(完整word版)專升本高等數(shù)學知識點匯總

1、專升本高等數(shù)學知識點匯總常用知識點：一、常見函數(shù)的定義域總結如下：y = kx b(1) 2一般形式的定義域：xCRy = ax bx ck(2) y=分式形式的7E義域：xW0 x(3) y=Jx根式的形式定義域：x>0(4) y = log a x對數(shù)形式的定義域：x>0二、函數(shù)的性質(zhì)1、函數(shù)的單調(diào)性當x1<x2時，恒有f(x1)<f(x2), f(x)在X, x2所在的區(qū)間上是增加的。當x1<x2時，恒有f(xi)f(x2), f(x)在xi, x2所在的區(qū)間上是減少的。2、函數(shù)的奇偶性定義：設函數(shù)y = f(x)的定義區(qū)間D關于坐標原點對稱(即若 xW D

2、,則有-xW D) 偶函數(shù)f (x)VxW D ,恒有f(x)=f(x)。(2)奇函數(shù) f (x)VxW D ,恒有 f (一x) = - f (x)。三、基本初等函數(shù)2、哥函數(shù)：y =x3、指數(shù)函數(shù)(U是常數(shù))。它的定義域隨著 u的不同而不同。圖形過原點。1、常數(shù)函數(shù)：y=c,定義域是(-電,2)，圖形是一條平行于 x軸的直線。 u定義：y = f(x)=ax, ( a是常數(shù)且a >0, a =1).圖形過(0,1)點。4、對數(shù)函數(shù)定義：y = f (x) =logaX , ( a是常數(shù)且 a >0, a =1)。圖形過(1,0 )點。5、三角函數(shù)(1) 正弦函數(shù)：y=sinxT

3、 =2 兀，D(f)=(i"), f(D)=1,1。(2) 余弦函數(shù)：y=cosx.T =2兀，D(f)=(i"), f(D)=1,1。(3)正切函數(shù)：y =tan x.T =冗,D(f)=x|xw R,x#(2k + 1),kw Z ,f (D) =(-+«).(4)余切函數(shù)：y = cot x.T =n , D(f)=x|xw R,x#kn,kw Z , f(D)=.5、反三角函數(shù)(1)反正弦函數(shù)：y=arcsinx, D(f)=1,1, f (D) =- ° 2, 2(2)反余弦函數(shù)：y = arccos<, D(f)=1,1, f(D)=0

4、,n。反正切函數(shù)：y=arctanx, D( f)=(3,收)，f (D) = (- )o2'2(4)反余切函數(shù)：y=arccotx, D( f) =(-«，)，f(D) = (0,n)。極限一、求極限的方法1、代入法代入法主要是利用了 “初等函數(shù)在某點的極限，等于該點的函數(shù)值。”因此遇到大部分簡單題目的時候，可以直接代入進行極限的求解。2、傳統(tǒng)求極限的方法(1)利用極限的四則運算法則求極限。(2)利用等價無窮小量代換求極限。(3)利用兩個重要極限求極限。(4)利用羅比達法則就極限。、函數(shù)極限的四則運算法則設 lim u = A , lim v = B ,則 x >&#

5、39;x >(1) lim.(u ±v) = lim' u ± lim. v = A ± Bx L，x L， x L，(2)lim (u v)=lim u lim v = AB .x J，x J， x推論(a)lim(C v)=C ,limv,(C 為常數(shù))。x j/.x "(b) lim un = (lim u)n j/ x ).ulim uA(3) lim u =2 J,( b#0).J vlim vBx >.(4)設 P(x)為多項式 P(x) = a()xn + aixn，+an ,則 lim P(x) = P(x0) x%(

6、5)設P(x),Q(x)均為多項式,且 Q(x) #0,則 lim 配 x >xo Q(x)P(x。)Q(xo)三、等價無窮小常用的等價無窮小量代換有：當xt0時，sinxx, tanxx, arctanx x ,x12arcsinx x, ln(1+x)x, e -1 x , 1 - cosx - x。對這些等價無窮小量的代換，應該更深一層地理解為：當 口-> 0時，sinDD ,其余類 似。四、兩個重要極限sin x重要極限I lim=1。 x-Q x它可以用下面更直觀的結構式表示：lim皂口 =1T 重要極限II+ 1。 x其結構可以表示為:lim i1 =e)八、洛必達(L

