實(shí)變函數(shù) 集合

1、第一章 集合 （總授課時(shí)數(shù) 8學(xué)時(shí)）由德國(guó)數(shù)學(xué)家Cantor 所創(chuàng)立的集合論，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中一個(gè)獨(dú)立的分支，按其本性而言，集合論是整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)；而就其發(fā)展歷史而言，則與近代分析（包括 實(shí)變函數(shù)論）的發(fā)展密切相關(guān)，實(shí)變函數(shù)通常是第一門大量運(yùn)用集合論知識(shí)的大學(xué)數(shù)學(xué)課程因此，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育中，對(duì)集合論知識(shí)的較系統(tǒng)的介紹，通常構(gòu)成實(shí)變函數(shù)教材的第一章不過(guò)，對(duì)于實(shí)變函數(shù)論來(lái)說(shuō)，集合論畢竟只是一個(gè)輔助工具，因此，本章僅介紹那些必不可少的集論知識(shí)1、集合及其運(yùn)算教學(xué)目的 引入集的概念與集的運(yùn)算, 使學(xué)生掌握集和集的基本運(yùn)算規(guī)律.本節(jié)重點(diǎn) De Morgan 公式是常用的公式. 證明兩個(gè)集相等和包含關(guān)

2、系是經(jīng)常要遇到的論證, 通過(guò)例子使學(xué)生掌握其基本方法.集列的極限是一種新型的運(yùn)算, 學(xué)生應(yīng)理解其概念.本節(jié)難點(diǎn) 對(duì)集列極限的理解.授課時(shí)數(shù) 2學(xué)時(shí)一、集合的概念及其表示集合也稱作集，是數(shù)學(xué)中所謂原始概念之一，即不能用別的概念加以定義，它像幾何學(xué)中的“點(diǎn)”、“直線”那樣，只能用一組公理去刻畫(huà)就目前來(lái)說(shuō)，我們只要求掌握以下樸素的說(shuō)法：“在一定范圍內(nèi)的個(gè)體事物的全體，當(dāng)將它們看作一個(gè)整體時(shí)，我們把這個(gè)整體稱為一個(gè)集合，其中每個(gè)個(gè)體事物叫做該集合的元素”一個(gè)集合的元素必須彼此互異，而且哪些事物是給定集合的元素必須明確以集合作為元素的集合，也常稱為集族或集類以后常用大寫(xiě)字母表示集合，用小寫(xiě)字母表示集合中

3、的元素如果是集合的元素，則說(shuō)屬于，記作，或說(shuō)A含有a如果不是集的元素，則說(shuō)不屬于，記作，或說(shuō)A不含有a有些集合可用列舉其元素的辦法來(lái)表示，如：只含有一個(gè)元素的集合稱為單元素集或獨(dú)點(diǎn)集，可表示為由個(gè)元素所組成的集合，可表示為由全體自然數(shù)所組成的集合稱為自然數(shù)集，可表示為當(dāng)集是具有某性質(zhì)的元素之全體時(shí)，我們用下面的形式表示：例如，方程 的解x的全體組成的數(shù)集是，實(shí)際上就是.有時(shí)我們也把集具有性質(zhì)改寫(xiě)成具有性質(zhì)例如，設(shè)是定義在集合上的一實(shí)函數(shù)，是一個(gè)實(shí)數(shù)，我們把集寫(xiě)成或不含任何元素的集合稱為空集，記作設(shè)，是兩個(gè)集，若 和的元素完全相同，就稱和相等，記作= (或=).若集合的元素都是集合的元素，就稱為

