其他聯(lián)系（圖（系（圖（a a）。）。結(jié)構(gòu)離散化1. 結(jié)構(gòu)離散化結(jié)構(gòu)離散化將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)第六章 用有限單元法解平面問題 將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu): :即將連續(xù)體劃分即將連續(xù)體劃分為有限多個、有限大小的單元，并使這些單元僅為有限多個、有限大小的單元，并使這些單元僅在一些結(jié)點處用絞連結(jié)起來，構(gòu)成所謂在一些結(jié)點處用絞連結(jié)起來，構(gòu)成所謂離散化離散化

13、結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)離散化彈力研究的對象彈力研究的對象，是，是連續(xù)體連續(xù)體（圖（圖（b b）) )。(a) 桁 架(b) 深 梁 （ 連 續(xù) 體 ）第六章 用有限單元法解平面問題 圖圖（c）與圖與圖( a）相比，兩者都是離散化結(jié)相比，兩者都是離散化結(jié)構(gòu)；區(qū)別是，桁架的單元是桿件，而圖構(gòu)；區(qū)別是，桁架的單元是桿件，而圖（c）的的單元是三角形塊體（注意：單元是三角形塊體（注意：三角形單元內(nèi)部仍三角形單元內(nèi)部仍是連續(xù)體是連續(xù)體）。）。(c) 深 梁 （ 離 散 化 結(jié) 構(gòu) ）結(jié)構(gòu)離散化例如例如： 將深梁劃分為許多三角形單元，這些單將深梁劃分為許多三角形單元，這些單元僅在角點用元僅在角點用鉸鉸連接起來。連接

14、起來。(a) 桁 架(b) 深 梁 （ 連 續(xù) 體 ）第六章 用有限單元法解平面問題2.2.單元分析單元分析 求解方法 每個三角形單元仍然假定為每個三角形單元仍然假定為連續(xù)的、均勻的、連續(xù)的、均勻的、各向同性的完全彈性體各向同性的完全彈性體。因單元內(nèi)。因單元內(nèi)部仍是連續(xù)體，部仍是連續(xù)體，應(yīng)按彈性力學(xué)方法進行分析。應(yīng)按彈性力學(xué)方法進行分析。 取各結(jié)點位移取各結(jié)點位移 為基本未為基本未知量知量。然后對每個單元。然后對每個單元, ,分別求出各物理量分別求出各物理量, ,并均并均用用 來表示。來表示。), 2 , 1()(ivuTiii), 2 , 1(ii第六章 用有限單元法解平面問題（1）應(yīng)用插值

15、公式應(yīng)用插值公式, 由單元結(jié)點位移由單元結(jié)點位移 ，求單元的位移函數(shù)，求單元的位移函數(shù)Tmjie)(。Tyxvyxu),(),(d求解方法這個插值公式稱為單元的這個插值公式稱為單元的位移模式位移模式，為：，為：。ed 單元分析的主要內(nèi)容：單元分析的主要內(nèi)容：第六章 用有限單元法解平面問題（4 4）應(yīng)用虛功方程，由單元的應(yīng)力）應(yīng)用虛功方程，由單元的應(yīng)力 ， 求出求出單元的結(jié)點力單元的結(jié)點力，表示為，表示為（3 3）應(yīng)用物理方程，由單元的應(yīng)變）應(yīng)用物理方程，由單元的應(yīng)變 ， 求出求出單元的應(yīng)力單元的應(yīng)力，表示為，表示為（2 2）應(yīng)用幾何方程，由單元的位移函數(shù)）應(yīng)用幾何方程，由單元的位移函數(shù)d d，

16、 求出求出單元的應(yīng)變單元的應(yīng)變，表示為，表示為。eS。eB求解方法。emjiekFFFF(第六章 用有限單元法解平面問題單元對結(jié)點的單元對結(jié)點的作用力，與作用力，與 數(shù)數(shù)值相同值相同, ,方向相反，方向相反，作用于結(jié)點。作用于結(jié)點。 -結(jié)點對單元的作用力，作用結(jié)點對單元的作用力，作用 于單元，稱為于單元，稱為結(jié)點力結(jié)點力，以，以正標(biāo)向為正正標(biāo)向為正。TiyixFF(iFTiyixFF(iF求解方法iFimjxyoiixFiyFjxFjyFmxFmyFiyFixFivmvjviumuju第六章 用有限單元法解平面問題（5 5）將每一單元中的各種外荷載，按）將每一單元中的各種外荷載，按虛功虛功 等