7、"Hospital港則“0”型和“三”型不定式，存在有l(wèi)im f® = lim fix) = A (或8)。0二X 聲 g(x) X 盧 g (x)一元函數(shù)微分學一、導數(shù)的定義設函數(shù)y = f (x)在點xo的某一鄰域內(nèi)有定義，當自變量 x在X。處取得增量 x (點 x0 +Ax仍在該鄰域內(nèi))時，相應地函數(shù)y取得增量Ay = f(x0+Ax) f (x0)。如果當xt 0時，函數(shù)的增量Zky與自變量Ax的增量之比的極限lim y=lim f(x°x) f(x0)= f (x°) 注意兩個符號 Ax和x0在題目中可能換成其 .,x-0 x x 0. ：x他

8、的符號表示。二、求導公式1、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式(1) (C)' = 0 (C為常數(shù)) 用公網(wǎng)儀(口為任意常數(shù))(3) (ax)'=axlna (a A0,a#1) 特殊情況(ex) = ex111(4) (log a x) = - log a e =(x a0,a a0, a =1),( l nx)=一xx ln ax(sin x)'=cosx(6) (cosx)'=-sin x '2cos x(tan x)=(8)(cot x)=1sin2 x一,.、，1(9) (arcsinx) =(-1x1)- 1 - x2，1(10) (arccosx) =

9、 一一(-1 LxU) ,1-x2(11)(12)(arctanx) = -1 x2,、,1(arc cotx) = - 22、導數(shù)的四則運算公式(1) u(x) ±v(x)J = u'(x)±v'(x)(2) u(x)v(x) '= u '(x)v(x) +u(x)v'(x)(3) ku' = ku' (k為常數(shù))(如:u(x)】 _u'(x)v(x) u(x)v'(x)(4) 2'v(x) 1v (x)3、復合函數(shù)求導公式：設 y=f(u), u=/x),且f (u)及中(x)都可導，則復合

10、函數(shù)y = fW(x)的導數(shù)為 dy =電包=f '(u)9'(x)。dx du dx三、導數(shù)的應用1、函數(shù)的單調(diào)性_ ' . _ 、 f (x) A 0則f (x)在(a, b)內(nèi)嚴格單調(diào)增加。_ ' _ f (x) C 0則f (x)在(a,b)內(nèi)嚴格單調(diào)減少。2、函數(shù)的極值_ ' . . . . . _ . .f(x)=0的點一一函數(shù)f(x)的駐點。設為Xo(1)右 X<Xo 時，f(x)A0; XAXo 時，f (x) <0 ,則 f (Xo)為 f (x)的極大值點。，一、4'(2)右 x <Xo 時，f (X) &l

11、t;0 ; X > Xo 時，f (x) >0 ,則 f (x0)為 f (x)的極小值點。'(3)如果f (x)在Xo的兩側(cè)的符號相同，那么f (Xo)不是極值點。3、曲線的凹凸性_ " _ .f (x) >0,則曲線y = f(x)在(a,b)內(nèi)是凹的。_ " _ 、f (x)<0,則曲線y = f(x)在(a,b)內(nèi)是凸的。4、曲線的拐點(1)當f (x)在x0的左、右兩側(cè)異號時，點(x0, f (x0)為曲線y=f(x)的拐點，此時f (x0) =0. 當f (x)在x0的左、右兩側(cè)同號時，點(x0,f(x。)不為曲線y = f(x)

12、的拐點。5、函數(shù)的最大值與最小值極值和端點的函數(shù)值中最大和最小的就是最大值和最小值。四、微分公式, dy = f (x)dx ,求做分就是求導數(shù)。一元函數(shù)積分學一、不定積分1、定義，不定積分是求導的逆運算，最后的結果是函數(shù) +C的表達形式。公式可以用求導公 式來記憶。2、不定積分的性質(zhì)(1)f(x)dx' = f(x)或 df(x)dx= f (x)dx JF'(x)dx = F(x) +C 或 JdF(x) = F(x) + C(3) f(x)±(x) ±±W(x)dx= ff (x)dx±"(x) ±±F

13、(x)dx。(4) Jkf(x)dx = kJf(x)dx (k為常數(shù)且 k#0)。2、基本積分公式(要求熟練記憶)(1) j0dx=C Jxadx =-xa+ +C (a =-1).a 11 一一(3) J-dx =in x +C .x 1 x .(4) 但 dx =a +C (a>0,a01)In a(5) jexdx=ex+C(6)Jsin xdx =-cosx+ C Jcosxdx =sinx+C-1 f2dx=tanx+C. cos x(9) (2-dx = cotx+C. sin x1(10) r dx =arcsin x +C .1-x2，、1.八(11) rdx = ar