4、是的子集，記作B (或B)，讀作 包含于 (或B 包含A)若A且,就稱A是的真子集，規(guī)定空集是任何集的子集由集的“相等”與“包含”的定義可得如下定理：定理1 對(duì)任何集合，C，均有（1）；（2）若，則；（3）且二 集合的運(yùn)算設(shè)，是兩個(gè)集合，集合與的并集或并集合與的交集或交特別地，若，稱與不相交；反之，則稱與相交集合減的差集或差:當(dāng)時(shí)，稱差集為關(guān)于的余集記作()當(dāng)我們研究一個(gè)問(wèn)題時(shí)，如果所討論的集合都是某個(gè)固定集的子集時(shí)，就稱為基本集或全集，并把的子集關(guān)于的余集 簡(jiǎn)稱為B 的余集，記為或.并集與交集的概念可以推廣到任意個(gè)集的情形，設(shè)為一非空集合，并且對(duì)每一個(gè)，指定了一個(gè)集合,此時(shí)我們稱是以為指標(biāo)集

5、的集族，集族的并與交分別定義為:例 設(shè)則,關(guān)于集合的并和交顯然有下面的性質(zhì)：(見(jiàn)課本P9-P10)更一般地有: De Morgan公式,證明（略）注：通過(guò)取余集，使與，與互相轉(zhuǎn)換.三、集列極限 設(shè)是一個(gè)集合序列，其上限集和下限集分別定義為上極限集：下極限集： 或除去有限個(gè)集外，有當(dāng)充分大時(shí)，有注： 例：設(shè)，則上極限集為,下極限集為.極限集如果集列的上極限集與下極限集相等，即則稱集列收斂，稱其共同的極限為集列的極限集，記為：?jiǎn)握{(diào)增集列極限定理2 ：?jiǎn)握{(diào)集列是收斂的1) 如果集列單調(diào)增加，則2) 如果集列單調(diào)減少，則例1：設(shè)則，例2：設(shè)則，小 結(jié) 本節(jié)介紹了集的基本概念, 集的運(yùn)算和運(yùn)算性質(zhì). 這

6、些知識(shí)是本課程的基礎(chǔ).證明兩個(gè)集的相等是經(jīng)常會(huì)遇到的, 應(yīng)掌握其證明方法. De Morgan 公式很重要, 以后會(huì)經(jīng)常用到. 集列的極限是一種與數(shù)列極限不同的極限, 應(yīng)正確理解其概念.作業(yè)：P30 5, 7, 8練習(xí)題1. 設(shè)為一集列：（1）作，證明為一列互不相交的集列，且（2）若是單調(diào)減少的集列，證明并且其中各項(xiàng)互不相交.2. 證明:(1) ,(2) (3) 單調(diào)遞增時(shí)，有(4) 單調(diào)遞減時(shí)，有3. 已知，求和，并問(wèn)是否存在？2 對(duì)等與基數(shù)教學(xué)目的 介紹映射, 基數(shù),等概念和它們的屬性.本節(jié)要點(diǎn) 一一對(duì)應(yīng)的思想與方法是貫穿本節(jié)的核心.基數(shù)的概念，討論都要用一一對(duì)應(yīng)的方法.證明兩個(gè)集對(duì)等或具

7、有相同的基數(shù),有時(shí)需要一定的技巧, 因而具有一定難度, 通過(guò)較多的例題和習(xí)題, 使學(xué)生逐步掌握其中的技巧.本節(jié)難點(diǎn)證明兩個(gè)集對(duì)等或具有相同的基數(shù).授課時(shí)數(shù) 2學(xué)時(shí)1 映射的定義在數(shù)學(xué)分析課程中我們對(duì)函數(shù)已經(jīng)很熟悉. 其中函數(shù)的定義域通常是的子集, 值域是實(shí)數(shù)集或者復(fù)數(shù)集. 若將函數(shù)的定義域和值域換成一般的集, 可得到映射的概念. 定義：設(shè),是兩個(gè)非空集合，若依照對(duì)應(yīng)法則，對(duì)X中的每個(gè)，均存在中唯一的與之對(duì)應(yīng)，則稱這個(gè)對(duì)應(yīng)法則是從到的一個(gè)映射，記作或：設(shè),是兩個(gè)非空集合，是的子集，且對(duì)任意，存在唯一的使，則是從 到的一個(gè)映射.注：集合，元素，映射是一相對(duì)概念.略：像，原像，像集，原像集，映射的復(fù)