17、效原則等效原則移置到結(jié)點上，化為移置到結(jié)點上，化為結(jié)點荷結(jié)點荷 載載，表示為，表示為 .(eLmLjLieLFFFF求解方法第六章 用有限單元法解平面問題 為已知值為已知值, , 是用結(jié)點位移表示的值。是用結(jié)點位移表示的值。通過求解聯(lián)立方程，得出各結(jié)點位移值，從而求通過求解聯(lián)立方程，得出各結(jié)點位移值，從而求出各單元的應(yīng)變和應(yīng)力。出各單元的應(yīng)變和應(yīng)力。 各單元移置到各單元移置到i i 結(jié)點上的結(jié)點荷載結(jié)點上的結(jié)點荷載 其中其中 表示對圍繞表示對圍繞i i 結(jié)點的單元求和；結(jié)點的單元求和；iF求解方法LiF3.3.整體分析整體分析,iF,FLi),2, 1(,ieLieiFFe各單元對各單元對i

18、i 結(jié)點的結(jié)點力結(jié)點的結(jié)點力作用于結(jié)點作用于結(jié)點i i上的力有：上的力有：第六章 用有限單元法解平面問題求解方法 3.3.整體分析整體分析 2.2.對單元進行分析對單元進行分析 1.1.將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)歸納起來，歸納起來，F(xiàn)EMFEM分析的主要步驟分析的主要步驟：（1 1）單元的位移模式）單元的位移模式（2 2）單元的應(yīng)變列陣）單元的應(yīng)變列陣（4 4）單元的結(jié)點力列陣單元的結(jié)點力列陣（5 5）單元的等效結(jié)點荷載列陣）單元的等效結(jié)點荷載列陣建立結(jié)點平衡方程組，求解各結(jié)點的位移。建立結(jié)點平衡方程組，求解各結(jié)點的位移。（3 3）單元的應(yīng)力列陣）單元的應(yīng)力列陣第六章 用

19、有限單元法解平面問題思考題 1.1.桁架的單元為桿件，而平面體的單元為三角形桁架的單元為桿件，而平面體的單元為三角形塊體，在三角形內(nèi)仍是作為連續(xù)體來分析的。塊體，在三角形內(nèi)仍是作為連續(xù)體來分析的。前者可用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法求解，后者只能用彈性前者可用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法求解，后者只能用彈性力學(xué)方法求解，為什么？力學(xué)方法求解，為什么？2. 2. 在平面問題中，是否也可以考慮其它的單在平面問題中，是否也可以考慮其它的單 元形狀，如四邊形單元？元形狀，如四邊形單元？第六章 用有限單元法解平面問題應(yīng)用插值公式，可由應(yīng)用插值公式，可由 求出位移求出位移 。 首先必須解決：首先必須解決：由由單元的結(jié)點位移單元的結(jié)點位移

20、來求出單元的位移函數(shù)來求出單元的位移函數(shù) FEMFEM是取結(jié)點位移是取結(jié)點位移 為基本未知數(shù)。為基本未知數(shù)。 這個插值公式表示了單元中位移的分布形式，這個插值公式表示了單元中位移的分布形式，因此稱為因此稱為位移模式位移模式。Tmjie (i。Tyxvyxu),(),(de6-3 單元的位移模式與單元的位移模式與 解答的收斂性解答的收斂性 位移模式d第六章 用有限單元法解平面問題 插值公式（插值公式（a a）在結(jié)點在結(jié)點 應(yīng)等于結(jié)應(yīng)等于結(jié)點位移值點位移值 。由此可求出。由此可求出 泰勒級數(shù)展開式中，低次冪項是最重要的。所泰勒級數(shù)展開式中，低次冪項是最重要的。所以以三角形單元的位移模式三角形單元的

21、位移模式，可取為：，可取為：。yxvyxu654321,),(,mjiyxii),(,mjivuii。61三角形單元（a a）第六章 用有限單元法解平面問題將式（將式（a a）按未知數(shù)按未知數(shù) 歸納為歸納為: : 其中其中 包含包含 。及,iiiivuyx,iivu。mmjjiimmjjiivNvNvNvuNuNuNu,三角形單元61或用矩陣表示為或用矩陣表示為: :（b b）第六章 用有限單元法解平面問題N 稱為形（態(tài)）函數(shù)矩陣。稱為形（態(tài)）函數(shù)矩陣。eNdmmjjiimjimjivuvuvuNNNNNNvu000000三角形單元（c c）第六章 用有限單元法解平面問題 A A為三角形為三角

22、形 的面積（圖示坐標(biāo)系中，的面積（圖示坐標(biāo)系中， 按逆時針編號），有：按逆時針編號），有：其中其中: :),(,2)(mjiAycxbaNiiii11,( , ,)11jjjjiiimmmmxyyxabci j mxyyx ijmmji,。mmjjiiyxyxyxA1112三角形單元iijjN第六章 用有限單元法解平面問題 三結(jié)點三角形單元的位移模式，略去了三結(jié)點三角形單元的位移模式，略去了2 2次以次以上的項，因而其上的項，因而其誤差量級是誤差量級是 且其中只包含且其中只包含了了 的的1 1次項，所以在單元中次項，所以在單元中 的分布如圖的分布如圖（a a）所示，所示， 的分布如圖（的分布如

