高等數(shù)學(xué)極限運(yùn)算法則ppt課件

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第一章 二、二、 極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則 一一 、無窮小運(yùn)算法則、無窮小運(yùn)算法則 第六節(jié)極限運(yùn)算法則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、一、 無窮小運(yùn)算法則無窮小運(yùn)算法則定理定理1. 兩個無窮小的和還是無窮小兩個無窮小的和還是無窮小 .推廣: 有限個無窮小之和仍為無窮小 .無限個無窮小之和是否仍為無窮小?2221111.lim()?nnnnn個22221112.lim()?nnnnn個32221113.lim()?nnnnn個1limnn22limnnn32limnnn01 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理2 . 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有

2、界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 . 推論推論 1 . 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 .推論推論 2 . 有限個無窮小的乘積是無窮小有限個無窮小的乘積是無窮小 .例例1. 求求.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用定理 2 可知.0sinlimxxx說明說明 : y = 0 是是xxysin的水平漸近線 .Oxyxxysin目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、極限運(yùn)算法則二、極限運(yùn)算法則定理定理 3. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中則則設(shè)

3、設(shè)推論推論 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 為常數(shù) )推論推論 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 為正整數(shù) )目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 考慮：考慮：,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在是否存在 ? 為什么為什么 ?答答: 不存在不存在 . 否則由否則由)()()()(xfxgxfxg利用極限四則運(yùn)算法則可知利用極限四則運(yùn)算法則可知)(limxg存在存在 , 矛盾矛盾.問問lim( ),lim ( ),f xg x若不存在不存在lim ( )( )f xg x，是否一定不存在是否一定不存在 ? 問問lim ( ) ( )f x

4、 g x,)(lim,)(lim不存在存在若xgxflim ( ) ( )f x g x是否一定不存在是否一定不存在 ? 問問1.2.3.答答: 不一定不存在不一定不存在 .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理4 . 假設(shè)假設(shè),lim,limByAxnnnn則有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(時且當(dāng)BynBAyxnnnlimBABA提示提示: 因?yàn)閿?shù)列是一種特殊的函數(shù)因?yàn)閿?shù)列是一種特殊的函數(shù) , 故此定理 可由定理3 直接得出結(jié)論 .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 設(shè)設(shè) n 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式,)(10nnnxaxaaxP試證).()(lim00 xP

5、xPnnxx證證:)(lim0 xPnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPn( )( ),( )P xF xQ x其中)(, )(xQxP都是多項(xiàng)式 ,0)(0 xQ試證: 00lim( )() .xxF xF x證證: 0lim( )xxF x)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP0()F x 假設(shè)例例3. 設(shè)有分式函數(shù)設(shè)有分式函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 73 322 1lim53xxxx322 1lim53xxxx 32212103例例 求求 解 考慮：考慮： 假假設(shè)設(shè),0)(0 xQ怎么求函數(shù)極限？3222lim(1)lim(53)x

6、xxxx x = 3 時分母為 0 !31lim3xxx例例4.934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx6231目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5 . 求求.4532lim21xxxx解解: x = 1 時時,3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母 = 0 , 分子0 ,但因目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 結(jié)論：2.已知分式函數(shù)00lim( )() .xxF xF x( )( ),( )P xF xQ x,0)(0 xQ假設(shè)那么0()0 ,Q x假設(shè)0lim( ).xxF x求0()0 ,P x0()0 ,P x去公因子再求0l

7、im( )xxF x 1.已知多項(xiàng)式00lim( )() .xxF xF x( ),F x那么目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí)：求練習(xí)：求)1113(lim31 xxx解解: 原式原式31(2)(1)lim1xxxx2313(1)lim1xxxx)(型型 21(2)lim11xxxx 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6 . 求求.125934lim22xxxxx解解: ,分子時x.分母22111125934limxxxxx分子分母同除以,2x那么400500“ 抓大頭抓大頭”原式221111lim(439)lim(52)xxxxxx54目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 先用x3去除分子及分母

8、然后取極限 解解: 例7 例例 6 求52123lim232xxxxx 020512123lim52123lim332232xxxxxxxxxxx020512123lim52123lim332232xxxxxxxxxxx020512123lim52123lim332232xxxxxxxxxxx 例例 7 求12352lim223xxxxx 例例8 解解 解解 因?yàn)?52123lim232xxxxx 所以 12352lim223xxxxx 所以目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一般有如下結(jié)果：一般有如下結(jié)果：為非負(fù)常數(shù) )nmba,0(00mn 當(dāng)mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110

9、,00ba,0,mn 當(dāng)mn 當(dāng)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例9. 求求解解: 令令.93lim23xxx932xxuux3lim6131lim3xx 原式 =uu61lim6166目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例10 . 求求解解: 方法方法 1.11lim1xxx,xu 那么, 1lim1ux令11112uuxx1u 原式原式) 1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例11. 解解: 231,0( )1,01xxyf xxxx求0lim( ), lim( ), lim( ).xxxf xf

10、 xf x0(0 )lim( )xff x0lim(1)xx0(0 )lim( )xff x1 2301lim()1xxx1 0lim( )1xf x 故lim( )xf x231lim ()1xxx0lim( )xf xlim (1)xx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 極限運(yùn)算法則(1) 無窮小運(yùn)算法則(2) 極限四則運(yùn)算法則注意使用條件2. 求函數(shù)極限的方法分式函數(shù)極限求法0) 1xx 時, 用代入法( 要求分母不為 0 )0)2xx 時, 對00型 , 約去公因子x)3時 , 分子分母同除最高次冪 “ 抓大頭”目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)P30 1 (2),

11、 (3),(8), (9),(12), 2 (2), 3 , 5第六節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 結(jié)論：2.已知分式函數(shù)00lim( )() .xxF xF x( )( ),( )P xF xQ x,0)(0 xQ假設(shè)那么0()0 ,Q x假設(shè)0lim( ).xxF x求0()0 ,P x0()0 ,P x去公因子再求0lim( )xxF x 1.已知多項(xiàng)式00lim( )() .xxF xF x( ),F x那么目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一般有如下結(jié)果：一般有如下結(jié)果：為非負(fù)常數(shù) )nmba,0(00mn 當(dāng)mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 當(dāng)

12、mn 當(dāng)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求極限方法舉例求極限方法舉例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx3123 .37 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2 2.3214lim21 xxxx求求解解)32(lim21 xxx, 0 商的法則不能用商的法則不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由無窮小與無窮大的關(guān)系由無窮小與無窮大的關(guān)系,得得.3214lim21 xxxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3 3.3

13、21lim221 xxxx求求解解.,1分母的極限都是零分母的極限都是零分子分子時時x)00(型型.1后再求極限后再求極限因子因子先約去不為零的無窮小先約去不為零的無窮小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 (消去零因子法消去零因子法)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解：原式解：原式32372222lim2 xxxxx又例又例 : 求求2237lim2 xxx3722)22)(22()37)(37(lim2 xxxxxxx)00(型型目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的極限都是無窮大分母的極限都是無窮大分子分子時時 x)(型型 .,3再再求求極極限限分分出出無無窮窮小小去去除除分分子子分分母母先先用用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (無窮小因子分出法無窮小因子分出法)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 25lim29xxx例229l