單自由度系統(tǒng)振動(dòng)()

1、第一章單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)教學(xué)內(nèi)容無(wú)阻尼自由振動(dòng)能量法瑞利法等效質(zhì)量和等效剛度阻尼自由振動(dòng)等效粘性阻尼第一章 無(wú)阻尼自由振動(dòng)令x 為位移，以質(zhì)量塊的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，為靜變形。當(dāng)系統(tǒng)受到初始擾動(dòng)時(shí)，由牛頓第二定律，得：在靜平衡位置固有振動(dòng)或自由振動(dòng)微分方程：令： ，稱為固有頻率，單位為rad/s則有：其通解為：為常數(shù)，由系統(tǒng)的初始條件決定稱為振幅為初相位0 ：系統(tǒng)固有的數(shù)值特征，與系統(tǒng)是否正在振動(dòng)著以及如何進(jìn)行振動(dòng)的方式都毫無(wú)關(guān)系A(chǔ)，? ：不是系統(tǒng)的固有屬性的數(shù)字特征，與系統(tǒng)過(guò)去所受到過(guò)的激勵(lì)和考察開始時(shí)刻系統(tǒng)所處的狀態(tài)有關(guān)考慮系統(tǒng)在初始擾動(dòng)下的自由振動(dòng)設(shè)t=時(shí)的初始位移和初始速度為：令

2、：有：時(shí)刻以后自由振動(dòng)的解為：零初始條件下的自由振動(dòng)為：零時(shí)刻的初始條件為：無(wú)阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動(dòng)后，其自由振動(dòng)是以 為振動(dòng)頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并且永無(wú)休止初始條件的說(shuō)明：初始條件是外界能量轉(zhuǎn)入的一種方式，有初始位移即轉(zhuǎn)入了彈性勢(shì)能，有初始速度即轉(zhuǎn)入了動(dòng)能固有頻率計(jì)算的另一種方式(靜變形法)：在靜平衡位置：對(duì)于不易得到m 和k的系統(tǒng)，若能測(cè)出靜變形，則用該式計(jì)算是較為方便的。靜變形法則有：例：設(shè)一懸臂梁如圖所示。長(zhǎng)度為l，抗彎剛度為EI，自由端有一集中質(zhì)量m，梁自重忽略不計(jì)。求系統(tǒng)固有頻率。解：由材料力學(xué)可知?jiǎng)t有：33mlEIEImgls33靜變形為 如果上述梁為變截面梁，在不易用計(jì)算方

3、法得到靜撓度時(shí)可用實(shí)測(cè)該梁在重力作用下的靜撓度，得到系統(tǒng)固有頻率。例：提升機(jī)系統(tǒng)重物重量圖示位置時(shí)，鋼絲繩的彈簧剛度重物以 的速度均勻下降求：繩的上端突然被卡住時(shí)，（1）重物的振動(dòng)頻率，（2）鋼絲繩中的最大張力。解：振動(dòng)頻率為：重物勻速下降時(shí)處于靜平衡位置，若將坐標(biāo)原點(diǎn)取在繩被卡住瞬時(shí)重物所在位置，初始條件為：t = 0 時(shí)由振動(dòng)解為W繩中的最大張力等于靜張力與因振動(dòng)引起的動(dòng)張力之和：由于為了減少振動(dòng)引起的動(dòng)張力，應(yīng)當(dāng)降低升降系統(tǒng)的剛度。例：重物落下，與簡(jiǎn)支梁做完全非彈性碰撞。梁長(zhǎng)L，抗彎剛度EJ求：梁的自由振動(dòng)頻率和最大撓度解：取平衡位置，以梁承受重物時(shí)的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系Ox靜

4、變形為：由材料力學(xué)：自由振動(dòng)頻率為：撞擊時(shí)刻為零時(shí)刻，則t=0時(shí)，有：則自由振動(dòng)振幅為：梁的最大擾度：例：已知扭轉(zhuǎn)剛度 ，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ik解：在圓盤的靜平衡位置上任意選一根半徑作為角位移的起點(diǎn)位置求固有頻率？由牛頓第二定律：扭轉(zhuǎn)固有頻率為為軸的扭轉(zhuǎn)剛度，定義為使得圓盤產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角所需的力矩k由上例可看出，除了選擇了坐標(biāo)不同之外，角振動(dòng)與直線振動(dòng)的數(shù)學(xué)描述是完全相同的。如果在彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中將m、k 稱為廣義質(zhì)量及廣義剛度，則彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的有關(guān)結(jié)論完全適用于角振動(dòng)。以后不加特別聲明時(shí)，彈簧質(zhì)量系統(tǒng)是廣義的從前面兩種形式的振動(dòng)看到，單自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)總包含著慣性元件和彈性元件兩種基本元件，慣性元件是感受