8、合，單射，滿射，一一映射（雙射）在數(shù)學(xué)分析課程中研究的函數(shù)當(dāng)然是一種映射. 除此之外, 我們還經(jīng)常會(huì)遇到許多其它的映射. 例如, 定積分可以看作是可積函數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射, 求導(dǎo)運(yùn)算可以看作是可導(dǎo)函數(shù)集到函數(shù)集的映射, 線性代數(shù)中的線性變換就是線性空間到線性空間的映射等.2 集合運(yùn)算關(guān)于映射的性質(zhì)（像集）定理1 ：設(shè)是的子集，稱為的像集，記作，則有：一般地有一般地有 證明的過(guò)程略注： 一般不成立，如常值映射，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)為單射.集合運(yùn)算關(guān)于映射的性質(zhì)（原像集）定理2：設(shè)是的子集，稱為的原像集，記作不一定有逆映射），則有：一般地有：一般地有：證明略.注：6），7）一般不能使等號(hào)成立，6）等號(hào)

9、成立當(dāng)且僅當(dāng)為單射，7）等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)為滿射.3 對(duì)等與勢(shì)1）定義設(shè)，是兩非空集合，若存在著到的一一映射（既單又滿），則稱與對(duì)等,記作. 約定.注：（1）稱與對(duì)等的集合為與A有相同的勢(shì)（基數(shù)），記作.（2）勢(shì)是對(duì)有限集元素個(gè)數(shù)概念的推廣.2）性質(zhì)自反性：對(duì)稱性：傳遞性：例：證明：令，則是到的一一映射.故注：有限集與無(wú)限集的本質(zhì)區(qū)別：無(wú)限集可與其某個(gè)真子集合有相同多的元素個(gè)數(shù)（對(duì)等）且一定能做到，而有限集則不可能.3)基數(shù)的大小比較若 則稱 若則稱相當(dāng)于：到有一個(gè)單射，也相當(dāng)于到有一個(gè)滿射.若且則稱.注：不能用與的一個(gè)真子集對(duì)等描述. 如：4 Bernstein定理引理：設(shè)是兩個(gè)集族，是一個(gè)指

10、標(biāo)集，又而且中的集合兩兩不交，中的集合兩兩不交，那么：證明略定理3:（Bernstein定理）若有的子集，使及的子集，使則 即：若則證明：根據(jù)題設(shè)，存在到上的一一映射，以及到上的一一映射.令，由知而故與不交. 從而在的像不交，在下的像不交.由知與不交，故兩兩不交.從而在的像也兩兩不交，從而兩兩不交，也兩兩不交且所以另外由可知又所以，證畢注：要證需要在與間找一個(gè)既單又滿的映射；而要證，只需找一個(gè)單射即可；從而我們把找既單又滿的映射轉(zhuǎn)化成找兩個(gè)單射.例：證明：由可知，作業(yè)：P30 9, 10 練習(xí)題1. 上以有理數(shù)為端點(diǎn)的區(qū)間的全體所成之集與自然數(shù)集之間能否建立一一對(duì)應(yīng)？ 2證明:若則.3. 證明

