(完整版)《實(shí)變函數(shù)及泛函分析基礎(chǔ)》試卷及答案

1、試卷:得分一、單項(xiàng)選擇題 (3分X 5=15分)1、1、下列各式正確的是()(A)而入 a； (B)血a a； nn 1k nnn 1k n(C)limAn1k Ak；(D) Um An1k A；nn 1k nnn 1k n2、設(shè)P為Cantor集，則下列各式不成立的是()- _ '(A) P c (B) mP 0 (C) P P (D) P P3、下列說法不正確的是()(A)凡外側(cè)度為零的集合都可測(B)可測集的任何子集都可測(C)開集和閉集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可測4、設(shè)fn(x)是E上的ae有限的可測函數(shù)列，則下面不成立的是()(A)若 fn(X)f(X),則 fn(x)f

2、 (X) (B) SUp fn(x)是可測函數(shù)n(C) inf fn(x)是可測函數(shù);(D)若 fn(x)f(x)，則 f(x)可測n5、設(shè)f(x)是a,b上有界變差函數(shù)，則下面不成立的是()(A) f (x)在a,b上有界(B) f (x)在a,b上幾乎處處存在導(dǎo)數(shù)b(C) f'(x)在a,b上 L可積(D) f'(x)dx f(b) f(a) a得分填空題(3分X 5=15分)1、(CsA CsB) (A (A B) o一2、設(shè)E是0,1上有理點(diǎn)全體，則E'=,E=,E=.3、 設(shè)E是Rn中點(diǎn)集，如果對(duì)任一點(diǎn)集T都有則稱E是L可測的4、f(x)可測的條件是它可以表成

3、一列簡單函數(shù)的極限函數(shù).(填“充分”，“必要”，“充要”)5、設(shè)f(x)為a,b上的有限函數(shù)，如果對(duì)于a,b的一切分劃，使S U 稱 f(x)為a, b上的有界變差函數(shù)得分三、下列命題是否成立？若成立，則證明之；若不成立，則舉反例說明.(5分X 4=20分)1、設(shè)E R1 ,若E是稠密集，則CE是無處稠密集2、若mE 0 ,則E 一定是可數(shù)集.3、若| f (x)|是可測函數(shù)，則f(x)必是可測函數(shù)。4.設(shè)f(x)在可測集E上可積分，若 x E,f(x) 0,則e“x) 0(第2頁,共18頁)得分四、解答題（8分X 2=16分）、x2 x為無理數(shù)1、（8分）設(shè)f （x），花，則f（x）在0,1

4、上是否R可積，是否L1,x為有理數(shù)可積，若可積，求出積分值。2、(8分)求 limln(x-n)e x cosxdxn 0 n（第3頁,共18頁）得分五、證明題（6分X 4+10=34分）1、（6分）證明0,1上的全體無理數(shù)作成的集其勢為c.2、（6分）設(shè)f（x）是 , 上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，則對(duì)于任意常數(shù) a,E x|f(x) a是閉集。3、（6分）在a,b上的任一有界變差函數(shù)f（x）都可以表示為兩個(gè)增函數(shù)之差（第4頁，共18頁）4、(6 分)設(shè) mE , f (x)在 E 上可積，en E(| f | n),則 lim n men 0. n5、(10分)設(shè)f(x)是E上ae有限的函數(shù)，若對(duì)任意

5、0 ,存在閉子集F E,使f (x)在F上連續(xù)，且m(E F )，證明：f(x)是E上的可測函數(shù)。(魯津 定理的逆定理)試卷一答案:試卷(參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn))一、1. C 2 D 3. B 4. A 5. D一、1.2、0,1 ;0,13、mT m(T E) m (T CE)n4、充要 5、| f (Xi) f(X1)|成一有界數(shù)集。i 1三、1.錯(cuò)誤2分.5 分2 .錯(cuò)誤2分例如：設(shè)E是Cantor集，則mE 0,但E c ,故其為不可數(shù)集.5分3 .錯(cuò)誤2分x, x E;例如：設(shè)E是a,b上的不可測集，f(x) ,例如：設(shè)E是0,1上有理點(diǎn)全體，則E和CE都在0,1中稠密x, x a,b