5、加速度的元件，它表現(xiàn)為系統(tǒng)的質(zhì)量或轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，而彈性元件是產(chǎn)生使系統(tǒng)恢復(fù)原來(lái)狀態(tài)的恢復(fù)力的元件，它表現(xiàn)為具有剛度或扭轉(zhuǎn)剛度度的彈性體。同一個(gè)系統(tǒng)中，若慣性增加，則使固有頻率降低，而若剛度增加，則固有頻率增大。例：復(fù)擺，剛體質(zhì)量m，重心C。對(duì)懸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I0求：復(fù)擺在平衡位置附近作微振動(dòng)時(shí)的微分方程和固有頻率解：由牛頓定律：因?yàn)槲⒄駝?dòng)：則有：固有頻率：若已測(cè)出物體的固有頻率 ，則可求出IO，再由移軸定理，可得物質(zhì)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：0實(shí)驗(yàn)測(cè)定繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法之一。例：彈簧質(zhì)量系統(tǒng)沿光滑斜面做自由振動(dòng)斜面傾角 ，質(zhì)量m=1kg，彈簧剛度k=49N/cm；重力加速度取9.8，開始時(shí)彈簧無(wú)伸長(zhǎng)，且速

6、度為零求：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程30解：以靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，振動(dòng)固有頻率：振動(dòng)初始條件：運(yùn)動(dòng)方程：根據(jù)：第二節(jié) 能量法 對(duì)于不計(jì)阻尼即認(rèn)為沒(méi)有能量損失的單自由度系統(tǒng)，也可以利用能量守恒原理建立自由振動(dòng)的微分方程，或直接求出系統(tǒng)的固有頻率。無(wú)阻尼系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，其機(jī)械能守恒，即動(dòng)能T和勢(shì)能V之和保持不變，即：或彈簧質(zhì)量系統(tǒng)勢(shì)能動(dòng)能重力勢(shì)能彈性勢(shì)能不可能恒為零如果將坐標(biāo)原點(diǎn)不是取在系統(tǒng)的靜平衡位置，而是取在彈簧為自由長(zhǎng)時(shí)的位置動(dòng)能勢(shì)能設(shè)新坐標(biāo)如果重力的影響僅是改變了慣性元件的靜平衡位 置，那么將坐標(biāo)原點(diǎn)取在靜平衡位置上，方程中 就不會(huì)出現(xiàn)重力項(xiàng) 考慮兩個(gè)特殊位置上系統(tǒng)的能量靜平衡位置上，系統(tǒng)

7、勢(shì)能為零，動(dòng)能達(dá)到最大x是廣義的對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)：例：如圖所示是一個(gè)倒置的擺。擺球質(zhì)量m，剛桿質(zhì)量忽略，每個(gè)彈簧的剛度2k求：倒擺作微幅振動(dòng)時(shí)的固有頻率。解法1廣義坐標(biāo) ，平衡位置1動(dòng)能勢(shì)能解法2平衡位置2動(dòng)能勢(shì)能第三節(jié) Reilly法 利用能量法求解固有頻率時(shí)，對(duì)于系統(tǒng)的動(dòng)能的計(jì)算只考慮了慣性元件的動(dòng)能，而忽略不計(jì)彈性元件的質(zhì)量所具有的動(dòng)能，因此算出的固有頻率是實(shí)際值的上限。這種簡(jiǎn)化方法在許多場(chǎng)合中都能滿足要求，但有些工程問(wèn)題中，彈性元件本身的質(zhì)量因占系統(tǒng)總質(zhì)量相當(dāng)大的比例而不能忽略，否則算出的固有頻率明顯偏高。例如：彈簧質(zhì)量系統(tǒng)若忽略mt，則 增大0設(shè)彈簧的動(dòng)能:系統(tǒng)最大動(dòng)能：系統(tǒng)最大勢(shì)能：如何計(jì)