14、ctanx + C .1 x23、第一類換元積分法對不定彳股分(g(x)dx ,將被積表達式g (x)dx湊成g(x)dx = f 嚴(x)甲(x)dx = f甲(x)d(x),這是關鍵的一步。常用的湊微分的公式有： 1 .(1) f (ax +b)dx = 一 f (ax +b)d(ax +b) a(2) f (axk +b) xk'dx = f (axk +b)d(axk +b) ka(3) f (Tx) -dx = 2f TxdVx x一1、 1 . ，1、 , 1(4) f()，2dx = _f(一)d x xx x(5) f(ex) exdx = f (ex)d (ex).1

15、(6) f (ln x)dx = f (ln x)d(ln x) x f (sin x) cosxdx = f (sin x)d(sin x)(8) f (cos x) sin xdx = -f (cos x)d(cos x)1(9) f (tan x)2dx = f (tanx)d(tanx)cos x1(10) f(cotx) 2dx = -f(cotx)d(cotx) sin x(11)一 .1f (arcsin x) dx 二 f (arcsin x)d (arcsin x)1 -x2(12)1f (arccos x)，、,1 -x2dx = - f (arccos x)d (arcc

16、os x)(13)一 ,、1,f (arctanx) 2 dx1 xf (arctanx)d(arctanx)(14)(x)dx = d(ln (x)(x) =0)4、分部積分法udv = uv - vdu、定積分公式1、(牛頓萊布尼茨公式)如果F(x)是連續(xù)函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上的任意一個原函數(shù),b則有f(x)dx = F(b) F(a)。 a2、計算平面圖形的面積如果某平面圖形是由兩條連續(xù)曲線y1 = g(x), y2 = f (x)及兩條直線 X1=a和X2=b所圍成的(其中y1是下面的曲線，丫2是上面的曲線)，則 其面積可由下式求出:S = af (x) -g(x)dx. a3、

17、計算旋轉(zhuǎn)體的體積設某立體是由連續(xù)曲線y = f (x)( f (x) >0)和直線xx = a, x = b(a < b)及x軸所圍平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體，如圖所示。則該旋轉(zhuǎn)體的體積V可由下式求出：b 2b _ 2Vx = Jf (x)dx =二 a f (x)dx.多元函數(shù)微分學1、偏導數(shù)，對某個變量求導，把其他變量看做常數(shù)。2、全微分公式：dz =df (x, y) = AAx + BAy。3、復合函數(shù)的偏導數(shù)一一利用函數(shù)結構圖如果u =(x, y)、v=W(x,y)在點(x, y)處存在連續(xù)的偏導數(shù) ,，身， x fy f x : y且在對應于(x, y)的點(

18、u,v)處，函數(shù)z= f (u,v)存在連續(xù)的偏導數(shù) ,則復合函數(shù) u .vz= fW(x,y)W(x,y)在點(x,y)處存在對x及y的連續(xù)偏導數(shù)，且z二 zcucz二v二 zcz二 u二 z二 v+) +Ox二 u二 x二 vex二 y二 u二 y二 v； y4、隱函數(shù)的導數(shù)對于方程F(x, y) =0所確定的隱函數(shù)y= f(x),可以由下列公式求出y對x的導數(shù)y'：一'Fx(x,y)'Fy(x, y)2、隱函數(shù)的偏導數(shù)對于由方程F(x, y,z) = 0所確定的隱函數(shù) z= f(x,y),可用下列公式求偏導數(shù):''zFx(x,y,z)二 zFy (

19、x,y,z)丁 =T， 丁 =T，xFz (x, y, z)二 yFz(x,y,z)5、二元函數(shù)的極值設函數(shù)z = f(x0,y0)在點(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有一階和二階連續(xù)偏導數(shù)，且''''''''fx(x0,y0)= 0, fy(x0,y0) = 0又設 fxx(x0,y0)=A，fxy(x0,y0)=B, fyy(x0,y0) = C, 則：(1)當B2 AC <0時，函數(shù)f (x, y)在點(x°, y°)處取得極值，且當 A<0時有極大值，當 A>0時有極小值。 當B2ACA。時，

20、函數(shù)f (x, y)在點(Xo, y0)處無極值。(3)當B2 - AC =0時，函數(shù)f(x, y)在點(Xo, y。)處是否有極值不能確定，要用其它方法另作討論。平面與直線1、平面方程(1)平面的點法式方程：在空間直角坐標系中，過點M 0(x0, y0,z0),以門=慶,B, C為法向量的平面方程為A(x -x0) +B(y y0) +C(z z0) = 0稱之為平面的點法式方程(2)平面的一般式方程Ax + By +Cz + D =0稱之為平面的一般式方程2、特殊的平面方程Ax + By +Cz =0 表示過原點的平面方程Ax + By + D = 0 表示平行于Oz軸的平面方程Ax +

