線性相位FIR數(shù)字濾波器的特性

1、廣州大學(xué)物理與電子工程學(xué)院廣州大學(xué)物理與電子工程學(xué)院第五章 FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)5.1 5.1 線性相位線性相位FIRFIR數(shù)字濾波器的特性數(shù)字濾波器的特性主要內(nèi)容主要內(nèi)容重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)重點(diǎn)1、2、難點(diǎn)難點(diǎn)1、LTI系統(tǒng)：系統(tǒng)：iiNijjMjzazbzH101)(kMkkkMkzkhzbzH)(00M階階(長度長度M+1) FIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：其他0, 1 , 0MkbkhkW W p:通帶截止頻率通帶截止頻率W W s:阻帶截止頻率阻帶截止頻率d dp:通帶波動通帶波動d d s:阻帶波動阻帶波動)1lg(20ppdA通帶衰減通帶衰減(dB)s

2、s20lgAd 阻帶衰減阻帶衰減(dB)(1) 容易設(shè)計(jì)成線性相位。容易設(shè)計(jì)成線性相位。(2) hk在有限范圍內(nèi)非零，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。在有限范圍內(nèi)非零，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。(3) 非因果非因果FIR系統(tǒng)都能經(jīng)過延時變成因果系統(tǒng)都能經(jīng)過延時變成因果FIR系統(tǒng)。系統(tǒng)。 (4) 可利用可利用FFT實(shí)現(xiàn)。實(shí)現(xiàn)。 (1)能在較低的階數(shù)下獲得較好的幅度響應(yīng)。能在較低的階數(shù)下獲得較好的幅度響應(yīng)。 (2)相位響應(yīng)無法設(shè)計(jì)成線性特性。相位響應(yīng)無法設(shè)計(jì)成線性特性。 (3)系統(tǒng)不一定穩(wěn)定（因?yàn)橛蟹答仯?。系統(tǒng)不一定穩(wěn)定（因?yàn)橛蟹答仯?線性相位系統(tǒng)的線性相位系統(tǒng)的)(jjje)e()e(WWWHH若若 (W W )= a

3、 W, a W, 則稱則稱系統(tǒng)系統(tǒng)H(z)是嚴(yán)格線性相位的。是嚴(yán)格線性相位的。)( jje)()e(WaWW AH其中，其中，A (W W )是是W W 的實(shí)函數(shù)，的實(shí)函數(shù)，稱為幅度函數(shù)。稱為幅度函數(shù)。0123401234hk偶對稱，偶對稱，M為偶數(shù)為偶數(shù)M=4hk偶對稱，偶對稱，M為奇數(shù)為奇數(shù)M=3hk奇對稱，奇對稱，M為偶數(shù)為偶數(shù)M=4hk奇對稱，奇對稱，M為奇數(shù)為奇數(shù)M=3jj0.5(e)( )eMHAWWW其中其中 L=M/2WWWkkakkLhLhALkLkcoscos2)(01012340.51j0.50e2 cos(0.5)0.5MMkh kMkhMWW0.51jj()j0.50

4、 (ee)0.5eMkMkMkh khM W WW/2 1jj/2j0/2 1 e/2e eMMkMkkk Mh kh Mh k W W W頻域特性證明頻域特性證明kMkkhkhHWWj0je DTFT)e (0.5j0.51e 0.52 0.5cosMMkhMhMkkWW利用對稱性利用對稱性hk=hM k利用歐拉公式利用歐拉公式改寫改寫jj()j0.5j(0.5)j(0.5)eee(ee)kMkMMkMk W WW W0.50.5 cos(0.5)0.5cos=nMkkMnh kMkhMnnWW令例例1：h k=1,2, 1, M=2je( 12 0cos)hh WW2/cos4e2jWWp

5、 p2p ppp40A(W W) 2p p)2(WA)(WA)(WA)(WAA (W W)關(guān)于關(guān)于0和和p p 點(diǎn)偶對稱點(diǎn)偶對稱)2(WA)(WAA(W W)0.5jj0.51(e)e 0.52 0.5cosMMkHhMhMkkWWWA (W W)的周期的周期= 2p pjj0.5(e )( )eMHAWWW0 cos(0.5) Lkb kkW)5 . 0cos(2)(0WWkkLhALk其中其中: L=(M 1)/2j/2ecos(/2) WW例例2：h k=0.5,0.5, M=10 012p2pA (W W)A (W)的周期的周期= 4pA (W W)A (p )=0A(W W)關(guān)于關(guān)于

6、W W =p p 點(diǎn)奇對稱點(diǎn)奇對稱)(WA)(WA)2(WA)(WA(1)/2jj0.50(e )e2 (1)/2cos(0.5) MMkHh MkkWWWj/2e2 0cos(0.5)h WWjj(0.50.5)(e )( )eMHAWWW其中其中 L=M/21()2 sin()LkAh LkkW W01234jjsin( )e WW例例3: h k=0.5,0, 0.5, M=20A (W W)12 2p pp pA (W W)的周期的周期= 2p pA (0 0 )= A (p p ) =0A(W W )關(guān)于關(guān)于W W =0,p p 點(diǎn)奇對稱點(diǎn)奇對稱)(WA)(WA)2(WA)(WA0.

