高等數(shù)學(xué)-第九章 三重積分及應(yīng)用ppt課件

1、 第九章第九章 重積分重積分 知識總結(jié)知識總結(jié)二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算三重積分的計(jì)算三重積分的計(jì)算重積分的運(yùn)用重積分的運(yùn)用二二. . 三重積分的計(jì)算三重積分的計(jì)算1 1、投影法、投影法 (“ (“先單后重先單后重 “ “先一后二先一后二) )2 2、截面法、截面法 (“ (“先重后單先重后單 “ “先二后一先二后一) )3 3、柱坐標(biāo)代換、柱坐標(biāo)代換4 4、球坐標(biāo)代換、球坐標(biāo)代換5 5、利用三重積分的對稱性、利用三重積分的對稱性zxyD),(2yxzz ),(1yxzz yxdd21( , )( , )d d( , , )dxyzx yDzx yx yf x y zzvzyxfd),(關(guān)鍵

2、：正確的判別上、下曲面關(guān)鍵：正確的判別上、下曲面; 找對投影區(qū)域找對投影區(qū)域.12( , , )| ( , )( , ), ( , )xyx y z z x yzz x yx yD 1、 投影法投影法 (“先單后重先單后重 “先一后二先一后二)方法一方法一: 根據(jù)圖形根據(jù)圖形:zxyD),(2yxzz ),(1yxzz yxdd方法二方法二:根據(jù)方程根據(jù)方程:投影區(qū)域可由含投影區(qū)域可由含z的某曲面與其它曲面交線的投的某曲面與其它曲面交線的投影曲線所圍。影曲線所圍。即：可選定一個含即：可選定一個含z的方程然后再和其它一切方程的方程然后再和其它一切方程包含柱面方程和另一個含包含柱面方程和另一個含z

3、的方程相交。的方程相交。利用平行于利用平行于z軸的直線穿曲面，穿出軸的直線穿曲面，穿出和穿入點(diǎn)就對應(yīng)上、下曲面，注：中和穿入點(diǎn)就對應(yīng)上、下曲面，注：中間所夾立體的邊境應(yīng)為柱面。間所夾立體的邊境應(yīng)為柱面。投影點(diǎn)的全體即為投影區(qū)域。投影點(diǎn)的全體即為投影區(qū)域。已給邊境曲面方程中含已給邊境曲面方程中含z的假設(shè)只的假設(shè)只需兩個，那么其必分別為上、下曲面需兩個，那么其必分別為上、下曲面,其它不含其它不含z的方程必對應(yīng)柱面。的方程必對應(yīng)柱面。例例. 計(jì)算積分計(jì)算積分dddzxyz其中其中由曲面由曲面222,xyyxz0,1zy法一法一: 積分域?yàn)榉e分域?yàn)?原式原式220dxyz z及平面及平面220yxz1

4、2 yx11x12dxy11dx所圍所圍 .xyz220dxyxyDdxdyz z例例. 計(jì)算積分計(jì)算積分dddzxyz其中其中由曲面由曲面222,xyyxz0,1zy法二法二:xyD原式原式220dxyz z及平面及平面220yxz12 yx11x12dxy11dx所圍所圍 .220dxyxyDdxdyz z找上下半曲面：找投影區(qū)域：找投影區(qū)域：220zzxy20zyx01zyZDbayxzyxfzdd),(dvzyxfd),(abxyzzzD適用范圍：適用范圍：積分區(qū)域介于兩個平行于坐標(biāo)面的平面之間積分區(qū)域介于兩個平行于坐標(biāo)面的平面之間;在平行于坐標(biāo)面的截面上二重積分易算在平行于坐標(biāo)面的截

5、面上二重積分易算典型標(biāo)題：典型標(biāo)題：被積函數(shù)只為某一變量的函數(shù)被積函數(shù)只為某一變量的函數(shù);且截面面積易求且截面面積易求( , , )|,( , )zx y zazb x yD 2、 截面法截面法 (“先重后單先重后單 “先二后一先二后一)zD1zD2例例(截面法截面法): 計(jì)算積分計(jì)算積分2222RzyxzRzyx2222及,ddd2zyxz其中其中是兩個球是兩個球 ( R 0 )的公共部分的公共部分.提示提示: 被積函數(shù)缺被積函數(shù)缺 x , y 原式原式 =zDyx1ddzzzRzRd)2(2022zzRd202zDyx2ddzzRRd22zzRzRRd)(2222548059RRzyxo2