21、By = 0 表示過Oz軸的平面方程Cz + D=0表示平行于坐標平面 xOy的平面方程3、兩個平面間的關系設有平面 1:Aix Biy Ciz Di =0二2 : A2x B2 y C2z D2 =0平面 巴和n2互相垂直的充分必要條件是：A1A2 +B1B2 +C1C2 =0“ 一、A B1C1D1平面 L 和(2平行的充分必要條件是：二二$ A2B2 C2D2一 一A B1C1D1平面。和冗2重合的充分必要條件是：一= =A2B2 C2D24、直線的方程(1)直線的標準式方程 過點M 0(x0, yO, z°)且平行于向量s =m, n, p的直線方程工 = 匚也=二稱之為直線

22、的標準式方程(又稱點向式方程、對稱式方程)m n p常稱s =m,n, p為所給直線的方向向量(2)直線的一般式方程二0稱之為直線的=0般式方程A1xB1yC1z D1A2x B2yC2zD25、兩直線間關系設直線ll, 12的方程為x Xiy - yi z - Zili ：-m1n1p1x - x2 _ y - y2 _ z - z2i ：=m2n2 p2直線li , l 2平行的充分必要條件為 =一- ； m2n2直線11，l2互相垂直的充分必要條件為m1m2 +n1n2 + p1p2 = 06、直線l與平面n間的關系設直線l與平面江的方程為,X -Xoy - yo z -zoi :=m

23、n p二：A(x - Xo) - B(y - yo) C(z -zo) = 0直線l與平面n垂直的充分必要條件為:ABC直線l與平面兀平行的充分必要條件為:Am + Bn + Cp = oAmo + Bno + Cpo + D wl落在平面n上的充分必要條件為將初等函數(shù)展開成事級數(shù)Am Bn Cp = oAmo Bno Cpo D = oI、定理：設f(x)在U(x0,B)內(nèi)具有任意階導數(shù)，且f(n+f)書lim Rn(x)=o , R(x)=( (x -xo)n 則在 U(xo,5)內(nèi)n，二(n i)!oO f(x) c n ff(n)(xo)n!(x-xo)稱上式為f ( X)在點Xo的泰

24、勒級數(shù)?；蚍Q上式為將f ( X)展開為X = Xo的哥級數(shù)。2、幾個常用的標準展開式1D 1=三 Xn1 - Xn -0ne =，n口 n!一2n / sin x = : (-1)n nZ (2n 1)!2 nX COSX :(-1)n n*(2n)!一；nX ln(1 x)=三(一1)一 n%n； n uX ln(1 - X) = _ T ni n常微分方程1、一階微分方程(1)可分離變量的微分方程f(x)g(y)若一階微分方程 F(x,y,y)=0通過變形后可寫成 g( y)dy = f (x)dx 或 y'=則稱方程F(x, y, y) =0為可分離變量的微分方程.2、可分離變量

25、微分方程的解方程g(y)dy =f (x)dx必存在隱式通解 G(y) = F(x)+C。其中：G(y) = g(y)dy,F(x)= f(x)dx.即兩邊取積分。(2) 一階線性微分方程1、定義：方程 y' + P(x)y =Q(x)稱為一階線性微分方程(1)非齊次方程一一 Q(x) #0 ；(2)齊次方程 y' + P(x)y=0.2、求解一階線性微分方程_p(x)dx(1)先求齊次方程 y' + P(x)y =0的通解：y = Ce ,其中C為任意常數(shù)。(2)將齊次通解的C換成u(x)。即y = u(x)e1(x)dx(3)代入非齊次方程 y'+P(x)y

26、 =Q(x)，得_P(x)dx 一fP(x)dxy = eq( x)e dx C2、二階線性常系數(shù)微分方程(1)可降階的二階微分方程1、y*= f(x)型的微分方程例 3：求方程 y "=1e2xsin x 的通解.分析：y'= f y"dx =1 e2x+cosx+C1 ;241 2xy = y dx e sin x C1x C2. 82、y" = f (x, y)型的微分方程解法：令p = y'，方程化為p'= f (x, p)；(2)解此方程得通解p =5(x,Ci); 再解方程 y'二甲(x,Ci)得原方程的通解y =(x,Ci )dx C2.3、y"= f (y, y)型的微分方程解法：(1)令p = y',并視p為y的函數(shù)，那么y" = dp=dp .dy = pdp, dx dy