23、圖（b b）、（）、（c c）所示。所示。 jimjjmmii);(2xo yx,iNvu和三角形單元(a)(b)(c)ivmvjviumuju1第六章 用有限單元法解平面問題 所以當(dāng)單元趨于很小時，即所以當(dāng)單元趨于很小時，即 時，為了使時，為了使FEMFEM之解逼近于真解。則為了之解逼近于真解。則為了保保證證FEMFEM收斂性收斂性, ,位移模式應(yīng)滿足下列條件：位移模式應(yīng)滿足下列條件： FEMFEM中以后的一系列工作，都是以位移中以后的一系列工作，都是以位移模式為基礎(chǔ)的。模式為基礎(chǔ)的。 0,yx收斂性條件第六章 用有限單元法解平面問題 因為當(dāng)單元因為當(dāng)單元 時，單元中的位移和時，單元中的位移

24、和應(yīng)變都趨近于基本量應(yīng)變都趨近于基本量剛體位移和常量剛體位移和常量位移。位移。（1 1）位移模式必須能反映單元的剛體位移。）位移模式必須能反映單元的剛體位移。 0收斂性條件（2 2）位移模式必須能反映單元的常量應(yīng)變。）位移模式必須能反映單元的常量應(yīng)變。單元的位移由形變位移和剛體位移組成單元的位移由形變位移和剛體位移組成 單元的應(yīng)變由變量應(yīng)變和常量應(yīng)變組成單元的應(yīng)變由變量應(yīng)變和常量應(yīng)變組成 第六章 用有限單元法解平面問題。xxyvyyxu22,22353564353521,00 xvvyuu收斂性條件可見剛體位移項在式（可見剛體位移項在式（a a）中均已反映。中均已反映。與剛體位移相比，與剛體位

25、移相比，將式（將式（a a）寫成寫成。yxvyxu654321,第六章 用有限單元法解平面問題（3 3）位移模式應(yīng)盡可能反映位移的連續(xù)性。位移模式應(yīng)盡可能反映位移的連續(xù)性。 即應(yīng)盡可能反映原連續(xù)體的位移連續(xù)即應(yīng)盡可能反映原連續(xù)體的位移連續(xù)性。在三角形單元內(nèi)部，位移為連續(xù)（性。在三角形單元內(nèi)部，位移為連續(xù)（位移位移模式是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)模式是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)）；在兩單元邊）；在兩單元邊界界ijij 上，上， 之間均為線性變化，也為之間均為線性變化，也為連續(xù)。連續(xù)。對式（對式（a a）求應(yīng)變，得：求應(yīng)變，得：,5362xyyxji 和收斂性條件可見常量應(yīng)變也已反映。可見常量應(yīng)變也已反映。yxv

26、yxu654321,第六章 用有限單元法解平面問題 （1）和（）和（2）是必要條件，而）是必要條件，而加上（加上（3）就為充分條件。）就為充分條件。收斂性條件 為了保證為了保證FEM的收斂性：的收斂性：第六章 用有限單元法解平面問題思考題1.1.應(yīng)用泰勒級數(shù)公式來選取位移模式，為什么必應(yīng)用泰勒級數(shù)公式來選取位移模式，為什么必須從低次項開始選?。宽殢牡痛雾楅_始選??？2.2.試考慮：將結(jié)構(gòu)力學(xué)解法引入到求解連續(xù)體的試考慮：將結(jié)構(gòu)力學(xué)解法引入到求解連續(xù)體的問題時，位移模式的建立是一個關(guān)鍵性工作，問題時，位移模式的建立是一個關(guān)鍵性工作，它使得單元它使得單元( (連續(xù)體連續(xù)體) )內(nèi)部的分析工作都有可能

27、內(nèi)部的分析工作都有可能進行了。進行了。 第六章 用有限單元法解平面問題6-4 6-4 單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣 。mmjjiimmjjiivNvNvNvuNuNuNu,),(2/ )(mjiAycxbaNiiii。位移函數(shù)其中， 單元中的位移函數(shù)單元中的位移函數(shù)用位移模式表示為第六章 用有限單元法解平面問題應(yīng)用應(yīng)用幾何方程幾何方程，求出，求出單元的應(yīng)變列陣：單元的應(yīng)變列陣：()00010002TiiijmjijmjiijjmmmmuvvuxyxyuvbbbucccvAcbcbcbuveB 。）（a應(yīng)變第六章 用有限單元法解平面問題)(),(bmjiBBBB )(),(0