6、E;則| f(x)|是a,b上的可測函數(shù)，但f(x)不是a,b上的可測函數(shù) .5分4.錯(cuò)誤2分mE 0時(shí)，對(duì)E上任意的實(shí)函數(shù) f(x)都有 f(x)dx 05分E四、1. f(x)在0,1上不是R可積的，因?yàn)閒(x)僅在x 1處連續(xù)，即不連續(xù)點(diǎn)為正測度集.3分因?yàn)閒(x)是有界可測函數(shù)，f(x)在0,1上是L可積的£分因?yàn)椤?)與*2 ae相等,進(jìn)一步,1 .10,1f(x)dx0xdx 鼻8 分(第6頁,共18頁)2.解：設(shè) fn(x) 妁xn)e xcosx ,則易知當(dāng) n 時(shí)，fn(x)0n.2分(又因 處14n-1 0, (t 3),所以當(dāng)n 3,x 0時(shí)，tt2ln(x n

7、) n x ln(x n) n xln 3 1n 3(1 x)4 分n n x n n 33從而使得 |fn(x)| (1 x)ex 6分3但是不等式右邊的函數(shù)，在 0, 上是L可積的，故有l(wèi)im ° fn(x)dx° lim fn(x)dx 0 8分 五、1.設(shè) E 0,1, A E Q,B E (E Q).Q B是無限集，可數(shù)子集M B.3分.5分Q A是可數(shù)集，A M : M.且(A M ) (B M) , M (B M)Q B M (B M ), E A B A M (B M ),E : B, B c. 6 分2. x E,則存在E中的互異點(diǎn)列4,使limxn x.

8、2分nQxn E, f(xn) a .3 分Q f(x)在x點(diǎn)連續(xù)，f (x) limf() a nx E 5 分E是閉集.6分3. 對(duì) 1,0,使對(duì)任意互不相交的有限個(gè)(a»b) (a,b)nn當(dāng)(ba)時(shí)，有 |f(b)i f(ai) 1 2 分1 1i 1將a,b m 等分，使Xj x 1 ，對(duì) T :為 1 z0 z1Lzk x ,有i 1kf(zi) f (zi 1)1, 所以f (x)在xi 1 ,xi上是有界變差函i 1數(shù).5分xb所以V(f)1,從而V(f)m ,因此，f(x)是a,b上的有界變差函 x 1a數(shù).6分4、f(x)在 E 上可積 lim mE(| f |

9、 n) mE(| f |) 0 2 分據(jù)積分的絕對(duì)連續(xù)性，0,0, e E,me , 有| f (x) | dx .4分e對(duì)上述 0, k, n k, mE(| f | n) ,從而 n men| f (x) |dx ,即%lim n mq 0 6分n1 _.5. n N, 存在閉集FnE,m E Fn2n,f(x)在 匕連續(xù) 2分令 F UI Fn ,則 x F k,x n kFn, n k,x Fnf(x)在 F 連k 1n kn續(xù)4分又對(duì)任意 k,mE F mE ( Fn) m (E Fn)n k nn kn1m(E Fn) .6 分n k2故 m(E F) 0, f(x)在 F E連續(xù)

10、 .8 分又m(E F) 0,所以f(x)是E F上的可測函數(shù)，從而是E上的可測函數(shù) .10分(第8頁，共18頁)試卷二:實(shí)變函數(shù)試卷二專業(yè)班級(jí)姓名 學(xué)號(hào)題號(hào)一二三四五總分得分注意事項(xiàng)1、本試卷共6頁。2 、考生答題時(shí)必須準(zhǔn)確填寫專業(yè)、班級(jí)、 學(xué)號(hào)等欄目，字跡要清楚、工整H一.單項(xiàng)選擇題(3分X 5=15分)得分1 .設(shè)M,N是兩集合，則 M (M N)=()(A) M (B) N (C) M N (D)2 .下列說法不正確的是()(A) P0的任一領(lǐng)域內(nèi)都有E中無窮多個(gè)點(diǎn)，則P0是E的聚點(diǎn)(B) P0的任一領(lǐng)域內(nèi)至少有一個(gè)E中異于P0的點(diǎn)，則Po是E的聚點(diǎn)(C)存在E中點(diǎn)列Pn ,使RP0

