高等數(shù)學(xué)3-2洛必塔法則ppt課件

1、北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系思考題思考題試證：試證：2sin xx(0)2x，北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系微分中值定理微分中值定理北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系0sin2limxxxx20ln(1)limxxxx求極限：0limlnxxx30sinlimxxxx1lim 1xxx0lim sinxxx北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則型型未未定定式式解解法法型型及及一一、:00 ()( )( )0( )lim( ).0 xaxf xF xf xF x如果在某種趨勢(shì)下，兩個(gè)函數(shù)與都趨于零或都趨于無(wú)窮大，那么極限可能存在、也可能不存在通常把這種極限定義：

2、或型為未定式稱例如例如,tanlim0 xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()( 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系( )( )( )0lim( )lim( )0( )lim()( )( )( )limlim.( )( )xaxaxaxaxaf xF xaF xf xF xfxF xf xfxF xF x定理：設(shè)函數(shù)及在 點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且：，又存在 或?yàn)闊o(wú)窮大 ，則： 這種通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限這種通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則. .北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系證證定義輔助函數(shù)定義輔

3、助函數(shù), 0),()(1 axaxxfxf, 0),()(1 axaxxFxF,),(0 xaU內(nèi)內(nèi)任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)在在 ,為端點(diǎn)的區(qū)間上為端點(diǎn)的區(qū)間上與與在以在以xa,)(),(11件件滿滿足足柯柯西西中中值值定定理理的的條條xFxf則有則有:)()()()()()(aFxFafxfxFxf )()( Ff )(之間之間與與在在ax ,aax 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),)()(limAxFxfax ,)()(limAFfa .)()(lim)()(limAFfxFxfaax 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系0,0( ),( )0,xf x F xx注2：當(dāng)時(shí) 未定式仍然成立洛必塔法則 當(dāng)時(shí)( )0( )

4、,( )( )0fxfx F xF x注1：如果仍屬型，且滿足 定理?xiàng)l件，可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則，即.)()(lim)()(lim)()(lim xFxfxFxfxFxfaxaxax.)()(lim)()(limxFxfxFxfxx 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系例例1 1解解30tanlim.xxxx求30(tan)lim()xxxx原式220sec1lim3xxx1.3例例2 2解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原原式式266lim1 xxx.23 )00()00(,.注3：未定式也有相應(yīng)的洛必達(dá)法則北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系例例3

5、3解解.sinlnsinlnlim0bxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原原式式. 1 )( axbxxcoscoslim0 ( )( )( )0lim( )lim( )( )lim()( )( )( )limlim.( )( )xaxaxaxaxaf xF xaF xf xF xfxF xf xfxF xF x 定理：設(shè)函數(shù)及在 點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且：，又存在 或?yàn)闊o(wú)窮大 ，則： 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系例例4 4解解.3tantanlim2xxx 求求xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxx

6、xsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 . 3 )( 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系lnlim(0)nxxx練習(xí)：求!lim0nxnxlim(0,0)xxxe練習(xí)：求 1 1(1)( )lim0 xxxe 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法， 但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好. .例例5 5解解0tanlim.sintanxxxxxx求30tanlimxxxx 原原式式xxxx6tansec

7、2lim20 22031seclimxxx xxxtanlim310 .31 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系型型未未定定式式解解法法二二、00,1 ,0 ,0 例例6 6解解0limln .(0)xxx求)0( 0lnlimxxx原式10011limlim0 xxxxx關(guān)鍵關(guān)鍵: :將這些類型的未定式化為將這些類型的未定式化為 洛必達(dá)法則可解決的類洛必達(dá)法則可解決的類型型 . .),00()( 型型 0. 1步驟步驟:,10 .0100 或或北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系例例7 7解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101 .0000 0sinlimsinxxxxx原

8、式01 coslim2xxx. 0 型型 . 2步驟步驟:20sinlimxxxx北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系步驟步驟:型型00,1 ,0. 3 ln01ln0ln01000取對(duì)數(shù)取對(duì)數(shù).0 例例8 8解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1lnlim0 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系例例1010解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1111解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 ,

9、)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取對(duì)數(shù)得取對(duì)數(shù)得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系例例1212解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 極限不存在極限不存在洛必達(dá)法則失效。洛必達(dá)法則失效。)cos11(limxxx 原原式式. 1 注意：洛必達(dá)法則的使用條件注意：洛必達(dá)法則的使用條件北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系3200sin6( )6( ):lim0lim_xxxxf xf xxx練習(xí) 若，則注

10、意：不能用洛必達(dá)法則230033006( )6( )limlimsin6( )6sin6limlimxxxxf xxxf xxxxxf xxxxx2066cos6lim3xxx36北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系( )(0)1( )cos0( )01).( )02).( );3).( )0g xgg xxxf xxaxaf xxfxfxx例13. 設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且確定 的值，使在點(diǎn)處連續(xù);求討論在點(diǎn)處的連續(xù)性。00( )coslim( )limxxg xxaf xx解1： 0lim( )sin(0)xg xxg北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系0( )(0)(0)limxf x

11、ffx0 x 2.當(dāng)時(shí)：20( )cos(0)limxg xxxgx2 ( )sin ( )cos ( )x g xxg xxfxx0( )sin(0)lim2xg xxgx0( )coslim2xgxx1( (0) 1)2g北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系200 ( )sin ( )cos 3.lim( )limxxx g xxg xxfxx0 ( )cos lim2xx gxxx01lim ( )cos 2xgxx1 (0) 1(0)2gf( )0fxx 即，在點(diǎn)處連續(xù)北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)令令gfy 三、小結(jié)北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系思考題思考題對(duì)數(shù)列的極限，類似的法則是這樣敘述的：1111limlimlimnnnnnnnnnnnnnnyxxyyxstxxyyoylz：若數(shù)列單調(diào)增加且趨于無(wú)窮大， 且的極限存在， 定理則：12li