28、021cmjibccbAiiii。iB)(,deeSDB D應(yīng)變S稱為應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣，寫成分塊形式為再應(yīng)用物理方程，求出單元的應(yīng)力列陣：B 稱為應(yīng)變矩陣應(yīng)變矩陣，用分塊矩陣表示，第六章 用有限單元法解平面問題 對于線性位移模式，求導(dǎo)后得到的應(yīng)變和應(yīng)對于線性位移模式，求導(dǎo)后得到的應(yīng)變和應(yīng)力，均成為常量，因此，稱為力，均成為常量，因此，稱為常應(yīng)變（應(yīng)力）單常應(yīng)變（應(yīng)力）單元元。應(yīng)變和應(yīng)力的誤差量級是。應(yīng)變和應(yīng)力的誤差量級是 其精度比位其精度比位移低一階，且相鄰單元的應(yīng)力是跳躍式的。移低一階，且相鄰單元的應(yīng)力是跳躍式的。)(),(emjiSSSS )(),(2121)1 (22fmjibc

29、cbcbAEiiiiii。iiDBS),( xo 應(yīng)力第六章 用有限單元法解平面問題思考題1.1.如果在位移模式中取到泰勒級數(shù)中的二如果在位移模式中取到泰勒級數(shù)中的二次冪項，略去次冪項，略去 高階小量，試考慮位移、高階小量，試考慮位移、應(yīng)變和應(yīng)力的誤差量級。應(yīng)變和應(yīng)力的誤差量級。3x第六章 用有限單元法解平面問題6-5 6-5 單元的結(jié)點力列陣與勁度矩陣單元的結(jié)點力列陣與勁度矩陣 現(xiàn)在來考現(xiàn)在來考慮其中一個單慮其中一個單元：元：模型oyxjmiiixFiyFjxFjyFmxFmyFiyFixF)( 在在FEMFEM中，首先將中，首先將連續(xù)體變換為離散化連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)的模型。結(jié)構(gòu)的模型。

30、第六章 用有限單元法解平面問題（2 2）單元與周圍的單元在邊界上已沒有聯(lián)）單元與周圍的單元在邊界上已沒有聯(lián) 系，只在結(jié)點系，只在結(jié)點 互相聯(lián)系?；ハ嗦?lián)系。mji,（1 1）將作用于）將作用于單元上的各種外荷載單元上的各種外荷載，按靜，按靜 力等效原則移置到結(jié)點上去，力等效原則移置到結(jié)點上去，化為等化為等 效結(jié)點荷載。效結(jié)點荷載。故單元內(nèi)已沒有外荷載。故單元內(nèi)已沒有外荷載。第六章 用有限單元法解平面問題假想將單元與結(jié)點假想將單元與結(jié)點i i 切開，則：切開，則： ),(,)(mjiFFTiyixiF),(,)(mjiFFTiyixiF其數(shù)值與其數(shù)值與 相同，而方向相反。相同，而方向相反。iF結(jié)點

31、力以沿正坐標(biāo)向為正。以沿正坐標(biāo)向為正。對單元而言，這是作對單元而言，這是作 用于單元上的用于單元上的“外力外力”。 結(jié)點作用于單元上的力結(jié)點作用于單元上的力，稱為結(jié)點力結(jié)點力，單元作用于結(jié)點的力，單元作用于結(jié)點的力，為：為：第六章 用有限單元法解平面問題;)(TmjieFFFF ijm。Txyyx)( 按虛功方程，在虛位移上，外力的虛外力的虛功等于應(yīng)力的虛功功等于應(yīng)力的虛功。結(jié)點力而其內(nèi)部有應(yīng)力作用， 考察已與結(jié)點切開后的單元 ，則此單元上作用有外力結(jié)點力 ，應(yīng)用虛功方程，求單元的結(jié)點力：第六章 用有限單元法解平面問題 假設(shè)發(fā)生一組假設(shè)發(fā)生一組結(jié)點虛位移結(jié)點虛位移 則單元內(nèi)則單元內(nèi)任一點（任一

32、點（x x, ,y y）的虛位移為的虛位移為 單元單元內(nèi)內(nèi)任一點（任一點（x x, ,y y）的虛應(yīng)變?yōu)榈奶搼?yīng)變?yōu)?代入代入虛虛功方程：在單元中，功方程：在單元中，外力（結(jié)點力外力（結(jié)點力 ）在虛在虛位移（結(jié)點虛位移位移（結(jié)點虛位移 ）上的虛功，等于應(yīng)）上的虛功，等于應(yīng)力力 在虛應(yīng)變在虛應(yīng)變 上的虛功，上的虛功，即：即： ,)(e*,)(e*Nd ,)(e*B eF)()(*e)(*虛功方程。ATTedxdytF*e*)()(）（a第六章 用有限單元法解平面問題其中其中 與與 無關(guān)，故式無關(guān)，故式( (a) a) 成為成為式式( (b b) )是是由應(yīng)力求結(jié)點力的一般公式由應(yīng)力求結(jié)點力的一般公