11、：若，則有.4.設(shè)是上的全體實(shí)函數(shù)所成的集合，而是的全體子集所成的集合，則.3、可數(shù)集合教學(xué)目的 介紹可數(shù)集概念及其運(yùn)算它們的屬性.本節(jié)要點(diǎn) 可數(shù)集是具有最小基數(shù)的無(wú)限集.可數(shù)集性質(zhì)十分重要，不少對(duì)等問(wèn)題可以與可數(shù)集聯(lián)系起來(lái), 可數(shù)集證明技巧較強(qiáng) 通過(guò)較多的例題和習(xí)題, 使學(xué)生逐步掌握.本節(jié)難點(diǎn)證明集合可數(shù).授課時(shí)數(shù) 2學(xué)時(shí) 可數(shù)集的定義與自然數(shù)集對(duì)等的集合稱為可數(shù)集或可列集，其基數(shù)記為或注：可數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)可以寫(xiě)成無(wú)窮序列的形式例：1）2）中的有理數(shù)全體 可數(shù)集的性質(zhì)（子集）定理1 任何無(wú)限集合均含有可數(shù)子集.證明：設(shè)是一個(gè)無(wú)限集，取出其中的一個(gè)元素從中任取一元素，記為.則,在中取一元素,顯然.

12、設(shè)從中已取出個(gè)互異元素,由于是無(wú)限集，故,于是又可以從中取出一元素,它自然不同于.所以，由歸納法，我們就找到M 的一個(gè)無(wú)限子集它顯然是一個(gè)可數(shù)集證畢這個(gè)定理說(shuō)明可數(shù)集的一個(gè)特征：它在所有無(wú)限集中有最小的基數(shù)可數(shù)集的性質(zhì)（并集）有限集與可數(shù)集的并仍為可數(shù)集有限個(gè)可數(shù)集的并仍為可數(shù)集可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并仍為可數(shù)集，假設(shè)兩兩不交，則 （當(dāng)集合有公共元素時(shí)，不重復(fù)排）關(guān)于可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并仍為可數(shù)集的證明當(dāng)互不相交時(shí)，按箭頭所示，我們得到一個(gè)無(wú)窮序列;當(dāng)有公共元時(shí)，在排列的過(guò)程中除去公共元素；因此是可數(shù)集。說(shuō)明: 與Hilbert旅館問(wèn)題比較; 如何把無(wú)限集分解成無(wú)限個(gè)無(wú)限集合的并?例 全體有理數(shù)之集Q是可

13、數(shù)集首先0,1中的有理數(shù)全體=0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, 是可數(shù)集，所以Q是可數(shù)集（可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并）說(shuō)明：有理數(shù)集在直線上稠密,但仍與稀疏分布在直線上的整數(shù)集有相同多的點(diǎn)(對(duì)等意義下).3 可數(shù)集的性質(zhì)（卡氏積）定理：有限個(gè)可數(shù)集的卡氏積是可數(shù)集只須證：設(shè)是可數(shù)集，則也是可數(shù)集（利用數(shù)學(xué)歸納法即得有限個(gè)乘積的情形）固定，在變變從而也是可數(shù)集（可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并）例1 平面上以有理點(diǎn)為圓心，有理數(shù)為半徑的圓全體為可數(shù)集證明：平面上的圓由其圓心 和半徑唯一決定,從而例2 代數(shù)數(shù)全體是可數(shù)集整系數(shù)多項(xiàng)式方程的實(shí)根稱為代數(shù)數(shù)；不是代數(shù)數(shù)的實(shí)數(shù)成為超越數(shù)。設(shè)是整系數(shù)

14、多項(xiàng)式全體所成之集, 是次整系數(shù)多項(xiàng)式全體首先 ，（有限個(gè)可數(shù)集的卡氏積）故 為可數(shù)集（可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并）由代數(shù)基本定理知任意次整系數(shù)多項(xiàng)式至多有有限個(gè)實(shí)根，從而結(jié)論成立.例3 設(shè)是一個(gè)無(wú)限集，則必有，使 ，而 可數(shù)證明：由是一個(gè)無(wú)限集，則包含可數(shù)子集，令，則，且是可數(shù)集，證畢.小 結(jié) 本節(jié)利用一一對(duì)應(yīng)的思想, 給出了集的基數(shù)和可數(shù)集的定義. 集的基數(shù)是有限集元素的個(gè)數(shù)在無(wú)限集的推廣. 可數(shù)集是具有最小基數(shù)的無(wú)限集. 可數(shù)集經(jīng)過(guò)有限或可數(shù)并運(yùn)算后仍是可數(shù)集. 有理數(shù)集是一個(gè)重要的可數(shù)集作業(yè)：P30 12, 15練習(xí)題1、 設(shè)中的元素是直線上兩兩不交的開(kāi)區(qū)間，則為至多可數(shù)集.2、 怎樣建立無(wú)限集