6、Rzyxzyxfddd),(柱面坐標(biāo)本質(zhì)：投影法中的二重積分利用了極柱面坐標(biāo)本質(zhì)：投影法中的二重積分利用了極坐標(biāo)計(jì)算坐標(biāo)計(jì)算22()f xy積分區(qū)域?yàn)橹w區(qū)域或投影域適用極坐標(biāo)表示;被積函數(shù)為型3、柱坐標(biāo)代換、柱坐標(biāo)代換1212 ( , , )|,( )( ), ( , )( , )zzzz 若2211( )(, )( )(, )(cos ,sin ,)dzzddfzz 柱面坐標(biāo)適用范圍：柱面坐標(biāo)適用范圍：o oxyz例例. 計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分解解: 在柱面坐標(biāo)系下在柱面坐標(biāo)系下h:hz42dhdh2022)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1dd

7、d22yxzyxzyx422)0( hhz所圍成 .與平面其中由拋物面24原式 =,R),(3zyxM設(shè)),(z其柱坐標(biāo)為就稱為點(diǎn)M 的球坐標(biāo).,ZOMMoxyzzr( , , )r 則0200rcossinrx sinsinry cosrz , rOM 令zyxzyxfddd),( sincos , sinsin , cos)f rrrdddsin2rr222: ()f xyz適用范圍積分區(qū)域?yàn)榍蛐螀^(qū)域、被積函數(shù)為型4、球坐標(biāo)代換、球坐標(biāo)代換zyxzyxfddd),(222: ()f xyz適用范圍 積分區(qū)域?yàn)榍蛐螀^(qū)域、被積函數(shù)為型1212 ( , , )|,( )( ), ( , )( ,

8、 )rrrr 若2211( )( , )2( )( , )( sincos , sinsin , cos)sindrrddf rrrrr 確定確定r, , 的變化范圍的方法的變化范圍的方法:：根據(jù)投影區(qū)域：從原點(diǎn)出發(fā)穿過立體的射線于z軸正向的夾角r：從原點(diǎn)出發(fā)穿過立體的射線于邊界曲面的交例例.222(0)xyzaz a0cosra,2002 ,yzxarozyRx例例.2222(0)xyzRR:0,02 ,0rR:22zxy例：錐面2222Rzyx:所圍立體所圍立體.40Rr 020與球面與球面xyzo4Rr 例例. .由球面由球面x2+y2+z2x2+y2+z2 2Rz=02Rz=0和圓錐面

9、和圓錐面cot2cot2(x2+y2)=z2(x2+y2)=z2圍成的立體。圍成的立體。0yzxx2+y2+z22Rz=0: r=2Rcos cot2(x2+y2)=z2: =.0r2Rcos02，:0例例. .0)0(,222222圍成平面及zbayxazyxbz解解: : 兩球面方程分別為:r=b和r=a,(a 0 )的公共部分的公共部分.提示提示:原式原式 =548059RRzyxo2R2 cos3rr2 cosrRrR或或 =22223000cossinRddrrdr22cos2222003cossinRddrrdr22222000cossinRddrrdr2222202cos3cos

10、sinRRddrrdr例例(球坐標(biāo)法球坐標(biāo)法)2222xyz22xyz及的公共部分的公共部分.解解: 對稱性對稱性2zyxo122222000sinddrrdr2coscscr222sincosrrr或或 =22coscsc222004sinddrrdr22224000sinddrrdr2222220coscsc4sinddrrdr(222)d d d0,xyyzxzx y z例例(球坐標(biāo)法球坐標(biāo)法): 計(jì)算積分計(jì)算積分2() d d d ,xyzx y z222dxyzV例例.,)0(, 0)0(,)(存在設(shè)ffCuf，求)(1lim40tFtt)(tF解解: 在球坐標(biāo)系下在球坐標(biāo)系下trr

11、rftF02020d)(dsind)(trrrf02d)(440)(limttFt利用洛必達(dá)法那么與導(dǎo)數(shù)定義,得3204)(4limtttftttft)(lim0)0(f0)0(Fzyxzyxftzyxddd)(2222222其中 0)0(f 5、 利用三重積分的對稱性利用三重積分的對稱性( , , )d0( , , )z2( , , )d( , , )f x y zvf x y zf x y zvf x y z上關(guān)于 為奇函數(shù)關(guān)于z為偶函數(shù)( , , )(),f x y zCxoy設(shè)且域 關(guān)于面對稱 則當(dāng)區(qū)域關(guān)于當(dāng)區(qū)域關(guān)于yoz 軸對稱軸對稱, 函數(shù)關(guān)于函數(shù)關(guān)于x 有奇偶性時有奇偶性時, 當(dāng)

12、區(qū)域關(guān)于當(dāng)區(qū)域關(guān)于xoz 軸對稱軸對稱, 函數(shù)關(guān)于函數(shù)關(guān)于y 有奇偶性時有奇偶性時,仍有類似結(jié)果仍有類似結(jié)果.例例. 計(jì)算計(jì)算,ddd)sin5(2222zyxyxxyxI其中其中.4, 1),(2122圍成由zzyxz解解:zyxxIddd2利用對稱性利用對稱性zyxyxddd)(2122yxyxzzDdd)(d212241zrrz2032041ddd21214zxoy1zDzyxyxyxdddsin52220重積分計(jì)算的根本方法重積分計(jì)算的根本方法1. 選擇適宜的坐標(biāo)系選擇適宜的坐標(biāo)系使積分域多為坐標(biāo)面使積分域多為坐標(biāo)面(線線)圍成圍成;被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡約或變量分別被積函數(shù)用此坐標(biāo)表

13、示簡約或變量分別.2. 選擇易計(jì)算的積分序選擇易計(jì)算的積分序積分域分塊要少積分域分塊要少, 累次積分易算為妙累次積分易算為妙 .根據(jù)圖形根據(jù)圖形根據(jù)方程根據(jù)方程3. 掌握確定積分限的方法掌握確定積分限的方法 累次積分法累次積分法小結(jié)：小結(jié)：三、重積分的運(yùn)用三、重積分的運(yùn)用1. 幾何方面幾何方面面積面積 ( 平面域或曲面域平面域或曲面域 ) , 體積體積 , 形心形心質(zhì)量質(zhì)量, 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量, 質(zhì)心質(zhì)心, 引力引力 證明某些結(jié)論等證明某些結(jié)論等 2. 物理方面物理方面3. 其它方面其它方面注：一定要用對稱性結(jié)論注：一定要用對稱性結(jié)論一、幾何方面一、幾何方面 曲頂柱體的頂為延續(xù)曲面),(yxf

14、z 那么其體積為DyxyxfVdd),(,),(Dyx 占有空間有界域 的立體的體積為zyxVddd例例. 求球體求球體22224azyx被圓柱面xayx222)0( a所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積. 解解: 設(shè)設(shè)由對稱性可知:02 cos , 02Da2244ddDVa 20d42 cos2204daa d)sin1 (3322033a)322(3323aoxyza222240: 4axyDVdvdxdydz注的面積公式：221( , )( , ) dxyxyDSfx yfx y曲面:( , ),zf x y( , ),xyx yD的面積公式：221( , )( , ) dyzyzDS

15、gy zgx y曲面:( , ),xg y z( , ),yzy zD的面積公式：221( , )( , ) dxzxzDShy zhx y曲面:( , ),yh x z( , ),xzx zD曲面的面積曲面的面積注：假設(shè)圖不好畫那么可根據(jù)方程：注：假設(shè)圖不好畫那么可根據(jù)方程：1先利用對稱性：一切方程中假設(shè)某個變量都是平先利用對稱性：一切方程中假設(shè)某個變量都是平方方式，那么圖形一定關(guān)于相應(yīng)坐標(biāo)面對稱，利用對方方式，那么圖形一定關(guān)于相應(yīng)坐標(biāo)面對稱，利用對稱性后只需思索正半部分稱性后只需思索正半部分2求投影區(qū)域應(yīng)利用所求曲面和其它相交求投影區(qū)域應(yīng)利用所求曲面和其它相交含于球面2222xyza例例.

