基本概念 聲學量 波動方程 速度勢函數(3學時)

1、3.1 3.1 基本聲學量和理想流體中的基本方程基本聲學量和理想流體中的基本方程主要內容主要內容3.1.1 3.1.1 基本聲學量基本聲學量3.1.2 3.1.2 理想流體中三個基本方程理想流體中三個基本方程聲音的產生聲音的產生聲音的產生聲音的產生蘇東坡在赤壁賦中說蘇東坡在赤壁賦中說: : “耳得之而為聲耳得之而為聲” 什么是聲音？什么是聲音？ 聲音的產生聲音的產生 聲音是由聲音是由聲源聲源的機械振動產生的，聲源的振的機械振動產生的，聲源的振動狀態(tài)，通過周圍動狀態(tài)，通過周圍介質介質向四周傳播形成向四周傳播形成聲波聲波。 從物理學來說，聲波就是介質中的機械波從物理學來說，聲波就是介質中的機械波。

2、聲音的產生聲音的產生聲波（聲波（sound wave sound wave ）是一種）是一種機械波機械波；產生聲波的產生聲波的兩個必要條件兩個必要條件： 聲源聲源（ sound sourcesound source）機械振動的物體）機械振動的物體介質介質（medium medium ）機械振動賴以傳播的介質）機械振動賴以傳播的介質聲音的產生聲音的產生聲音的產生聲音的產生 聲波傳播時，介質質點只在平衡位置附近聲波傳播時，介質質點只在平衡位置附近振動，并沒有隨聲波傳播。振動，并沒有隨聲波傳播。聲音的產生聲音的產生聲音可以在一切彈性介質中傳播。聲音可以在一切彈性介質中傳播?？v波縱波：聲波的傳播方向與

3、質點振動方向：聲波的傳播方向與質點振動方向一致一致。橫波橫波：聲波的傳播方向與質點振動方向：聲波的傳播方向與質點振動方向垂直垂直。聲音的產生聲音的產生 縱波傳播過程縱波傳播過程聲音的產生聲音的產生 縱波傳播過程縱波傳播過程聲音的產生聲音的產生 橫波傳播過程橫波傳播過程聲音的產生聲音的產生 空氣中和水中的聲波的傳播方向與質點振空氣中和水中的聲波的傳播方向與質點振動方向是一致的，屬于縱波。動方向是一致的，屬于縱波。 固體中由于有切應力，除有縱波外，還同固體中由于有切應力，除有縱波外，還同時存在橫波。時存在橫波。 僅討論聲波的宏觀性質，不涉及介質的微觀特性僅討論聲波的宏觀性質，不涉及介質的微觀特性聲

4、音的產生聲音的產生聲音的產生聲音的產生 聲波在介質中傳播的速度，稱為聲波的聲波在介質中傳播的速度，稱為聲波的傳播速度傳播速度。聲音的產生聲音的產生重點總結！重點總結！1 1、聲音的實質聲音是介質中的機械波、聲音的實質聲音是介質中的機械波2 2、聲波產生的兩個基本條件、聲波產生的兩個基本條件 （1 1）聲源）聲源 （2 2）傳聲介質）傳聲介質3.1.1 3.1.1 基本聲學量基本聲學量主要內容主要內容v1 1、聲壓壓強的變化量、聲壓壓強的變化量v2 2、質點振速介質運動速度的變化量、質點振速介質運動速度的變化量v3 3、壓縮量介質密度相對變化量、壓縮量介質密度相對變化量 連續(xù)介質中，任意一點附近

5、的運動狀態(tài)可用連續(xù)介質中，任意一點附近的運動狀態(tài)可用壓強、密度和介質的運動速度表示。壓強、密度和介質的運動速度表示。v壓強：壓強：v介質運動速度介質運動速度v密度密度tzyxP,tzyx,tzyxU,1 1、聲壓的基本概念、聲壓的基本概念 聲波作用引起各點介質壓縮和伸張，各點的聲波作用引起各點介質壓縮和伸張，各點的壓強比靜壓可大可小，聲壓有正有負。壓強比靜壓可大可小，聲壓有正有負。1 1、聲壓的基本概念、聲壓的基本概念聲學中，也可用聲壓級（聲學中，也可用聲壓級（SPLSPL）表示聲壓的大小。）表示聲壓的大小。SPL=20log10SPL=20log10（p/prefp/pref）（）（dB）