7、5jj(0.50.5)1(e)e2 0.5sin()MMkHhMkkWWW1j(0.5)1e2 1sin()khkk WWjj(0.50.5)(e )( )eMHAWWW其中其中 L=(M 1)/20()2 sin(0.5) )LkAh LkkW Wj0.5jsin(0.5 )eWW例例4：h k=0.5, 0.5, M=10 0A (W W )12p2p2p2pA (W)的周期的周期= 4pA (0 ) =0A(W W )關(guān)于關(guān)于W W =0點(diǎn)奇對稱，點(diǎn)奇對稱，關(guān)于關(guān)于W W =p點(diǎn)偶對稱點(diǎn)偶對稱)(WA)(WA)2(WA)(WAjj(0.50.5)0(e )e2 sin(1/2) )LkH

8、h LkkWWWA (W W)(e)e ()5 . 0j(jWWWAHM類型類型IIIIIIIV階數(shù)階數(shù)M偶偶奇奇偶偶奇奇hk的對稱性的對稱性偶對稱偶對稱偶對稱偶對稱奇對稱奇對稱奇對稱奇對稱A(W W)關(guān)于關(guān)于W0 W0 的對稱性的對稱性偶對稱偶對稱偶對稱偶對稱奇對稱奇對稱奇對稱奇對稱A(W W)關(guān)于關(guān)于WW p p 的對稱性的對稱性偶對稱偶對稱奇對稱奇對稱奇對稱奇對稱偶對稱偶對稱A(W W)的周期的周期2p p4p p2p p4p p 000.5p p0.5p pA (0 0)任意任意任意任意00A(p p )任意任意00任意任意可適用的濾波器類型可適用的濾波器類型LP,HP,BP,BSLP

9、, BP微分器微分器, ,Hilbert變換器變換器微分器微分器, ,Hilbert變換器，變換器，HP通用公式：通用公式：kMhkh)()(1zHzzHM1、z=0不可能是系統(tǒng)的零點(diǎn)；不可能是系統(tǒng)的零點(diǎn)；2、zk是系統(tǒng)的零點(diǎn)，則是系統(tǒng)的零點(diǎn)，則zk 1也是系統(tǒng)的零點(diǎn)。也是系統(tǒng)的零點(diǎn)。若若hk是是實(shí)序列實(shí)序列，則，則H(z)的零點(diǎn)有：的零點(diǎn)有：,ejkkkrz,ej*kkkrz,ej11kkkrzkkkrzj11e)*(偶多項(xiàng)式偶多項(xiàng)式奇多項(xiàng)式奇多項(xiàng)式1( )()MH zzH z1( )()MH zzH z 和和型型和和型型由以上可由以上可以看出：以看出：432111)( zazbzazzHR

10、e(z)Im(z)kkkrzjeRe(z)Im(z)2121)( zazzHkkkrzjeRe(z)Im(z)2131)( zazzHkkkrzjeRe(z)Im(z)14( )1Hzz kkkrzje14( )1Hzz (1) I 型型FIR濾波器濾波器(H(z)為為偶對偶對稱稱，M為偶為偶數(shù)數(shù)) 在在zk=1和和zk= 1無零點(diǎn)或者有偶數(shù)個零點(diǎn)無零點(diǎn)或者有偶數(shù)個零點(diǎn)。(2) II 型型FIR濾波器濾波器(H(z)為為偶對偶對稱稱，M為奇為奇數(shù)數(shù)) 在在zk=1無零點(diǎn)或有偶數(shù)個零點(diǎn)，無零點(diǎn)或有偶數(shù)個零點(diǎn)，zk= 1有奇數(shù)個零點(diǎn)有奇數(shù)個零點(diǎn)。(3) III 型型FIR濾波器濾波器(H(z)為奇

11、為奇對對稱稱，M為偶為偶數(shù)數(shù)) 在在zk=1和和zk= 1有奇數(shù)個零點(diǎn)。有奇數(shù)個零點(diǎn)。(4) IV 型型FIR濾波器濾波器(H(z)為奇為奇對對稱稱，M為奇為奇數(shù)數(shù)) 在在zk=1有奇數(shù)個零點(diǎn)，有奇數(shù)個零點(diǎn)，zk= 1無零點(diǎn)或有偶數(shù)個零點(diǎn)無零點(diǎn)或有偶數(shù)個零點(diǎn)。已知已知8階階III型線性相位型線性相位FIR濾波器的部分零點(diǎn)為：濾波器的部分零點(diǎn)為：z1= 0.2，z2=j0.8 (1)試確定該濾波器的其他零點(diǎn)。試確定該濾波器的其他零點(diǎn)。 (2)設(shè)設(shè)h0=1, 求出該濾波器的系統(tǒng)函數(shù)求出該濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。(1) z3=1/ z1= 5; z4=1/ z2= j1.25，z5=z2*= j0.8，z6=z4*= j1.25； z7= 1; z8= 1;(2) 811( )(1)kkH zz z=1 z 85.25.2(z 1 z 7)+ 2.2025 (z 2 z 6) 6.253 (z 3 z 5) 1 5.2 2.20256.253 0 6.2532.202