（精選）中考專題：代數(shù)綜合問題的解決方法Word版

1、中考專題：代數(shù)綜合問題的思考方法【問題概述】初中代數(shù)綜合題，主要以方程、函數(shù)這兩部分為重點，因此牢固地掌握方程與不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判別式、函數(shù)的解析式的確定及函數(shù)性質(zhì)等重要基礎知識，是解好代數(shù)綜合題的關鍵在許多問題中，代數(shù)和幾何問題交織在一起，就要溝通這些知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，以數(shù)形結合的方法找到解決問題的突破口通過解綜合題有利于透徹和熟練地掌握基礎知識和基本技能，更深刻地領悟數(shù)學思想方法，提高分析問題和解決問題的能力【方法點撥】 (1)對“數(shù)學概念”的深刻理解是解綜合題的基礎；(2)認識綜合題的結構是解綜合題的前提；(3)靈活運用數(shù)學思想方法是解綜合題的關鍵；(4)建立思維

2、程序是解綜合題的核心* 審題(讀題、斷句、找關鍵)；* 先宏觀(題型、知識塊、方法)； 后微觀(具體條件，具體定理、公式)* 由已知，想可知(聯(lián)想知識)； 由未知，想須知(應具備的條件)，注意知識的結合；* 觀察挖掘題目結構特征； 聯(lián)想聯(lián)系相關知識網(wǎng)絡； 突破抓往關鍵實現(xiàn)突破。(5)準確計算，嚴密推理是解綜合題的保證【典型例題】類型一、方程與不等式綜合（方程、不等式思想解決問題）1已知方程組的解滿足 求a的取值范圍【思路點撥】本題考查了含字母系數(shù)的方程解法及利用不等式組求字母的取值范圍問題【答案與解析】解：32得：y13a443得：x18a5由題意令x0，y0得： .【總結升華】在解含字母系數(shù)

3、的方程時要分清未知數(shù)和字母常數(shù)，這樣才能更準確地對方程進行求解【過關測試】線上 同步輔導-不等式與不等式組-B7、B8；海淀一模 22（2）、26（2）2m為何值時，是完全平方式？【思路點撥】本題直觀考查完全平方式的特征，但是因為代數(shù)式的定性衍生出方程，不定性衍生出函數(shù)，所以完全平方式形式在方程和函數(shù)中又被賦予了獨有的含義因此，本題也可以看作是間接考查了對完全平方式不同角度的理解【答案與解析】 解：解法1：待定系數(shù)法 設原式x-(m-2)2x2-2(m-2)x+m2-4m+4 所以m2+2m+lm2-4m+4，； 解法2：配方法（代數(shù)式運算、因式分解） 原式 x-(m-2)2+6m-3，6m-

4、30，； 解法3：判別式法（一元二次方程） 因為是完全平方式，所以方程有兩等根， -2(m-2)24(m2+2m+1)0，；解法4：函數(shù)思想方法因為是完全平方式，所以令，所以拋物線頂點在x軸上，【總結升華】對于代數(shù)式，可以考慮其為特殊值，將其看作方程，從方程的角度解決問題；也可以考慮其值不定，從函數(shù)的角度解決問題解決問題的角度不同，但結果是相同的類型二、方程與函數(shù)綜合3請你根據(jù)下圖中圖象所提供的信息，解答下面問題： (1)分別寫出，中變量y隨x變化而變化的情況；(2)寫出一個二元一次方程組，使它滿足圖象中的條件【思路點撥】本題是一次函數(shù)與二元一次方程組的綜合題本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，兩個一次

5、函數(shù)圖象的交點與方程組的解的關系【答案與解析】 解：(1)的值隨x的增大而增大； 的值隨x的增大而減小(2)設直線，的函數(shù)表達式分別為，由題意得，解得：，直線，的函數(shù)表達式分別為，所求的方程組為 【總結升華】利用函數(shù)及圖象解決方程組的解的問題，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想【過關測試】線上 中考專題-壓軸題專題（03）-代數(shù)綜合題（一）第一題；海淀一模 25（3）舉一反三：【變式】已知：如圖，平行于x軸的直線ya(a0)與函數(shù)yx和函數(shù)的圖象分別交于點A和點B，又有定點P(2，0)(1)若a0，且，求線段AB的長；(2)在過A，B兩點且頂點在直線yx上的拋物線中，已知線段，且在它的對稱軸左邊時，y隨著x

6、的增大而增大，求滿足條件的拋物線的解析式；(3)已知經(jīng)過A，B，P三點的拋物線，平移后能得到的圖象，求點P到直線AB的距離【答案】解：（1）設第一象限內(nèi)的點B（m,n），則，得m=9n，又點B在函數(shù)的圖象上，得，所以m=3（3舍去），點B為，而ABx軸，所以點A ，所以 （2）由條件可知所求拋物線開口向下，設點A（a ,a）， B（），則,所以，解得 . 當a =3時，點A（3，3），B，因為頂點在y = x上，所以頂點為，所以可設二次函數(shù)為，點A代入，解得,所以所求函數(shù)解析式為 .同理，當時，所求函數(shù)解析式為； （3）設A（a , a），B（），由條件可知拋物線的對稱軸為 .設所求二次函數(shù)解