33、式。 因為因為 是獨立的任意的虛位移，虛是獨立的任意的虛位移，虛功方程對任意的功方程對任意的 均應(yīng)滿足，可得出均應(yīng)滿足，可得出,)()()(TTeTeTBB*e)(*yx, )()(。ATeTedxdytBFT*e*TAdxdyteFB .e)(*e)(*代入代入 (b)第六章 用有限單元法解平面問題式（式（c c）是是由結(jié)點位移求結(jié)點力的一般公式，由結(jié)點位移求結(jié)點力的一般公式， 稱為單元的勁度矩陣稱為單元的勁度矩陣K。元素)66( 其中：其中：再將應(yīng)力公式代入上式，得再將應(yīng)力公式代入上式，得單元勁度矩陣（c）eeATetdxdykDBBFtdxdyATDBBk（d）第六章 用有限單元法解平面

34、問題對于三角形單元，對于三角形單元，B B 矩陣內(nèi)均為常數(shù)，矩陣內(nèi)均為常數(shù)， 有有,tADBBkT）（e 代入代入 B B，D D，得出得出 k k 如書中（如書中（6-376-37）及）及（6-386-38）所示。）所示。第六章 用有限單元法解平面問題（1 1） 是是6 66 6的的方陣方陣， 中每一個元素都表示中每一個元素都表示單元單元各結(jié)點沿坐標(biāo)方向發(fā)生單位位移時所引起的結(jié)點力各結(jié)點沿坐標(biāo)方向發(fā)生單位位移時所引起的結(jié)點力。（2 2）由反力互等定理，）由反力互等定理， 所以所以 是是對稱矩對稱矩陣陣，以對角線為對稱軸。，以對角線為對稱軸。k,srrsTkkkk單元勁度矩陣單元勁度矩陣k k

35、的性質(zhì)的性質(zhì)（3 3） 中每一行（或列）的元素之和為零。中每一行（或列）的元素之和為零。（4 4）由（）由（3 3）可導(dǎo)出行列式）可導(dǎo)出行列式 。0k（5 5） 的元素與的元素與 單元的形狀和方位等單元的形狀和方位等有關(guān)，但有關(guān)，但與單元的大小和剛體的平動以及作與單元的大小和剛體的平動以及作 度轉(zhuǎn)動無關(guān)度轉(zhuǎn)動無關(guān)。,tEnkk第六章 用有限單元法解平面問題 （書中P.117頁），以直角三角形單元為例，計算了應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣S和單元勁度矩陣 。 從例題中可以看出，將單元邊界上的應(yīng)力向?qū)卧吔缟系膽?yīng)力向結(jié)點移置，化為作用于結(jié)點上的力，正好就是結(jié)點移置，化為作用于結(jié)點上的力，正好就是結(jié)點力。結(jié)點力。在

36、在FEM中，單元邊界之間的聯(lián)系和相中，單元邊界之間的聯(lián)系和相互作用力，都向結(jié)點簡化，歸結(jié)成為結(jié)點的鉸互作用力，都向結(jié)點簡化，歸結(jié)成為結(jié)點的鉸結(jié)和結(jié)點力。結(jié)和結(jié)點力。 思考題例題k試求出書中例題的位移模式。第六章 用有限單元法解平面問題。TLmyLmxLjyLjxLiyLixTeFFFFFF)()(LmLjLiLFFFF6 66 6荷載向結(jié)點移置荷載向結(jié)點移置 單元的結(jié)點荷載列陣單元的結(jié)點荷載列陣 在FEM中，須將作用于單元中的外荷載向結(jié)點移置，化為等效結(jié)點荷載等效結(jié)點荷載，第六章 用有限單元法解平面問題（2）變形體靜力等效原則變形體靜力等效原則在任意的虛位移上，使原荷載與移置荷載的虛功相等。