6、（分貝）（分貝） 在聲波的作用下，介質質點圍繞其平衡位置作往復在聲波的作用下，介質質點圍繞其平衡位置作往復運動，其瞬時位置及振動位移和瞬時速度隨時間變運動，其瞬時位置及振動位移和瞬時速度隨時間變化，可用化，可用質點位移質點位移或或速度速度描述聲場。描述聲場。2 2、質點振速的基本概念、質點振速的基本概念tzyxU,0tzyxU,tzyxUtzyxUtzyxu,0設沒有聲波擾動時，介質的靜態(tài)流速為設沒有聲波擾動時，介質的靜態(tài)流速為在聲波的作用下流速變?yōu)樵诼暡ǖ淖饔孟铝魉僮優(yōu)榱魉俚母淖兞苛魉俚母淖兞?即為介質質點的即為介質質點的振動速度振動速度振動速度的單位是振動速度的單位是在空氣中，在空氣中，1

7、 1帕的聲壓對應的振速約為帕的聲壓對應的振速約為相應于頻率相應于頻率1000Hz1000Hz聲音的質點位移約為聲音的質點位移約為聲場中介質質點位移振幅是很小的聲場中介質質點位移振幅是很小的水中水中1 1帕的聲音，相應的振速約為帕的聲音，相應的振速約為 相應于相應于1000Hz1000Hz聲音的位移僅為聲音的位移僅為 米米水中質點位移比空氣中質點位移更小水中質點位移比空氣中質點位移更小秒米秒米3103 . 27103.7秒米710710102 2、質點振速的基本概念、質點振速的基本概念米米設沒有擾動時，介質的靜態(tài)密度為設沒有擾動時，介質的靜態(tài)密度為在聲波的作用下變?yōu)樵诼暡ǖ淖饔孟伦優(yōu)閦yxtzy

8、xtzyxl,0zyx,03 3、密度逾量、密度逾量tzyx,為介質中聲場的為介質中聲場的密度逾量。密度逾量。MKSMKS制中，基本單位：制中，基本單位：kg/mkg/m3 3為為介質壓縮量介質壓縮量, ,也稱介質密度的相對變化量也稱介質密度的相對變化量s s（無量綱）（無量綱）zyxzyxtzyxtzyxs,00定義：定義：定義：定義：注意：注意： 聲場中的聲場中的質點振速質點振速和和聲波的傳播速度聲波的傳播速度 是兩個概念。是兩個概念。重點總結！重點總結！v1、聲壓壓強的變化量、聲壓壓強的變化量v2、質點振速介質流速的變化量、質點振速介質流速的變化量v3、密度逾量介質密度的變化量、密度逾量

9、介質密度的變化量聲學量聲學量描述聲波作用的量。描述聲波作用的量。波動方程的推導波動方程的推導聲波的波動方程：聲波的波動方程：描述聲場空間、時間變化描述聲場空間、時間變化規(guī)律和相互聯系的方程。規(guī)律和相互聯系的方程?；舅悸坊舅悸凡▌臃匠滩▌臃匠踢B續(xù)性方程連續(xù)性方程狀態(tài)方程狀態(tài)方程 運動方程運動方程質量守恒定律質量守恒定律熱力學關系熱力學關系（能量守恒定律）（能量守恒定律）牛頓第二定律牛頓第二定律（動量守恒定律（動量守恒定律)三個基本方程三個基本方程三個基本物理定律三個基本物理定律（1 1）理想，介質中機械運動無機械能損耗）理想，介質中機械運動無機械能損耗; ;（2 2）流體，介質中任一面元受力

10、方向總是）流體，介質中任一面元受力方向總是 垂直于面元；垂直于面元；（3 3）連續(xù)性，介質中質團連續(xù)分布無間隙；）連續(xù)性，介質中質團連續(xù)分布無間隙；（4 4）介質質團同時具有質量和彈性性質。）介質質團同時具有質量和彈性性質。 正是因為介質質團同時具有彈性和質量，正是因為介質質團同時具有彈性和質量， 才能形成波才能形成波-振動的傳播。振動的傳播。 理想流體介質理想流體介質假設條件假設條件 聲波為小振幅聲波線性波動方程聲波為小振幅聲波線性波動方程v1 1、連續(xù)性方程、連續(xù)性方程v2 2、狀態(tài)方程、狀態(tài)方程v3 3、運動方程、運動方程3.2.1 理想流體中三個基本方程理想流體中三個基本方程主要內容主