11、,則Po是E的聚點(diǎn)(D)內(nèi)點(diǎn)必是聚點(diǎn)3 .下列斷言()是正確的。(A)任意個(gè)開集白交是開集；(B)任意個(gè)閉集的交是閉集；(C)任意個(gè)閉集的并是閉集；(D)以上都不對(duì)；4 .下列斷言中()是錯(cuò)誤的。(A)零測集是可測集；(B)可數(shù)個(gè)零測集的并是零測集；(第9頁，共18頁)（C）任意個(gè)零測集的并是零測集；（D）零測集的任意子集是可測集;5.若f（x）是可測函數(shù)，則下列斷言（）是正確的(A) f(x)在 a,b L 可積 | f(x)|在 a,b L 可積;(B) f(x)在 a,b R 可積| f(x)|在 a,b R 可積(C) f(x)在 a,b L 可積|f(x)|在 a,bR 可積;(D)

12、 f(x)在a, R 廣義可積 f(x)在a,+ L可積/曰八二.填空題（3分X 5=15分）得分111、設(shè) An -,2 -,n 1,2,L ,則血 An 。 n nn=o2、設(shè) P 為 Cantor 集，則 P , mP , P=，3、設(shè)S是一列可測集，則m Si mSi 1i 14、魯津定理：5、設(shè)F（x）為a,b上的有限函數(shù)，如果則稱F（x）為a,b上的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)。三.下列命題是否成立？若成立，則證明之；若不 得分 成立，則說明原因或舉出反例.（5分X 4=20分）1、由于0,10,10,1 ,故不存在使 0,1和01之間1 1對(duì)應(yīng)的映射。2、可數(shù)個(gè)零測度集之和集仍為零測度集3、a.

13、e.收斂的函數(shù)列必依測度收斂。4、連續(xù)函數(shù)一定是有界變差函數(shù)四.解答題（8分X 2=16分）x, x為無理數(shù)1、設(shè)f1E有理數(shù),則f（x）在0,1上是否R可積，是否L可積,若可積，求出積分值。2、求極限 lim-nxsin3nxdx.n 01 n2x2得分五.證明題（6分X 3+ 8 2 =34分）1.（6分）1、設(shè)f（x）是（，）上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，則對(duì)任意常數(shù)c,E x|f（x） c 是一一開集.（第13頁，共18頁）2. (6分)設(shè) 0,開集G E,使m*(G E),則E是可測集3. (6分) 在 a,b 上的任一有界變差函數(shù)f(x) 都可以表示為兩個(gè)增函數(shù)之差。4. (8分)設(shè)函數(shù)列fn

14、(x) (n 1,2,L )在有界集E上“基本上” 一致收斂于f(x),證明：fn(x)ae收斂于f (x) o5. (8分)設(shè)f(x)在E a,b上可積，則對(duì)任何0,必存在E上的連續(xù)函b數(shù) (x) ，使 | f (x)(x) | dx .a試卷二 (參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn))1、 1， C 2, C 3, B 4, C 5, A2、 1， 0,22， c ； 0 ；3，4,設(shè)f(x)是E上a.e.有限的可測函數(shù)，則對(duì)任意 0,存在閉子集E E,使得f(x)在 E 上是連續(xù)函數(shù)，且m(E E )。5 ， 對(duì) 任 意 0,0 ， 使 對(duì) a,b 中 互 不 相 交 的 任 意 有 限 個(gè) 開 區(qū) 間n