15、與它的一個(gè)真子集的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系？3、 證明任一可數(shù)集的所有有限子集全集是可數(shù)集.4、 證明遞增函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)的全體為至多可數(shù)集.4、 不可數(shù)集合教學(xué)目的 介紹不可數(shù)集概念及其屬性.本節(jié)要點(diǎn) 區(qū)間是典型不可數(shù)集，注意比較可數(shù)集與不可數(shù)集性質(zhì)的異同，利用集證明相關(guān)問(wèn)題具有重要意義 ，相應(yīng)的證明技巧較強(qiáng)，通過(guò)較多的例題和習(xí)題,使學(xué)生逐步掌握.本節(jié)難點(diǎn)證明集合不可數(shù).授課時(shí)數(shù) 2學(xué)時(shí)不是可數(shù)集的無(wú)限集稱為不可數(shù)集1 不可數(shù)集的存在性定理1 區(qū)間是一個(gè)不可數(shù)集證明： 假設(shè)可數(shù)，則上的點(diǎn)可以排成一個(gè)無(wú)窮序列：記為，把 三等分于其中取一不含的閉區(qū)間，記為，則的長(zhǎng)度.再把三等分，取其中不含的閉區(qū)間，記為，則，

16、這樣下去，可以得到一列閉區(qū)間滿足：故形成閉區(qū)間套，因此存在唯一點(diǎn)，而由假設(shè)，使得，這與矛盾，故是不可數(shù)集.2 連續(xù)勢(shì)集的定義定義1：與區(qū)間對(duì)等的集的基數(shù)稱為連續(xù)基數(shù)（連續(xù)勢(shì)），這個(gè)基數(shù)記作推論1 證明： 由定理 知，但，故.證畢推論2 開(kāi)區(qū)間的基數(shù)也是定理2 全體實(shí)數(shù)所成之集的基數(shù)是證明 令 ，則是到上的一一映射，所以的基數(shù)是.推論1 全體無(wú)理數(shù)所成之集的基數(shù)是3 連續(xù)勢(shì)集的性質(zhì)（卡氏積）（1）有限個(gè)、可數(shù)個(gè)連續(xù)勢(shì)的卡氏積仍為連續(xù)勢(shì)集定理3 設(shè)，則（證明略）推論 維Euclid空間的勢(shì)為（2） 連續(xù)勢(shì)集的性質(zhì)（并集）連續(xù)勢(shì)集的（有限個(gè)，可數(shù)個(gè)，連續(xù)勢(shì)個(gè)）并仍為連續(xù)勢(shì)集定理4 實(shí)數(shù)列全體所成之集的基數(shù)是（證明略）4 無(wú)最大勢(shì)定理定理5（Cantor）：設(shè)是一個(gè)任意給定的非空集合，則.證明：首先與的一個(gè)子集對(duì)等是顯然的，只考慮即可。假設(shè)，則存在到上的一一映射，令，由于是的子集，即，因此存在，使得（1） 若，則由的定義，有（2） 若，則由的定義，有這是矛盾的.故.5 可數(shù)勢(shì)與連續(xù)勢(shì)定理6：或（即）證明：由于N的子集全體與特征函數(shù)全體存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，故與對(duì)等；下證：對(duì)任意的令易知是單射，所以. 另一方面，對(duì)，設(shè) （有無(wú)窮多1）（即：將寫(xiě)成二進(jìn)制小數(shù)且要求不以0為循環(huán)節(jié)）.作；，其中（即將小