8、入彈簧的質(zhì)量？假定一個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)形式：假定彈簧各截面在振動(dòng)過(guò)程任一瞬時(shí)和一根等直桿在一端固定，另一端受軸向載荷作用下各截面的位移一樣。距固定端 處的位移為：lx 處相應(yīng)微段 的相應(yīng)速度為dlx 微段 的動(dòng)能為dd212lx 2202321321d21xmxllxTl整個(gè)彈簧的動(dòng)能為：lm為整個(gè)彈簧的質(zhì)量。整個(gè)系統(tǒng)的最大動(dòng)能為：2max321xmmT系統(tǒng)最大彈性勢(shì)能不變由：maxmaxVT系統(tǒng)固有頻率為：30mmk%32%75. 0%5 . 021mmmmmm誤差分析稱為彈簧的等效質(zhì)量。3m用Reilly法求解系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，所假定的振動(dòng)形式越接近實(shí)際的振動(dòng)形式，所得到的近似值就越接近精確解，

9、實(shí)踐證明，以靜變形作為假定的振動(dòng)形式，所得到的近似解與精確解比較，一般來(lái)說(shuō)誤差是很小的。m同樣可以計(jì)算，一等截面均質(zhì)簡(jiǎn)支梁質(zhì)量為 ，中間有一集中質(zhì)量m，考慮到梁的質(zhì)量系統(tǒng)的固有頻率為：mmk35170348lEIk 等截面懸臂梁的固有頻率為 ：mmk140330第四節(jié) 等效質(zhì)量和等效剛度方法1 選定廣義位移坐標(biāo)后，將系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能寫成如下形式：Me：簡(jiǎn)化系統(tǒng)的等效質(zhì)量Ke：簡(jiǎn)化系統(tǒng)的等效剛度這里等效的含義是指簡(jiǎn)化前后的系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能分別相等當(dāng) 、x分別取最大值時(shí)：x 則可得出：動(dòng)能勢(shì)能例：倒置擺選定為廣義坐標(biāo)。方法2：定義法等效剛度：使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)方向上施加

10、的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上的等效剛度等效質(zhì)量：使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而需要在此坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上的等效質(zhì)量例：串聯(lián)系統(tǒng)在質(zhì)量塊上施加力P使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上的等效剛度。彈簧1變形：彈簧2變形：總變形：根據(jù)定義：例：并聯(lián)系統(tǒng)在質(zhì)量塊上施加力P兩彈簧變形量相等：并聯(lián)彈簧的剛度是原來(lái)各個(gè)彈簧剛度的總和使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上的等效剛度受力不等：由力平衡：根據(jù)定義：例：杠桿系統(tǒng)杠桿是不計(jì)質(zhì)量的剛體求：系統(tǒng)對(duì)于坐標(biāo)x的等效質(zhì)量、等效剛度、固有頻率解法1

11、：能量法動(dòng)能：等效質(zhì)量：勢(shì)能：等效剛度：固有頻率可否選擇其他坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)解法2：定義法設(shè)使系統(tǒng)在x方向產(chǎn)生單位加速度需要施加力P，則在m1、m2上產(chǎn)生慣性力，對(duì)支座取矩：則在m1、m2上產(chǎn)生單位位移需加P，對(duì)支座取矩：則在k1、k2處將產(chǎn)生彈性恢復(fù)力，對(duì)支點(diǎn)取矩：第五節(jié) 有阻尼自由振動(dòng)前面的自由振動(dòng)都沒(méi)有考慮運(yùn)動(dòng)中阻力的影響，實(shí)際系統(tǒng)的機(jī)械能不可能守恒，因?yàn)榭偞嬖谥鞣N各樣的阻力。振動(dòng)力學(xué)中將這種阻力稱為阻尼，例如摩擦阻尼，電磁阻尼，介質(zhì)阻尼和結(jié)構(gòu)阻尼。盡管已經(jīng)提出了許多數(shù)學(xué)上描述阻尼的方法，但是實(shí)際系統(tǒng)中阻尼的物理本質(zhì)仍然極難確定。最常用的一種阻尼力學(xué)模型是粘性阻尼。在流體中低速運(yùn)動(dòng)或沿潤(rùn)

12、滑表面滑動(dòng)的物體，通常就認(rèn)為受到粘性阻尼。c：為粘性阻尼系數(shù)，或阻尼系數(shù)單位：Ns/m建立平衡位置，并受力分析粘性阻尼力與相對(duì)速度稱正比，即：動(dòng)力學(xué)方程：或?qū)憺椋汗逃蓄l率相對(duì)阻尼系數(shù)粘性阻尼又稱為線性阻尼三種情況：動(dòng)力學(xué)方程：令：特征方程：特征根第一種情況： 欠阻尼1為兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)根c1、c2：初始條件決定特征根：振動(dòng)解：阻尼固有頻率：有阻尼自由振動(dòng)頻率設(shè)初始條件：則：或：其中：T0：無(wú)阻尼自由振動(dòng)的周期阻尼自由振動(dòng)的周期大于無(wú)阻尼自由振動(dòng)的周期振動(dòng)解為阻尼固有頻率阻尼自由振動(dòng)周期振動(dòng)解：欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動(dòng)不同阻尼，振動(dòng)衰減的快慢不同：阻尼大，則振動(dòng)衰減快阻尼小，則衰減慢減幅系數(shù)

13、：評(píng)價(jià)阻尼對(duì)振幅衰減快慢的影響，定義為相鄰兩個(gè)振幅的比值：與t無(wú)關(guān)，任意兩個(gè)相鄰振幅之比均為衰減振動(dòng)的頻率為 ，振幅衰減的快慢取決于 ，這兩個(gè)重要的特征反映在特征方程的特征根的實(shí)部和虛部d0減幅系數(shù)含有指數(shù)項(xiàng)，不便于工程應(yīng)用；實(shí)際中常采用對(duì)數(shù)衰減率：實(shí)驗(yàn)求解利用相隔j個(gè)周期的兩個(gè)峰值進(jìn)行求解可得第二種情況：過(guò)阻尼 1兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根c1、c2：初始條件決定特征根：振動(dòng)解：其中為雙曲正弦雙曲余弦一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動(dòng)，沒(méi)有振動(dòng)發(fā)生設(shè)初始條件為解為響應(yīng)圖形第三種情況，臨界阻尼：1c1、c2：初始條件決定仍然是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動(dòng)，但比過(guò)阻尼衰減快些特征根： 為二重根振動(dòng)解設(shè)初始條件：

14、響應(yīng)圖為則：例：阻尼緩沖器靜載荷P 去除后質(zhì)量塊越過(guò)平衡位置得最大位移為初始位移的10求：緩沖器的相對(duì)阻尼系數(shù)設(shè)在時(shí)刻t1質(zhì)量越過(guò)平衡位置到達(dá)最大位移，這時(shí)速度為0：解：由題知，初始條件為求導(dǎo)解為：由題知解得：即經(jīng)過(guò)半個(gè)周期后出現(xiàn)第一個(gè)振幅x1例：小球質(zhì)量m，剛桿質(zhì)量不計(jì)。幾何尺寸如圖求：（1）寫出運(yùn)動(dòng)微分方程；（2）臨界阻尼系數(shù)，阻尼固有頻率解：取廣義坐標(biāo)，受力分析列出力矩式平衡方程無(wú)阻尼固有頻率為阻尼固有頻率第六節(jié) 等效粘性阻尼阻尼在所有振動(dòng)系統(tǒng)中是客觀存在的；大多數(shù)是非粘性阻尼，其性質(zhì)各不相同；非粘性阻尼的數(shù)學(xué)描述比較復(fù)雜處理方法之一：采用能量方法將非粘性阻尼簡(jiǎn)化為等效粘性阻尼原則：等效

15、粘性阻尼在一個(gè)周期內(nèi)消耗的能量等于要簡(jiǎn)化的非粘性阻尼在同一周期內(nèi)消耗的能量通常假設(shè)在簡(jiǎn)諧激振力作用下非粘性阻尼系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍然為簡(jiǎn)諧振動(dòng)該假設(shè)只有在非粘性阻尼比較小時(shí)才是合理的，粘性阻尼在一個(gè)周期內(nèi)消耗的能量 可近似地利用無(wú)阻尼振動(dòng)規(guī)律計(jì)算出：E目的是為了采用該式計(jì)算等效粘性阻尼系數(shù)討論以下幾種非粘性阻尼情況：干摩擦阻尼；平方阻尼；結(jié)構(gòu)阻尼（1）干摩擦阻尼 庫(kù)倫阻尼庫(kù)倫力摩擦力一個(gè)周期內(nèi)所消耗地能量：等效粘性阻尼系數(shù)（2）平方阻尼工程背景：低粘度流體中以較大速度運(yùn)動(dòng)的物體，阻尼力與相對(duì)速度地平方成正比，方向相反在運(yùn)動(dòng)方向不變的半個(gè)周期內(nèi)計(jì)算耗散能量，再乘2：摩擦力阻力系數(shù)等效粘性阻尼系數(shù)：（3）結(jié)構(gòu)阻尼由于材料為非完全彈性，在變形過(guò)程