37、1 1、等效原則等效原則（1）剛體靜力等效原則剛體靜力等效原則使原荷載與移置荷載的主矢量以及對同一點的主矩也相同。移置原則 剛體靜力等效原則只從運動效應(yīng)來考慮，得出移置荷載不是唯一的解；變形體的靜力等效原則考慮了變形效應(yīng)，在一定的位移模式下，其結(jié)果是唯一的，且也滿足了前者條件的。 所以在FEM中，采用變形體的靜力等效原則變形體的靜力等效原則。第六章 用有限單元法解平面問題 假設(shè)發(fā)生一組結(jié)點虛位移 ，則點的虛位移為 。使移置荷載的虛功等于原荷載的虛功： 2 2、集中力的移置公式集中力的移置公式 原荷載 作用于單元中任一點 為單位厚度上的作用力；移置荷載 作用于結(jié)點 ,)(TPyPxffPf,)(

38、TLmLjLieLFFFF。mji,e)(*Nd。ttTeTeTePT*P*L*fNfdF)()()(e)(*),(yx集中力第六章 用有限單元法解平面問題 對于任意的虛位移 ，虛功方程都必須滿足，得：。tePTLfNFe)(*)(a面力?eLF第六章 用有限單元法解平面問題3、單元邊界單元邊界 上面力上面力 的移置公式的移置公式 應(yīng)用式 ，將 代之為 并在邊界 上積分，得:。tePTLfNFSftPf,dstfs。SedstfNFTL)(a)(b)(a面力?eLF?eLF第六章 用有限單元法解平面問題 應(yīng)用式 ，將 代之為 并對單元域A 積分，得 。AedxdytfNFTL,dxdytf)(

39、c)(atPf4 4、單元內(nèi)體力、單元內(nèi)體力 的移置公式的移置公式 f體力。tePTLfNF)(a?eLF第六章 用有限單元法解平面問題思考題1. 試導(dǎo)出書中例題的荷載移置公式。 當(dāng)位移模式為當(dāng)位移模式為線性函數(shù)線性函數(shù)時，由時，由虛功方虛功方程程得出的移置荷載，與按得出的移置荷載，與按剛體靜力等效原剛體靜力等效原則則得出的結(jié)點荷載相同。得出的結(jié)點荷載相同。第六章 用有限單元法解平面問題 在單元分析中，從單元的結(jié)點位移求位移分布求應(yīng)變求應(yīng)力求結(jié)點力，為單元的內(nèi)力分析；外荷載移置到結(jié)點荷載，為單元的外力分析。 6 67 7結(jié)構(gòu)的整體分析結(jié)構(gòu)的整體分析 結(jié)點平衡方程組結(jié)點平衡方程組 iFLiF 假

40、設(shè)將結(jié)點i與周圍的單元切開，則圍繞i結(jié)點的每個單元對i 結(jié)點有結(jié)點力( ）的作用,也有外荷載移置的結(jié)點荷載（ ）的作用。下面考慮整體分析整體分析。第六章 用有限單元法解平面問題對某一個單元 ，其中 是對圍繞i 結(jié)點的單元求和。 i 結(jié)點的平衡條件結(jié)點的平衡條件為 )(a結(jié)點平衡條件),2, 1(,nieLieiFFeijm,mjinninikF)(a代入式 ，可表示為 ),2, 1()(,nieLiemjinnin。Fk)(b 是單元結(jié)點的局部編號； 是整體結(jié)點的整體編號。 mji,ni, 2 , 1第六章 用有限單元法解平面問題),2, 1()(,nieLiemjinnin。Fk)(b)(b

41、將式 按整體結(jié)點編號排列，得整個結(jié)構(gòu)的平衡方程組。 考慮結(jié)構(gòu)的約束條件后，從式考慮結(jié)構(gòu)的約束條件后，從式 求出求出 ，就可以求出各單元的位移和應(yīng)力。，就可以求出各單元的位移和應(yīng)力。 整體結(jié)點位移列陣，整體結(jié)點位移列陣， 整體結(jié)點荷載列陣，整體結(jié)點荷載列陣， 整體勁度矩陣。整體勁度矩陣。 ,LFK Tn21)(TLnLLL)(21FFFFK)(c)(c結(jié)點平衡方程組第六章 用有限單元法解平面問題例2例1列出圖示結(jié)構(gòu)i 結(jié)點的平衡條件。（見書中P.121）psjmi第六章 用有限單元法解平面問題有限單元法的具體計算步驟：有限單元法的具體計算步驟： 6 68 8解題的具體步驟解題的具體步驟 單元的劃

42、分單元的劃分 1、劃分單元網(wǎng)格，對單元和結(jié)點編號。 2、選定直角坐標(biāo)系，按程序要求填寫和輸入有關(guān)信息。單元內(nèi)的ijm的局部編號應(yīng)按書中規(guī)定的右手規(guī)則編號。否則會使三角形的面積出現(xiàn)負號等問題。第六章 用有限單元法解平面問題 3、使用已編好的程序進行上機計算。事先須將有限單元法的公式，計算方法和步驟都編入程序。4、對成果進行整理、分析。 對第1和第4步的工作，也盡可能讓計算機執(zhí)行，以減少人工的工作量。如自動劃分網(wǎng)格，整理成果等。第六章 用有限單元法解平面問題 關(guān)于單元的劃分，注意幾點：單元的劃分，注意幾點：（8）結(jié)構(gòu)具有凹槽或孔洞等應(yīng)力集中處等。（1）單元大小問題；（2）單元在不同部位的合理布置問