11、要內容 1、連續(xù)性方程、連續(xù)性方程理想流體中三個基本方程理想流體中三個基本方程依據質量守恒，建立依據質量守恒，建立 關系。關系。ul質量守恒定律質量守恒定律，在連續(xù)介質中，如果流進，在連續(xù)介質中，如果流進與流出某一空間體積的流體質量不等，則與流出某一空間體積的流體質量不等，則必將引起該體積中介質密度的變化。必將引起該體積中介質密度的變化。1、連續(xù)性方程、連續(xù)性方程理想流體中三個基本方程理想流體中三個基本方程tzyx,M點的密度為：點的密度為：ktzyxUjtzyxUitzyxUtzyxUzyx,kUjUiUUzyx設某一瞬時設某一瞬時t t，介質質點流過，介質質點流過M點的速度向量點的速度向量

12、單位時間內通過單位時間內通過M點單位面積的介質質量為點單位面積的介質質量為1、連續(xù)性方程、連續(xù)性方程理想流體中三個基本方程理想流體中三個基本方程dtdydzdxxUUxx2dtdydzdxxUUxx2（1 1）在）在dtdt時間段，介質質點時間段，介質質點X X方向流速引起的在方向流速引起的在dxdydzdxdydz 框中介質質量的變化：框中介質質量的變化：dtdt時間段從時間段從ABCDABCD面流入面流入dxdydzdxdydz框中的質量：框中的質量：dtdt時間段從時間段從EFGHEFGH面流入面流入dxdydzdxdydz框中的質量：框中的質量： 所以，在所以，在dtdt時間段，介質質

13、點沿時間段，介質質點沿OX方向流速引起的在方向流速引起的在dxdydzdxdydz框中介質質量增加為框中介質質量增加為： dtdxdydzxUx)( 同理同理, , 時間內沿時間內沿 方向流量方向流量在在 中的凈余量分別為中的凈余量分別為ozoy,dxdydz理想流體中三個基本方程理想流體中三個基本方程dtdxdydzUyydtdxdydzUzzdt（2 2）在）在dtdt時間段，介質質點時間段，介質質點Y Y方向和方向和Z Z方向流速方向流速 引起的在引起的在dxdydzdxdydz框中介質質量的變化：框中介質質量的變化：1、連續(xù)性方程、連續(xù)性方程理想流體中三個基本方程理想流體中三個基本方程

14、dtdxdydzUzUyUxmzyx所以，在所以，在dtdt時間段，介質質點流速時間段，介質質點流速 引起的在引起的在dxdydzdxdydz框中介質質量的增加為：框中介質質量的增加為：),(tzyxU1、連續(xù)性方程、連續(xù)性方程1、連續(xù)性方程、連續(xù)性方程理想流體中三個基本方程理想流體中三個基本方程（3 3）推導連續(xù)性方程）推導連續(xù)性方程因為，因為，dxdydzdxdydz框沒有變，所以質量的變化改變了框沒有變，所以質量的變化改變了dxdydzdxdydz框內介質的密度：框內介質的密度： dxdydztzyxdttzyxm),()( ,(流體的流動使得元體積內的質量增加流體的流動使得元體積內的質

15、量增加密度變化使得元體積內質量的增加密度變化使得元體積內質量的增加等于等于1、連續(xù)性方程、連續(xù)性方程依據質量守恒定律：依據質量守恒定律：dxdydzdtzUyUxUdxdydztzyxdttzyxzyx)()()(),()( ,(理想流體中三個基本方程理想流體中三個基本方程得：得：)()()(),(),(zUyUxUdttzyxdttzyxzyx)()()(),(zUyUxUttzyxzyx- -連續(xù)性方程連續(xù)性方程所以：所以：1、連續(xù)性方程、連續(xù)性方程理想流體中三個基本方程理想流體中三個基本方程哈密頓算符哈密頓算符：梯度梯度：標量函數：標量函數 的梯度的梯度散度散度：矢量場：矢量場 的散度的

16、散度zkyjxizAyAxAAAzyxdiv理想流體中三個基本方程理想流體中三個基本方程數學知識數學知識zyxAkAjAiApzpkypjxpippgrad 連續(xù)性方程表示為連續(xù)性方程表示為 稱為流通密度稱為流通密度: :單位時間內流過與速單位時間內流過與速度方向垂直的單位面積的質量。度方向垂直的單位面積的質量。 UtU1、連續(xù)性方程、連續(xù)性方程理想流體中三個基本方程理想流體中三個基本方程連續(xù)性方程：連續(xù)性方程：表示流通密度在某一點散度的表示流通密度在某一點散度的負值等于該點介質密度的時間變化率負值等于該點介質密度的時間變化率。（4 4）均勻、靜止理想流體中小振幅波的連續(xù)性方程）均勻、靜止理想

