最小二乘多項式的數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象

1、實驗目的：觀察最小二乘多項式的數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象實驗內(nèi)容：在_1,1區(qū)間取n =20個等距節(jié)點，計算出以相應節(jié)點上 ex的值作為數(shù)據(jù)樣本，以1, x1為基函數(shù)，作出| =3,5, 7, 9,1 1 ,次的最小二乘多項式，畫出1n(Cond (A)2)l之間的曲線。其中， A是確定最小二乘多項式系數(shù)的矩陣。計算出不同n多項式的最小偏差、:(l) -7 (y(Xi)_yi)2i 土實驗結果：設擬合多項式為 Sl (x) = a0亠a/亠a2x2亠、alxl對于不同的I值，求得對應的多項式系數(shù)aoa,，,aj及偏差j.(l)列入表中表1 l次最小二乘多項式系數(shù)及偏差la°,a1,aj6(l)3

2、0.995549 0.997579 0.540351 0.1769993.1369e-0451.00004 1.00002 0.499247 0.166497 0.0437538 0.008681892.2457e-0871 1 0.500006 0.166668 0.0416364 0.00832885 0.00143851 0.0002045694.0116e-1391 1 0.5 0.166667 0.0416669 0.00833336 0.00138832 0.0001983492.54781e-005 2.82241e-0062.2582e-18111 1 0.5 0.166667

3、 0.0416667 0.00833333 0.00138889 0.0001984152.47955e-005 2.75328e-006 2.81444e-007 2.62514e-0087.5119e-24131 1 0.5 0.166667 0.0416667 0.00833332 0.00138889 0.0001984572.4809e-005 2.67551e-006 2.68608e-007 9.43772e-008 4.54045e-009-2.26726e-0089.0515e-23151 1 0.5 0.166667 0.0416667 0.00833314 0.00138

4、883 0.000199522.49759e-005 -4.03381e-007 -9.85804e-009 4.79823e-006 2.31787e-007-3.62885e-006 -7.18691e-008 1.08975e-0063.4205e-210 I111111246810121416l圖1 ln( Cond (A)2) l關系曲線從圖中可以看出，隨著擬合多項式的次數(shù)增大， A的條件數(shù)迅速增大， 確定最小二乘多 項式系數(shù)的方程組的病態(tài)程度也隨之增加。這也在偏差中反映出來，剛開始時次數(shù)增大使得偏差減小，而當次數(shù)達到 13及以上時，偏差反而增大。Matlab 程序x=- 1:2/1

5、9: 1 ;| y=exp (x);acond =zeros (1 , 7);delta =zeros (1 , 7);fp =fopen ('c.txt' , 'w'); for l =3: 2: 15A =zeros ( l +1);B =zeros ( l +1 , 1);for i = 1: l +1for j =:l +1A(i,j )= x.A( i - 1 )*(x.A( j - 1)'A(j,i )= A(i ,j);endB(i , 1)=x.A(i - 1)* y'endc =( A B)'yf =0;fori =1:1+1yf=yf + c (i )* x.人(i-1);enddelta(l - 1)/ 2)= sum(yf -y).A 2);fprintf(fp , '%d:n', l);Jfprintf(fp,'%g ', c);fprintf(fp , 'n');acond(l - 1)/ 2)= cond (A);end