43、題；（3）三角形三個內(nèi)角最好較接近；（4）利用對稱性和反對稱性；（5）厚度突變之處和材料不同之處；（6）載荷作用（集中力或突變分布載荷）處；（7）水利閘壩工程問題；第六章 用有限單元法解平面問題三峽升船機上閘首三峽升船機上閘首錦屏拱壩網(wǎng)格圖錦屏拱壩網(wǎng)格圖 龍灘地下洞室網(wǎng)格龍灘地下洞室網(wǎng)格 400米高尾礦壩有限米高尾礦壩有限元網(wǎng)格元網(wǎng)格第六章 用有限單元法解平面問題反應(yīng)堆有限元模型反應(yīng)堆有限元模型第六章 用有限單元法解平面問題第六章 用有限單元法解平面問題第六章 用有限單元法解平面問題 在有限單元法中，位移的精度較高，其誤差量級是，即與單元尺度的二次冪成正比。應(yīng)力的誤差量級是，即與單元的大小成正

44、比。 6 69 9計算成果的整理計算成果的整理 )(2xo )( xo 第六章 用有限單元法解平面問題 三結(jié)點三角形單元的應(yīng)力的成果，不但應(yīng)力的精度較低，而且還產(chǎn)生了所謂應(yīng)應(yīng)力的波動性力的波動性。 對于結(jié)點位移的成果，可以直接采用。第六章 用有限單元法解平面問題 應(yīng)力的波動性在三結(jié)點三角形單元中較為顯應(yīng)力的波動性在三結(jié)點三角形單元中較為顯著著。 由于計算出的應(yīng)力的精度較低。假由于計算出的應(yīng)力的精度較低。假設(shè)設(shè)單元的應(yīng)力成果為單元的應(yīng)力成果為 ，其中，其中 為真解，為真解， 為誤差。則由于在結(jié)點都列出了平衡方程并令為誤差。則由于在結(jié)點都列出了平衡方程并令其滿足，從而使相鄰的其滿足，從而使相鄰的單

45、元的應(yīng)力趨近于單元的應(yīng)力趨近于 。這就產(chǎn)生了應(yīng)力的波動性。這就產(chǎn)生了應(yīng)力的波動性。 原因是，第六章 用有限單元法解平面問題 為了提高應(yīng)力的精度，解決應(yīng)力波動性問題，可以采用兩種應(yīng)力成果的整理方法： 一般地講，兩相鄰單元平均法的精度較好，因為它涉及的區(qū)域范圍較小。 （1）兩相鄰單元平均法。 （2）繞結(jié)點平均法。 在受面力邊界線附近，求得的應(yīng)力誤差較在受面力邊界線附近，求得的應(yīng)力誤差較大?？刹捎孟蛲獠逯档姆椒ǎɡ龗佄锞€插大?？刹捎孟蛲獠逯档姆椒ǎɡ龗佄锞€插值）來解決。值）來解決。第六章 用有限單元法解平面問題 為了提高應(yīng)力的精度，可以采用兩種方法。 是加密網(wǎng)格，減少單元的尺寸，以提高應(yīng)力的精度。

46、是可以采用較多結(jié)點的單元，并使 位移模式中包含一些高冪次的項，從而提 高位移和應(yīng)力的精度。二一第六章 用有限單元法解平面問題錦屏拱壩錦屏拱壩第六章 用有限單元法解平面問題第六章 用有限單元法解平面問題 書中應(yīng)用三結(jié)點三角形單元，計算了下列例題：6 61010計算實例計算實例 1. 楔形體受自重及齊頂水壓力。 2. 簡支梁受均布荷載。 3. 圓孔附近的應(yīng)力集中。 第六章 用有限單元法解平面問題 在整理應(yīng)力成果時，讀者應(yīng)注意，應(yīng)用三角形單元時，（1）采用兩單元平均法和繞結(jié)點平均法的 應(yīng)力成果比較接近，但前者的精度略 好于后者。（2）邊界面的應(yīng)力，宜采用向外插值的方 法求出。第六章 用有限單元法解平