17、流體中小振幅波的連續(xù)性方程 l0uUU0據，聲學量定義，有：據，聲學量定義，有：小振幅波的含義是指：小振幅波的聲學量和聲學量的小振幅波的含義是指：小振幅波的聲學量和聲學量的各階時間或空間導數為一階小量。各階時間或空間導數為一階小量。常數常數0 00 0U U0 0 Ut均勻的含義是指：均勻的含義是指：靜止的含義是指：靜止的含義是指： 由連續(xù)性方程：由連續(xù)性方程：得：得：1、連續(xù)性方程、連續(xù)性方程理想流體中三個基本方程理想流體中三個基本方程常數常數0 00 0U U0 0略去二階小量：略去二階小量：utl0uuuuuuuUtlllll000000)()(uuutlll0理想流體中三個基本方程理想

18、流體中三個基本方程1、連續(xù)性方程、連續(xù)性方程00utl1、連續(xù)性方程、連續(xù)性方程連續(xù)性方程連續(xù)性方程理想流體中三個基本方程理想流體中三個基本方程！得到的均勻、靜止理想流體中小振幅波的連續(xù)性得到的均勻、靜止理想流體中小振幅波的連續(xù)性方程為：方程為：記?。∮涀。?聲波作用下介質產生壓縮伸張變化，介質的密聲波作用下介質產生壓縮伸張變化，介質的密度和壓強都發(fā)生變化。度和壓強都發(fā)生變化。 假設聲波作用的熱力學過程是等熵絕熱過程，假設聲波作用的熱力學過程是等熵絕熱過程，意味著聲波能量在質團形變過程中沒有損失。意味著聲波能量在質團形變過程中沒有損失。2、狀態(tài)方程、狀態(tài)方程理想流體中三個基本方程理想流體中三個

19、基本方程依據熱力學定律，建立依據熱力學定律，建立 關系。關系。 lp據熱力學定律，質量一定的理想流體中，獨立的熱據熱力學定律，質量一定的理想流體中，獨立的熱力學參數只有三個。力學參數只有三個。例如，取熱力學參數：壓強例如，取熱力學參數：壓強 、密度、密度 及熵值及熵值 ，則有關系：則有關系：),(),(sfsPP如果，在聲波作用下，如果，在聲波作用下， 經經“等熵過程等熵過程”，從，從則在則在 點作點作 冪級數展開，有：冪級數展開，有：),(00s),(),(0000sPsP),(0sP2、狀態(tài)方程、狀態(tài)方程理想流體中三個基本方程理想流體中三個基本方程PsP.|!1.|),(.|!1.|),(

20、),(.)(|!1.)(|),(),(000000000000,)()(,)()(,0000,)()(0,000nlsnnlsnlsnnlsnsnnsfnfspfnfsPsPfnfsPsP如果是小振幅波，則聲學量和聲學量的各階時間或空如果是小振幅波，則聲學量和聲學量的各階時間或空間導數為一階小量。間導數為一階小量。略去高階小量，有：略去高階小量，有：lsfp00)(2、狀態(tài)方程、狀態(tài)方程理想流體中三個基本方程理想流體中三個基本方程定義定義, , 為介質的等熵波速。為介質的等熵波速。 它是介質的固有性質。它是介質的固有性質。（后續(xù)課可知它與介質中波傳播的速度有關）后續(xù)課可知它與介質中波傳播的速度

21、有關）00,0)(spc)0)(00,sf是速度量綱是速度量綱; M.K.S; M.K.S制中制中, ,單位單位: m/s (: m/s (米米/ /秒秒) )！得到的均勻、靜止理想流體中小振幅波的狀態(tài)方程為：得到的均勻、靜止理想流體中小振幅波的狀態(tài)方程為：lcp20狀態(tài)方程狀態(tài)方程2、狀態(tài)方程、狀態(tài)方程記?。∮涀。±硐肓黧w中三個基本方程理想流體中三個基本方程 理想流體中三個基本方程理想流體中三個基本方程3、運動方程、運動方程依據牛頓第二定律依據牛頓第二定律, , 建立建立 關系。關系。介 質 中 取 質 量 微 團介 質 中 取 質 量 微 團ABCDEFGHABCDEFGH六面體六面體,

