公共基礎——數學空間解析幾何學習筆記

1、知識點總結 1.1 空間解析幾何 1.1.11.1.1 向量代數 點：A：B：(x2,y2,z2) 向量4月=(x2-xlry2-yvz2一z1) 向量的模|而|=J(x2-xt)2+(y2-yj2+(z2-zj2 a=(aXfayf%)；b=(%，byfbz) ab=axbx+ayby+azbz=|a|bcos6 -ijk aXb=axayaz=()i+()；=()kbxbybz |axb|=|a|bsin9 _%Qy ab-?=bxbybz CxCy a與6平行 a與b垂直 （二維）直線 平面 關鍵 法向量n；=(A,B,C) 通用 式 Ax+By+C=0 Ax+By+Cz+D=O 點斜/

2、 法式 y-y。=k(x xo) A(x-Xo)+B(y-y0)+C(zZQ)=0 截距 式 Xy 一+:=1ab xyz F-：-1=1abc 點到 線湎 距 |Ax0+By。+C|y/A2+B2 |Ax0+By。+Cz0+D|y/A2+F2+C2 面的 角 a 國同 3”同同 _|4142+B$2+C1QI J42+cj+.2+B22+C22 （三維）直線 平面 關鍵 方向向量s=(m,n,p) 通用 式 1 Ax+B1y+Qz+=0 、力2*+82y+C2z+Z)2=0 Ax+By+Cz+D =0 點法式 （對稱式） XXo_yy()_zZomnp A(x-x0)十B(y 一九) +C(

3、zz0)=0 參數 式 x-x0_y-yo_zzomnp 占線 距 sxMM|s| 線線 角 同屋 |血1血2十幾1幾2十口1口21 垂直時： m1m2+nxn2+ P1P2=0 平行時： 1=%=E1 m2n2p2 Jm/+幾/_|_p2+Jm22+n22+p22 線面 角 |s-n|s麗 垂直時： m_n_pA=B=C m2+n2+p24-JA24-B2+C2 1.1.41.1.4柱面、旋轉曲面、二次曲面 .平面曲線的定義: 圓：到定點的距離等于定長的點的集合 (x-a)2+(y-b)2=r2 橢圓：平面內到兩定點的距離之和等于常數的點的集合 (xh)2(yk)2 Q2+b2 如圖，焦點到

4、橢圓中心的距離 c2=a2-b2 ImA+nB+pC| 平行時： mA+nB+pC=0 (xa)2+(yb)2= 橢圓的標準方程 雙曲線：平面內到兩定點的距離差的絕對值為常數的點的集合 平面內， 到給定一點及一直線的距離之比為常數 e(e=c/a(el),即為雙曲線的離心率)的點的軌跡稱為雙曲線 滔一百 拋物線：到定點與定直線的距離相等的點的集合 y=ax2+bx+c a/2 為焦準距 .旋轉曲面旋轉曲面的母紋 C 的方程: 旋轉軸為 y 軸，那么形成的旋轉曲面的方程就是: 將 f(y,z)=0 中的 z 換成爪 2+z2 即可 .二次曲面 定義：三元二次方程表示的曲面 球面一般方程 圓的方程

5、 (x-x0)2+(y-y0)2+(Z-z0)2=R2 x2+y2+z2=R2 橢球面的一般方程x2+y2+z2=R2 ooo x乙yzzz +=1 R2R2R2 既然是橢球面，肯定是不對稱的就有了橢球面的一般方程 x2y2z2 11=1 a2b2c2 當 a、b、c 中有任意兩個相等時，就變成了旋轉曲面（即可以通過某線旋轉而成的曲面），因此就有了： 橢球面的標準方程 圓錐面 x2y2_2 m+前二z 再特殊點，圓錐面方程就成了工 2+y2-z2=0 橢圓錐面 橢圓拋物面球面的標準方程 平面曲 X2 a2 y2+z2 b2 X2 y b2 雙曲拋物面 單葉雙曲面 x2y2 形=z x2y2 1

6、-7 a2b2 x2y2=7 Q2b2 x2y2z2 a2b2c2 Figure1單葉雙曲面 雙葉雙曲面 x2 a2 lengthsofsemi-axes a-Qal bQ31 c1 Figure2雙葉雙曲面 元數 二次項個數 二次項正負 有無常數項(=1)(=1) 類型 3 3+3+ 有 球面/橢球面 3 2+12+1- - 無 圓錐面/橢圓錐面 3 2+12+1- - 有 單葉雙曲面 3 1+21+2- - 有 雙葉雙曲面 A 2 2+2+ 無 橢圓拋物面 2 1+11+1- - 無 雙曲拋物面 1.1.51.1.5空間曲線 1.定義：兩空間曲面相交形成的曲線。 一般式： F(x,y,z)=0 (G(x,y,z)=0 卜=%。) ，y=y) (z=z(t) x=asin0 y=acosO表示螺旋線 z=be p(x,y,z)=0 (G(x,yfz)=0 消去 z 可得 H(x,y)=0 它表示一個面(與 z 無關)，什么面呢？母線平行于 z 軸，準線為空間曲線 C 的面，是空間曲線 C 關于xoy平面的投影柱面，而投影柱面與 xoy 平面的交線成為曲線C 在 xoy 平面上的投影。因此： H(%y)=0 必定包含投影柱面 阿 3)=0 參數式: 參數式舉例: