導(dǎo)數(shù)題型總結(jié)及解法大全

1、第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的概念1.已知的值是（ ）A. B. 2 C. D. 2變式1：（ ）A2C3D1變式2：（ ）ABCD導(dǎo)數(shù)各種題型方法總結(jié)請同學(xué)們高度重視：首先，關(guān)于二次函數(shù)的不等式恒成立的主要解法：1、 分離變量；2、 變更主元；3、 根分布；4、 判別式法5、 二次函數(shù)區(qū)間最值求法：（1） 對稱軸（重視單調(diào)區(qū)間）與定義域的關(guān)系 （2） 端點處和頂點是最值所在 其次，分析每種題型的本質(zhì)，你會發(fā)現(xiàn)大部分都在解決“不等式恒成立問題”以及“充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想”，創(chuàng)建不等關(guān)系求出取值范圍。 最后，同學(xué)們在看例題時，請注意尋找關(guān)鍵的等價變形和回歸的基礎(chǔ)一、基礎(chǔ)題型：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最

2、值；不等式恒成立；1、此類問題提倡按以下三個步驟進(jìn)行解決：第一步：令得到兩個根；第二步：畫兩圖或列表；第三步：由圖表可知；其中不等式恒成立問題的實質(zhì)是函數(shù)的最值問題，2、常見處理方法有三種：第一種：分離變量求最值-用分離變量時要特別注意是否需分類討論（>0,=0,<0）第二種：變更主元（即關(guān)于某字母的一次函數(shù)）-（已知誰的范圍就把誰作為主元）；（請同學(xué)們參看2010省統(tǒng)測2）例1：設(shè)函數(shù)在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為，在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為，若在區(qū)間D上，恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”，已知實數(shù)m是常數(shù)，（1）若在區(qū)間上為“凸函數(shù)”，求m的取值范圍；（2）若對滿足的任何一個實數(shù)，函數(shù)在區(qū)間

3、上都為“凸函數(shù)”，求的最大值.解:由函數(shù) 得 （1） 在區(qū)間上為“凸函數(shù)”，則 在區(qū)間0,3上恒成立 解法一：從二次函數(shù)的區(qū)間最值入手：等價于解法二：分離變量法： 當(dāng)時, 恒成立, 當(dāng)時, 恒成立-22等價于的最大值（）恒成立，而（）是增函數(shù)，則(2)當(dāng)時在區(qū)間上都為“凸函數(shù)” 則等價于當(dāng)時 恒成立 變更主元法 再等價于在恒成立（視為關(guān)于m的一次函數(shù)最值問題）例2：設(shè)函數(shù) （）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值； （）若對任意的不等式恒成立，求a的取值范圍. （二次函數(shù)區(qū)間最值的例子）解：（）3aaa3a令得的單調(diào)遞增區(qū)間為（a,3a）令得的單調(diào)遞減區(qū)間為（，a）和（3a，+）當(dāng)x=a時，極小值=

4、 當(dāng)x=3a時，極大值=b. （）由|a，得：對任意的恒成立則等價于這個二次函數(shù) 的對稱軸 （放縮法）即定義域在對稱軸的右邊，這個二次函數(shù)的最值問題：單調(diào)增函數(shù)的最值問題。上是增函數(shù).（9分）于是，對任意，不等式恒成立，等價于 又點評：重視二次函數(shù)區(qū)間最值求法：對稱軸（重視單調(diào)區(qū)間）與定義域的關(guān)系第三種：構(gòu)造函數(shù)求最值題型特征：恒成立恒成立；從而轉(zhuǎn)化為第一、二種題型例3；已知函數(shù)圖象上一點處的切線斜率為，（）求的值；（）當(dāng)時，求的值域；（）當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)t的取值范圍。解：（）， 解得 （）由（）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減又 的值域是（）令思路1：要使恒成立，只需，

5、即分離變量思路2：二次函數(shù)區(qū)間最值二、題型一：已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍解法1：轉(zhuǎn)化為在給定區(qū)間上恒成立， 回歸基礎(chǔ)題型解法2：利用子區(qū)間（即子集思想）；首先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間，然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集； 做題時一定要看清楚“在（m,n）上是減函數(shù)”與“函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（a,b）”，要弄清楚兩句話的區(qū)別：前者是后者的子集例4：已知，函數(shù)（）如果函數(shù)是偶函數(shù)，求的極大值和極小值；（）如果函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍解：. （） 是偶函數(shù)， . 此時， 令，解得：. 列表如下：(,2)2(2,2)2(2,+)+00+遞增極大值遞減極小值遞增 可知：的極大值為，

6、 的極小值為. （）函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，在給定區(qū)間R上恒成立判別式法則 解得：. 綜上，的取值范圍是. 例5、已知函數(shù) （I）求的單調(diào)區(qū)間； （II）若在0，1上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。子集思想（I） 1、a-1-1 當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”號，單調(diào)遞增。 2、 單調(diào)增區(qū)間： 單調(diào)增區(qū)間：（II）當(dāng) 則是上述增區(qū)間的子集：1、時，單調(diào)遞增 符合題意2、， 綜上，a的取值范圍是0，1。 三、題型二：根的個數(shù)問題題1函數(shù)f(x)與g(x)（或與x軸）的交點=即方程根的個數(shù)問題解題步驟第一步：畫出兩個圖像即“穿線圖”（即解導(dǎo)數(shù)不等式）和“趨勢圖”即三次函數(shù)的大致趨勢“是先增后減再增”還是“先減后增再減”

7、；第二步：由趨勢圖結(jié)合交點個數(shù)或根的個數(shù)寫不等式（組）；主要看極大值和極小值與0的關(guān)系；第三步：解不等式（組）即可；例6、已知函數(shù)，且在區(qū)間上為增函數(shù)（1） 求實數(shù)的取值范圍；（2） 若函數(shù)與的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍解：（1）由題意 在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上恒成立（分離變量法）即恒成立，又，故的取值范圍為 （2）設(shè)，令得或由（1）知，當(dāng)時，在R上遞增，顯然不合題意當(dāng)時，隨的變化情況如下表：極大值極小值由于，欲使與的圖象有三個不同的交點，即方程有三個不同的實根，故需，即 ，解得綜上，所求的取值范圍為根的個數(shù)知道，部分根可求或已知。例7、已知函數(shù)（1）若是的極值點且的圖像過原點，

8、求的極值；（2）若，在（1）的條件下，是否存在實數(shù)，使得函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恒有含的三個不同交點？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；否則說明理由。高1考1資1源2網(wǎng)-1解：（1）的圖像過原點，則 ，又是的極值點，則（2）設(shè)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恒存在含的三個不同交點，等價于有含的三個根，即：整理得：即：恒有含的三個不等實根（計算難點來了：）有含的根，則必可分解為，故用添項配湊法因式分解， 十字相乘法分解：恒有含的三個不等實根等價于有兩個不等于-1的不等實根。題2：切線的條數(shù)問題=以切點為未知數(shù)的方程的根的個數(shù)例7、已知函數(shù)在點處取得極小值4，使其導(dǎo)數(shù)的的取值范圍為，求：（1）的解析式；（2）若過點

9、可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍（1）由題意得：在上；在上；在上因此在處取得極小值，由聯(lián)立得：， （2）設(shè)切點Q，過令，求得：，方程有三個根。需：故：；因此所求實數(shù)的范圍為：題3：已知在給定區(qū)間上的極值點個數(shù)則有導(dǎo)函數(shù)=0的根的個數(shù)解法：根分布或判別式法例8、1解：函數(shù)的定義域為（）當(dāng)m4時，f (x) x3x210x，x27x10，令 ， 解得或.令 ， 解得可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和（5，），單調(diào)遞減區(qū)間為（）x2(m3)xm6, 要使函數(shù)yf (x)在（1，）有兩個極值點,x2(m3)xm6=0的根在（1，）根分布問題：則， 解得m3例9、已知函數(shù)，（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）

10、令x4f（x）（xR）有且僅有3個極值點，求a的取值范圍解：（1） 當(dāng)時，令解得，令解得，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.當(dāng)時，同理可得的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2）有且僅有3個極值點=0有3個根，則或，方程有兩個非零實根，所以或而當(dāng)或時可證函數(shù)有且僅有3個極值點其它例題：1、（最值問題與主元變更法的例子）.已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上的最大值是5，最小值是11.（）求函數(shù)的解析式；（）若時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（） 令=0,得 因為，所以可得下表：0+0-極大因此必為最大值,因此， ， 即， （），等價于， 令，則問題就是在上恒成立時，求實數(shù)的取值范圍，為此只需，即， 解得，所以所求

11、實數(shù)的取值范圍是0，1.2、（根分布與線性規(guī)劃例子）（1）已知函數(shù)() 若函數(shù)在時有極值且在函數(shù)圖象上的點處的切線與直線平行, 求的解析式；() 當(dāng)在取得極大值且在取得極小值時, 設(shè)點所在平面區(qū)域為S, 經(jīng)過原點的直線L將S分為面積比為1:3的兩部分, 求直線L的方程.解： (). 由, 函數(shù)在時有極值 , 又 在處的切線與直線平行, 故 . 7分 () 解法一: 由 及在取得極大值且在取得極小值, 即 令, 則 故點所在平面區(qū)域S為如圖ABC, 易得, , , , , 同時DE為ABC的中位線, 所求一條直線L的方程為: 另一種情況設(shè)不垂直于x軸的直線L也將S分為面積比為1:3的兩部分, 設(shè)

12、直線L方程為,它與AC,BC分別交于F、G, 則 , 由 得點F的橫坐標(biāo)為: 由 得點G的橫坐標(biāo)為: 即 解得: 或 (舍去) 故這時直線方程為: 綜上,所求直線方程為: 或 .12分() 解法二: 由 及在取得極大值且在取得極小值, 即 令, 則 故點所在平面區(qū)域S為如圖ABC, 易得, , , , , 同時DE為ABC的中位線, 所求一條直線L的方程為: 另一種情況由于直線BO方程為: , 設(shè)直線BO與AC交于H , 由 得直線L與AC交點為: , , 所求直線方程為: 或 3、（根的個數(shù)問題）已知函數(shù)的圖象如圖所示。（）求的值；（）若函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，求函數(shù)f ( x )的解

13、析式；（）若方程有三個不同的根，求實數(shù)a的取值范圍。解：由題知：（）由圖可知函數(shù)f ( x )的圖像過點( 0 , 3 )，且= 0得 （）依題意= 3 且f ( 2 ) = 5解得a = 1 , b = 6 所以f ( x ) = x3 6x2 + 9x + 3（）依題意f ( x ) = ax3 + bx2 ( 3a + 2b )x + 3 ( a0 )= 3ax2 + 2bx 3a 2b 由= 0b = 9a 若方程f ( x ) = 8a有三個不同的根，當(dāng)且僅當(dāng) 滿足f ( 5 )8af ( 1 ) 由 得 25a + 38a7a + 3a3所以 當(dāng)a3時，方程f ( x ) = 8a

14、有三個不同的根。 12分4、（根的個數(shù)問題）已知函數(shù) （1）若函數(shù)在處取得極值，且，求的值及的單調(diào)區(qū)間； （2）若，討論曲線與的交點個數(shù) 解：（1）2分令得令得的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為5分（2）由題得即令6分令得或7分當(dāng)即時此時，有一個交點；9分當(dāng)即時， ,當(dāng)即時,有一個交點；當(dāng)即時，有兩個交點； 當(dāng)時，有一個交點13分綜上可知，當(dāng)或時，有一個交點； 當(dāng)時，有兩個交點14分5、（簡單切線問題）已知函數(shù)圖象上斜率為3的兩條切線間的距離為，函數(shù)（） 若函數(shù)在處有極值，求的解析式；（） 若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且在區(qū)間上都成立，求實數(shù)的取值范圍函數(shù)中任意性和存在性問題探究高考中全稱命題和存在