7、析式為： .點A(a,a)代入，解得，所以點P到直線AB的距離為3或 4 已知關于x的方程 .（1）求證: 不論m為任何實數(shù), 此方程總有實數(shù)根；（2）若拋物線與軸交于兩個不同的整數(shù)點，且為正整數(shù)，試確定此拋物線的解析式；（3）若點P與Q在（2）中拋物線上 (點P、Q不重合), 且y1=y2, 求代數(shù)式的值.【思路點撥】（1）分別討論當m=0和m0的兩種情況，分別對一元一次方程和一元二次方程的根進行判斷；（2）令y=0，則mx2+（3m+1）x+3=0，求出兩根，再根據(jù)拋物線y=mx2+（3m+1）x+3與x軸交于兩個不同的整數(shù)點，且m為正整數(shù)，求出m的值；（3）點P（x1，y1）與Q（x1+

8、n，y2）在拋物線上，求出y1和y2，y1和y2相等，求出n（2x1+n+4）=0，然后整體代入求出代數(shù)式的值【答案與解析】解：（1）當m=0時，原方程化為x+3=0，此時方程有實數(shù)根x=-3當m0時，原方程為一元二次方程 =（3m+1）2-12m=9m2-6m+1=（3m-1）20 此時方程有兩個實數(shù)根 綜上，不論m為任何實數(shù)時，方程mx2+（3m+1）x+3=0總有實數(shù)根（2）令y=0，則mx2+（3m+1）x+3=0 解得x1=-3，x2= 拋物線y=mx2+（3m+1）x+3與x軸交于兩個不同的整數(shù)點，且m為正整數(shù)， m=1 拋物線的解析式為y=x2+4x+3（3）點P（x1，y1）與

9、Q（x1+n，y2）在拋物線上， y1=x12+4x1+3，y2=(x1+n)2+4(x1+n)+3 y1=y2， x12+4x1+3=(x1+n)2+4(x1+n)+3 可得2x1n+n2+4n=0 即n（2x1+n+4）=0 點P，Q不重合， n0 2x1=-n-4 4+12x1n+5n2+16n+8=(2x1)2+2x16n+5n2+16n+8=（n+4）2+6n（-n-4）+5n2+16n+8=24【總結升華】本題主要考查二次函數(shù)的綜合題的知識，解答本題的關鍵熟練掌握方程與函數(shù)之間的聯(lián)系，此題難度不大，第三問需要整體代入舉一反三：【變式】已知關于x的一元二次方程x2(m3)xm10(1

10、)求證：無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若x1、x2是原方程的兩根，且|x1x2|2，求m的值和此時方程的兩根【答案】解：（1）證明：由關于x的一元二次方程x2(m3)xm10得=（m+3）24（m+1）=（m+1）2+4，無論m取何值，（m+1）24恒大于0，原方程總有兩個不相等的實數(shù)根.（2）x1，x2是原方程的兩根，x1+x2=（m+3），x1x2=m+1.|x1x2|2， （x1x2）2=8，即（x1x2）24x1x2=8.（m+3）24（m+1）=8，即m22m3=0.解得：m1=3，m2=1.當m=3時，原方程化為：x22=0，解得：x1= ，x2=.當m=1時，

11、原方程化為：x24x2=0，解得：x1=2+ ，x2=2.類型三、以代數(shù)為主的綜合題5如圖所示，已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為C(1，0)，直線yx+m與該二次函數(shù)的圖象交于A，B兩點，其中A點的坐標為(3，4)，B點在y軸上(1)求m的值及這個二次函數(shù)的解析式；(2)P為線段AB上的一個動點(點P與A，B不重合)，過P作x軸的垂線與這個二次函數(shù)的圖象交于E點，設線段PE的長為h，點P的橫坐標為x，求h與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍； (3)D為直線AB與這個二次函數(shù)圖象對稱軸的交點，在線段AB上是否存在一點P，使得四邊形DCEP是平行四邊形？若存在，請求出此時P點的坐標；若不存

12、在，請說明理由【思路點撥】本題是一道函數(shù)綜合題，考查二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式的求法，函數(shù)關系式的建立【答案與解析】解：(1)點A(3，4)在直線yx+m上，43+mm1設所求二次函數(shù)的關系式為點A(3，4)在二次函數(shù)的圖象上，4a(3-1)2a1所求二次函數(shù)的關系式為即(2)設P，E兩點的縱坐標分別為和(x+1)(x22x+1)x2+3x即(3)存在要使四邊形DCEP是平行四邊形，必有PEDC點D在直線yx+1上，點D的坐標為(1，2)，即解之，得，(不合題意，舍去)當P點的坐標為(2，3)時，四邊形DCEP是平行四邊形【總結升華】若兩點在平行于x軸或平行于y軸的直線上，則這兩點間的距離可用它

13、們的橫坐標或縱坐標的差的絕對值來表示（海淀一模26（2）（3）舉一反三：【變式】如圖，已知二次函數(shù)的圖象與坐標軸交于點A（-1， 0）和點B（0，-5）（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）已知該函數(shù)圖象的對稱軸上存在一點P，使得ABP的周長最小請求出點P的坐標 【答案】解：（1）根據(jù)題意，得 解得 二次函數(shù)的表達式為 （2）令y=0，得二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個交點坐標C（5, 0）. 由于P是對稱軸上一點，連結AB，由于，要使ABP的周長最小，只要最小.由于點A與點C關于對稱軸對稱，連結BC交對稱軸于點P，則= BP+PC =BC，根據(jù)兩點之間，線段最短，可得的最小值為BC.因而BC與對稱軸的交點P就是所求的點.設直線BC的解析式為，根據(jù)題意，可得解得所以直線BC的解析式為 因此直線BC與對稱軸的交點坐標是方程組的解，解得所求的點P的坐標為