22、,邊長邊長分別為：分別為：分析其受力：分析其受力：dxdx，dydy，dzdz周圍流體對該六面體的壓力：周圍流體對該六面體的壓力： 首先分析首先分析x x方向受力方向受力：up（1 1）運動方程推導）運動方程推導 作用在作用在ABCDABCD面上和面上和EFGHEFGH面上的總壓力分別為面上的總壓力分別為dydzdxxPdydzPdydzPzyxxxx2,2dydzdxxPdydzPdydzPzyxxxx2,2理想流體中三個基本方程理想流體中三個基本方程3、運動方程、運動方程oxdxdydzxPdydzPPFzyxxxxxx,22沿沿 方向的合力為方向的合力為 同理得同理得 方向的合力為方向的

23、合力為ozoy,dxdydzyPFzyxy,dxdydzzPFzyxz,理想流體中三個基本方程理想流體中三個基本方程3、運動方程、運動方程dxdydztzyxPF),(利用哈密頓算子，利用哈密頓算子， 表示質量表示質量微團受到的合力：微團受到的合力： )(zkyjxi根據牛頓定律，得運動方程根據牛頓定律，得運動方程dxdydzPdtUddxdydz靜壓強靜壓強 常數常數0PpP理想流體中三個基本方程理想流體中三個基本方程3、運動方程、運動方程所以：所以：pdtud（2 2）均勻、靜止理想流體小振幅波的運動方程）均勻、靜止理想流體小振幅波的運動方程 PdtUd常數常數U U 0靜態(tài)流速dtudd

24、tUd 是質點是質點 的加速度。的加速度。uutudtuddtudzyxM,3、運動方程、運動方程理想流體中三個基本方程理想流體中三個基本方程tudtud如果為小振幅波，則聲學量和聲學量的各階時間或如果為小振幅波，則聲學量和聲學量的各階時間或空間導數為一階小量?？臻g導數為一階小量。忽略高階小量忽略高階小量根據，多元函數微分公式，有：根據，多元函數微分公式，有：ptu0運動方程運動方程3、運動方程、運動方程理想流體中三個基本方程理想流體中三個基本方程記?。∮涀?！ptul)(0tul又稱又稱尤拉方程：尤拉方程：表示介質中質點的加速度與密度的表示介質中質點的加速度與密度的乘積等于沿加速度方向的壓力梯

25、度的負值。乘積等于沿加速度方向的壓力梯度的負值。！得到均勻、靜止理想流體中小振幅波的運動方程為：得到均勻、靜止理想流體中小振幅波的運動方程為：忽略高階小量：忽略高階小量：整理課件553.2 3.2 理想流體中小振幅波波動方程理想流體中小振幅波波動方程 和速度勢函數和速度勢函數3.2.1 3.2.1 流體中小振幅波波動方程流體中小振幅波波動方程3.2.2 3.2.2 速度勢函數速度勢函數ptu03.2.1 3.2.1 流體中小振幅波波動方程流體中小振幅波波動方程運動方程運動方程lcp20 00utl狀態(tài)方程狀態(tài)方程連續(xù)性方程連續(xù)性方程lup,（1）（2）（3）均勻、靜止理想流體中均勻、靜止理想流

26、體中, ,小振幅波基本聲學量的方程：小振幅波基本聲學量的方程：聲學量聲學量 之間的三個關系式之間的三個關系式對上三式消元，可以得到一個基本聲學量的方程。對上三式消元，可以得到一個基本聲學量的方程。t ) 1 (0022uttl22)2(t 222022tctpl)3( 對于物理可實現函數，有：對于物理可實現函數，有： 則：則：utut(4)(4)代入代入(5)(5), , 得得: :0102220uttpcppput20)()(4)(4)(5)(5)(6)(6)(7)(7)3.2.1 3.2.1 流體中小振幅波波動方程流體中小振幅波波動方程小振幅聲波的波動方程小振幅聲波的波動方程0122220ptpc理想、均勻、靜止流體中的小振幅波的理想、均勻、靜止流體中的小振幅波的聲壓聲壓波動方程。波動方程。小振幅聲波的波動方程小振幅聲波的波動方程直角坐標系中：直角坐標系中：2222222zyx拉普拉斯算子拉普拉斯算子，對不同坐標系具有不同形式。，對不同坐標系具有不同形式。23.2.1 3.2.1 流體中小振幅波波動方程流體中小振幅波波動方程定義：速度勢函數，如果運動是無旋的，則質點振速定義：速度勢函數，