15、性命題與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合是近年高考的一大亮點，下面結(jié)合高考試題對此類問題進(jìn)行歸納探究一、相關(guān)結(jié)論：結(jié)論1：；【如圖一】結(jié)論2：；【如圖二】結(jié)論3：；【如圖三】結(jié)論4：；【如圖四】結(jié)論5：的值域和的值域交集不為空；【如圖五】【例題1】：已知兩個函數(shù);(1) 若對,都有成立，求實數(shù)的取值范圍；(2) 若,使得成立，求實數(shù)的取值范圍；(3) 若對,都有成立，求實數(shù)的取值范圍；解：（1）設(shè),（1）中的問題可轉(zhuǎn)化為：時，恒成立，即。；當(dāng)變化時，的變化情況列表如下：-3(-3,-1)-1(-1,2)2(2,3)3(x)+00+h(x)k-45增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)k-9因為,所以，由上表可知，故k-45

16、0，得k45,即k45,+).小結(jié)：對于閉區(qū)間I，不等式f(x)<k對xI時恒成立f(x)max<k, xI;不等式f(x)>k對xI時恒成立f(x)min>k, xI. 此題常見的錯誤解法：由f(x)maxg(x)min解出k的取值范圍.這種解法的錯誤在于條件“f(x)maxg(x)min”只是原題的充分不必要條件，不是充要條件，即不等價.（2）根據(jù)題意可知，（2）中的問題等價于h(x)= g(x)f(x) 0在x-3,3時有解,故h(x)max0.由（1）可知h(x)max= k+7，因此k+70，即k7,+).(3)根據(jù)題意可知，（3）中的問題等價于f(x)max

17、g(x)min，x-3,3.由二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可得, x-3,3時, f(x)max=120k.仿照（1），利用導(dǎo)數(shù)的方法可求得x-3,3時, g(x)min=21.由120k21得k141,即k141,+).說明：這里的x1,x2是兩個互不影響的獨立變量.從上面三個問題的解答過程可以看出,對于一個不等式一定要看清是對“x”恒成立，還是“x”使之成立，同時還要看清不等式兩邊是同一個變量，還是兩個獨立的變量,然后再根據(jù)不同的情況采取不同的等價條件,千萬不要稀里糊涂的去猜.二、相關(guān)類型題：一、型；形如型不等式，是恒成立問題中最基本的類型，它的理論基礎(chǔ)是“在上恒成立，則在xD上恒成立，則”.許多

18、復(fù)雜的恒成立問題最終都可歸結(jié)到這一類型.例1 ：已知二次函數(shù)，若時，恒有，求實數(shù)a的取值范圍.解：，；即；當(dāng)時，不等式顯然成立，aR.當(dāng)時，由得：，而.又，綜上得a的范圍是。 二、型例2 已知函數(shù)，若對，都有成立，則的最小值為_.解 對任意xR，不等式恒成立，分別是的最小值和最大值.對于函數(shù)，取得最大值和最小值的兩點之間最小距離是，即半個周期.又函數(shù)的周期為4，的最小值為2.三、.型例3： (2005湖北)在這四個函數(shù)中，當(dāng)時，使恒成立的函數(shù)的個數(shù)是() A.0B.1C.2D.3解：本題實質(zhì)就是考察函數(shù)的凸凹性，即滿足條件的函數(shù)，應(yīng)是凸函數(shù)的性質(zhì)，畫草圖即知符合題意；四、.型例4 已知函數(shù)定義域為，若，時，都有，若對所有，恒成立，求實數(shù)取值范圍.解：任取，則，由已知，又，f，即在上為增函數(shù).，恒有；要使對所有，恒成立，即要恒成立，故恒成立，令，只須且，解得或或。評注： 形如不等式或恒成立，實際上是函數(shù)的單調(diào)性的另一種表現(xiàn)形式，在解題時要注意此種類型不等式所