16、 求圓柱面求圓柱面22xyax)0( a部分的面積. oxyza22: xyax分析：14SS21: yaxx 找投影區(qū)域：找投影區(qū)域：220 xyaxz222222xyaxxyza220 xyaxx例例. 計(jì)算雙曲拋物面計(jì)算雙曲拋物面yxz 被柱面222Ryx所截解解: 曲面在曲面在 xoy 面上投影為面上投影為222:,xyDxyR那么221d dxyxyDAzzx y221d dxyDxyx y2200d1dR )1)1( 32232R出的面積 A .二、物體的質(zhì)心二、物體的質(zhì)心設(shè)空間有n個質(zhì)點(diǎn), ),(kkkzyx其質(zhì)量分別, ),2, 1(nkmk由力學(xué)知, 該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo),11

17、nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11分別位于為為假設(shè)物體為占有xoy 面上區(qū)域 D 的平面薄片, ),(yx為( , )d d1( , )d d( , )d dDDDxx yx yxxx yx ymx yx y( , )d d1( , )d d( , )d dDDDyx yx yyyx yx ymx yx y,常數(shù)時d d,Dx x yxSd dDy x yyS(S為 D 的面積)得D 的形心坐標(biāo):可導(dǎo)出那么它的質(zhì)心坐標(biāo)為:其面密度 采用 “分割, 以常代變, 求和, 取極限( , , )d dd1( , , )d dd( , , )d ddxx y z

18、xyzxxx y zxyzmx y zxyz推行: 設(shè)物體占有空間域 ,( , , ),x y z有延續(xù)密度函數(shù)那么其質(zhì)心公式: ( , , )d dd1( , , )d dd( , , )d ddyx y zxyzyyx y zxyzmx y zxyz( , , )d dd1( , , )d dd( , , )d ddzx y zxyzzzx y zxyzmx y zxyz( , , ),x y z當(dāng)常數(shù)時那么得形心坐標(biāo)：,dddVzyxxx,dddVzyxyyVzyxzzddd的體積為zyxVddd4例例. 求位于兩圓求位于兩圓sin2rsin4r和的質(zhì)心. 2D解解: 利用對稱性可知利用

19、對稱性可知0 x而DyxyAydd121sind d3D 4sin22sinddsin956042956dsin295620437之間均勻薄片0dsin3143212oyxCVzyxzzddd例例. 一個煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形一個煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形, 剖面壁線剖面壁線的方程為的方程為, 30,)3(922zzzx內(nèi)儲有高為內(nèi)儲有高為 h 的均質(zhì)鋼液的均質(zhì)鋼液,解解: 利用對稱性可知質(zhì)心在利用對稱性可知質(zhì)心在 z 軸上，軸上，,0 yx采用柱坐標(biāo)采用柱坐標(biāo), 那么爐壁方程那么爐壁方程為為,)3(922zzrzyxVdddhzzz02d)3(9zDhyxzddd0因此因此故故自重自重, 求它的質(zhì)心求它的質(zhì)

20、心.oxzh假設(shè)爐假設(shè)爐不計(jì)爐體的不計(jì)爐體的其坐標(biāo)為其坐標(biāo)為hzzz022d)3(9zDhyxzzddd0zyxdzdd)51233(923hhh225409043060hhhhhzoxzh)41229(923hhhV三、物體的轉(zhuǎn)動慣量三、物體的轉(zhuǎn)動慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域 , 有延續(xù)分布的密度函數(shù). ),(zyx該物體位于(x , y , z) 處的微元 vzyxyxd),()(22因此物體 對 z 軸 的轉(zhuǎn)動慣量:zyxzyxyxIzddd),()(22zIdxyoz對 z 軸的轉(zhuǎn)動慣量為 因質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動慣量等于各質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量之和, 故 延續(xù)體的轉(zhuǎn)動慣量可用積分計(jì)算. 類似可得:zyxzyxIxddd),( zyxzyxIyddd),( zyxzyxIoddd),( )(22zy )(22zx )(222zyx對 x 軸的轉(zhuǎn)動慣量對 y 軸的轉(zhuǎn)動慣量對原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量假設(shè)物體是平面薄片,面密度為Dyxyx),(),(DxyxyxIdd),( DoyxyxIdd),( 那么轉(zhuǎn)動慣量的表達(dá)式是二重積分.xDyo2y2x)(22yx DyyxyxIdd),( 2300si