47、面問題 在FEMFEM中，將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)之后，有兩種導(dǎo)出FEM公式的主要方法： 6 61111應(yīng)用變分原理導(dǎo)出應(yīng)用變分原理導(dǎo)出 有限單元法基本方程有限單元法基本方程 第六章 用有限單元法解平面問題（2）建立單元的位移模式，求出單元中的 位移分布，;eB ）（b;eS ）（ci;eNd）（a1.按靜力方法導(dǎo)出按靜力方法導(dǎo)出FEMFEM公式公式（1）取結(jié)點位移為基本未知數(shù)；（3）由幾何方程求出單元的應(yīng)變，（4）由物理方程求出單元的應(yīng)力，按結(jié)構(gòu)力學(xué)方法導(dǎo)出FEM公式第六章 用有限單元法解平面問題;AsedxdytdsttfNfNfNFTTPeL）（ e。LFk ）（f;eekF）（deLF

48、（5）由虛功方程求出單元的結(jié)點力，（6）由虛功方程求出單元的結(jié)點荷載 ，（7）建立結(jié)點平衡方程組，按結(jié)構(gòu)力學(xué)方法導(dǎo)出FEM公式第六章 用有限單元法解平面問題（1）變分原理中的極小勢能原理是。minVUEP）（g)( ).(,21hdxdytdsttVdxdytUATsTTAfdfdfdPT2. 按變分方法導(dǎo)出按變分方法導(dǎo)出FEMFEM公式公式 保留上述（1）-（4）步驟，然后應(yīng)用極小勢能原理導(dǎo)出FEM基本方程。按變分法導(dǎo)出FEM公式對于平面問題，第六章 用有限單元法解平面問題對于連續(xù)體,變分的宗量是位移函數(shù) 變分方程 可表示為總勢能 對 的導(dǎo)數(shù)等于0，即PEvu,., vu）（g, 0uEP。

49、0vEP）（i第六章 用有限單元法解平面問題變分宗量由 變換成（2）將經(jīng)典變分原理應(yīng)用到離散化結(jié)構(gòu)，則)., 2 , 1(nii,eePPEE,eeUU。eeVV）（jvu,總勢能、形變勢能和外力勢能，可以用單元的勢能之和來表示第六章 用有限單元法解平面問題其中 為三角形單元的面積。應(yīng)用前面記號,)()(21)(2121 eAeTTeeAeTeeAeeeeedxdytdxdytdxdytUUDBBDB TeA。eeTeUk )(21）（k內(nèi)力勢能為第六章 用有限單元法解平面問題其中 為三角形單元的受面力邊界。引用前面記號, )()()(eATSPTPTTeeATSPTPTeeeedxdytds

50、ttdxdytdsttVVfdfdfNfdfdfds。eeLTeVF )(）（leeLTeTePVUE)()(21Fk）（m外力勢能為 總勢能為第六章 用有限單元法解平面問題故總勢能極小值條件 變換為（3）對于離散化結(jié)構(gòu)，泛函數(shù) 的宗量變 換為 PE)(i)( ),2, 1(0nniEiP。.)(,2)(ccaababaaaTT), 2 , 1(nii則式(n) 成為引用矩陣運算公式，第六章 用有限單元法解平面問題)( ), 2 , 1(0)(oniEieTeP。,001,)(ieeLmLjLimjieeLeePEFFFFFFFk 其中第六章 用有限單元法解平面問題 代入式(o) ，得出與結(jié)構(gòu)

51、力學(xué)方法導(dǎo)出的相同方程，)( ), 2 , 1(pnieLiei。FF 從物理意義上講，將連續(xù)體的經(jīng)典變分原 理(g) 或 (i) 應(yīng)用到離散化結(jié)構(gòu)，成為式(p) 。第六章 用有限單元法解平面問題 比較物理意義： 凡是與微分方程對應(yīng)的變分原理存在的任何問題，均可應(yīng)用變分法導(dǎo)出FEM。式(p)表示總勢能在所有結(jié)點處的極值條件。式(g)表示總勢能的整體極值條件;第六章 用有限單元法解平面問題例題1例題2例題3例題4例題第六章 用有限單元法解平面問題 例題1 平面問題中采用的四結(jié)點矩陣單元，如圖所示。該單元的結(jié)點位移列陣是 ,)(Tpmjie第六章例題Pimjoyxabba第六章 用有限單元法解平面問題iPbaojmx圖6-10采用的位移模式是其中的系數(shù) ,由四個結(jié)點處的位移值,應(yīng)等于結(jié)點位移值 的條件求出。xyyxyxvxyyxyxu87654321),(,),(81),(pmjiiab第六章 用有限單元法解平面問題 讀者試檢查其收斂性條件是否滿足？并估計位移和應(yīng)力的誤差量級。第六章例題第六章 用有限單元法解平面問題 例題2 平面問題中采用的六結(jié)點三角形單 元，如圖所示。 該