15、na，bi ,i 1,2,L ,n,只要 b ai，就有 |F(bJ F(ai)|i1i1三、1.錯(cuò)誤2分15 頁，共18頁)(0)記(0,1)中有理數(shù)全體R (r1,r2,L (1) r2(rn) rn2,n 1,2L(x) x,x為0,1中無理數(shù),顯然是0,1惻(0,1)上的1 1映射。5分2.正確 2分設(shè)Ei為零測度集，0 m*(UE)m*E 0 ,所以，m*(UE) 01i 1i 1因此，U Ei是零測度集。 5分i 13 .錯(cuò)誤2分例如：取 E(0,),作函數(shù)列：fn(x)1,x (0,n n 1,2,L0.x (n,)顯然 fn(x)1,當(dāng) x E。但當(dāng) 01 時(shí)，E| fn 1|

16、 (n,)且m(n,) 這說明fn(x)不測度收斂到1. 5分4 .錯(cuò)誤2分xcos0x1例如：f(x)xcos2x,0 x 1,顯然是0,1的連續(xù)函數(shù)。0,x 0.，一, 一 .，1111 一一- 一如果對(duì)0,1取分劃T:0 L 1 1 1,則容易證明2n 2n 13 22nn 11|f (xi) f (xi 1) |1,從而得到 V(f) 5 分0i 1i 1四、1. f(x)在0,1上不是R可積的，因?yàn)閒(x)僅在x 1處連續(xù)，即不連續(xù)點(diǎn)為正測度集 3分因?yàn)閒(x)是有界可測函數(shù)，所以f(x)在 0,1上是L 可積的.6分11因?yàn)閒 (x)與x ae相等，進(jìn)一步，f(x)dx xdx -

17、8分o/ ， o2nv2 設(shè) fn(x) sin "xdx ，則 易 知 當(dāng) n時(shí)1 n xfn(X) 0 2 分nx又 I fn(X)| FT 4 分1 n x但是不等式右邊的函數(shù)，在 0, 上是L可積的6分故有 lim ° fn(x)dx ° lim fn(x)dx 0 8分五、1. x E, f (x) c .1分Q f(x)在 x 點(diǎn)連續(xù)，對(duì) f (x) c 0, U(x,)，當(dāng) y U(x,)時(shí)，有 |f(y) f(x) 3 分f(X) c f (y) f (x) f (x) c f (y) c , y E5 分因此U(x, ) E,從而E為開集.6分2

18、 . 對(duì)任何正整數(shù)n , 由條件存在開集Gn E,使*1m (Gn E) - 1 分n令G I Gn ,則G是可測集3分n 1又因m*(G E) m*(Gn E) ,對(duì)一切正整數(shù)n成立，因而m*(G E) 0 ,即 nMGE 是一 零 測 度 集， 所 以 也 可測.5分由E G (G E)知，E可測。6分X3、易知g(x) ,(f)是a,b上的增函數(shù) 2分令 h(x) g(x) f (x),則對(duì)于 a x1 x2 b有 h(x2) h(xi) g(x2) g(xi) f (x2) f(x1)x2V(f ) f(x2) f(xi) |f(x2) f(xi)| f(x2) f(xi) 0 xi所

19、以h(x)是a,b上的增函數(shù) 4分因 此f(x) g(x) h(x),其 中g(shù)(x)與h(x)均為a,b上的有 限增函數(shù).6分4、因?yàn)閒n(x)在E上“基本上” 一致收斂于f(x),所以對(duì)于任意的k Z ,存在可測集 Ek E ,fn(x) 在Ek上一致收斂于 f(x), 且_1八m(E Ek) - 3 分k令E* UEk,則fn(x)在E*上處處收斂到f (x) 5分k 1_ _*1m(E E ) m(E UEk) m(E Ek)k=1,2Lrk所以m(E E ) 0 8分5、 證明：設(shè)en E| f | n,由于 f(x)在E上a.e.有限，故men0,( n ) .2 分由積分的絕對(duì)連續(xù)