勾股定理知識(shí)點(diǎn)與常見題型總結(jié)

1、勾股定理知識(shí)點(diǎn)與常見題型總 結(jié)作者：日期:勾股定理復(fù)習(xí)一.知識(shí)歸納1.勾股定理內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a, b,斜邊為c,那么a2 b2 c2勾股定理的由來：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理.我國古代把直角三角形中較短 的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦.早在三千多年前周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了勾三,股四,弦五”形式的勾股定理，后來人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 2 .勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是圖形進(jìn)過

2、割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：方法': 4s SO形EFGH S正方形ABCD,4 ab (b a) c ,化簡可證.2方法四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為S 41ab c2 2ab c22大正方形面積為 S (a b)2 a2 2ab b2所以a2 b2 c2方法三：S弟形1(a b) (a2b), S弟形2S adecc 1，S ABE 2 ab21 2 , - 一2 c2化簡得證2AabE ab C3 .勾股定理的適用范圍勾

3、股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對(duì)于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征 ，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所考察的對(duì)象是直角三角形4 .勾股定理的應(yīng)用已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在 ABC 中， C 90 ,則 c Ja2 b2 , b Jc2 a2 , a 4c b2知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題5 .勾股定理的逆定理如果三角形三邊長 a,b,c滿足a2 b2 c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中c為斜邊勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確

4、定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和a2 b2與較長邊的平方c2作比較，若它們相等時(shí)，以a,b, c為三邊的三角形是直角三角形；若a2 b2 c2,時(shí)，以a ,b , c為三邊的三角形是鈍角三角形；若a2 b2 c2,時(shí)，以a, b, c為三邊的三角形是銳角三角形；定理中a,b, c及a2 b2 c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長 a,b, c滿足 222a cb,那么以a,b, c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊勾股定理的逆定理在用問題描述時(shí)，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形6 .勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形

5、的三邊長的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2 b2 c2中，a, b, c為正整數(shù)時(shí)，稱a,b, c為一組勾股數(shù)記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5; 6,8,10;5,12,13; 7,24,25等用含字母的代數(shù)式表示n組勾股數(shù)：22n 1,2n,n1 （n 2, n 為正整數(shù)）；222n 1,2n2n,2n 2n 1 （ n 為正整數(shù)）2222m n ,2 mn, m n （m n, m , n 為正整數(shù)）7.勾股定理的應(yīng)用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計(jì)算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題.在使用勾股定理時(shí)，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角

6、邊各是什么，以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線（通常作垂線），構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解.8.勾股定理逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論.9 .勾股定理及其逆定理的應(yīng)用勾股定理及其逆定理在解決一些實(shí)際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個(gè)整體.通常既要通過逆 定理判定一個(gè)三角形是直角三角形 ，又要用勾股定理求出邊的長度 ，二者相輔相成，完成對(duì)問題的解決 常見圖形：題型一：直接考查勾

7、股定理例 1.在 ABC 中，C 90 .已知 AC 6, BC 8.求AB的長已知 AB 17, AC 15,求BC的長分析:直接應(yīng)用勾股定理 a2 b2 c2解: ab Jac2 bc2 10 BC AB2 AC2 8題型二：應(yīng)用勾股定理建立方程例2.在 ABC 中，ACB 90 ,AB 5 cm , BC 3 cm , CD AB 于 D , CD =已知直角三角形的兩直角邊長之比為3:4 ,斜邊長為15,則這個(gè)三角形的面積為已知直角三角形的周長為 30 cm ,斜邊長為13 cm ,則這個(gè)三角形的面積為 分析:在解直角三角形時(shí)，要想到勾股定理，及兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積.

8、有時(shí)可根據(jù)勾 股定理列方程求解解： AC TAB_Bo7 4 , CD AC BC 2 4AB設(shè)兩直角邊的長分別為 3k,4k(3k)2 (4k)2 152, k 3, S 54設(shè)兩直角邊分別為a , b,則ab 17, a2 b2289,可得 ab 60 S1-ab 3022 cm12,CD 1.5,BD 2.5，求AC的長例3.如圖ABC 中， C 90 ,分析:此題將勾股定理與全等三角形的知識(shí)結(jié)合起來 解：作DE AB于E ,12 , C 90DE CD 1.5在BDE中2 222, BED 90 ,BE . BD DE11 八Rt AED90Rt ACDiAC AE 在Rt ABC中,

9、22AB ACBC22(AE EB)一 22AC 4 AC例4 .如圖Rt ABC ，C 90 AC3,BC 4,分別以各邊為直徑作半圓，求陰影部分面積答案：6 題型三：實(shí)際問題中應(yīng)用勾股定理例5.如圖有兩棵樹，一棵高8 cm,另一棵高2 cm,兩樹相距8 cm,一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵數(shù)的樹梢，至少飛了分析：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，如圖AB8 m ,CD 2 m , BC 8 m，過點(diǎn)D作DE AB ,垂足為 E ,則AE 6 m , DE 8 m在Rt ADE中，由勾股定理得 AD AEE2 DE2 10答案:10 m題型四：應(yīng)用勾股定理逆定理，判定一個(gè)三角形是否是直角三角形 例6 .已知三角形的三邊長為 a,b, c,判定 ABC是否為Rt a 15 b 2, c 2.5 a 5 , b 1,c -43屈刀 小3222222斛：.a b 1.5 2 6.25 ,c 2.5 6.25ABC是直角三角形且C 90“b2 c2 ,a2 竺，b2 c2 a2ABC不是直角三角形.916例7.三邊長為a,b,c滿足a b 10, ab 18,c 8的三角形是什么形狀? 解：此三角形是直角三角形理由：；a2 b2 (a b)2 2ab 64 ,且 c2 64222 一一 .一a b c所以此三角形是直角三角形題型五：勾股定理與勾股定理的逆定理綜合應(yīng)用AC例8