對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)中形象思維的思考

1、對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)中形象思維的思考攀枝花市十五中 朱國(guó)民 摘要：數(shù)學(xué)是一門思維的科學(xué)，是培養(yǎng)理性思維的重要載體思維過程包括抽象邏輯思維過程和形象思維過程，形象思維 是從具體感知到抽象邏輯思維的過渡和橋梁數(shù)學(xué)形象思維是以表象或形象作為思維的重要材料，以感性認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ)，但又高于感性認(rèn)識(shí)，其高層次之一是數(shù)形結(jié)合 數(shù)學(xué)形象思維是不能完全脫離數(shù)學(xué)抽象邏輯思維的，它需要由抽象邏輯思維來把握與延續(xù) 關(guān)鍵詞：想象 形象思維 抽象邏輯思維 數(shù)形結(jié)合 “數(shù)學(xué)”這個(gè)術(shù)語可以表示一種思維活動(dòng)，即數(shù)學(xué)活動(dòng)本文涉及到的數(shù)學(xué)教學(xué)是指數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué) 所謂形象思維，簡(jiǎn)單地說，就是人腦憑借形象進(jìn)行的思維 一 數(shù)學(xué)極其抽象，難道在這個(gè)抽象

2、思維的王國(guó)里也需要形象思維充當(dāng)他的使臣嗎？ 事實(shí)的確如此，在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)中，抽象邏輯思維和形象思維常常是同時(shí)存在，相互作用的，當(dāng)年笛卡兒（1596-1650）發(fā)明解析幾何就是借助于形象思維，他借助曲線上“點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)”這一想象得到“變量”概念和坐標(biāo)系，把抽象的方程展示為直觀的平面圖形，希爾伯特（1862-1943）在他的名著直觀幾何一書的序言中寫到：“在數(shù)學(xué)中，象在任何科學(xué)研究中那樣，有兩種傾向，一種是抽象的傾向，即從所研究的錯(cuò)綜復(fù)雜的材料中提煉出其內(nèi)在的邏輯關(guān)系，并根據(jù)這些關(guān)系把這些材料作系統(tǒng)的、有條理的處理另一種是直觀的傾向，即更直接的掌握所研究的對(duì)象，側(cè)重他們之間的關(guān)系的具體意義，也可以說領(lǐng)

3、會(huì)他們的生動(dòng)的形象”并且認(rèn)為“具體的直觀”“對(duì)于研究工作有巨大的價(jià)值”希爾伯特所指出的在數(shù)學(xué)活動(dòng)中抽象的和直觀的兩種傾向，是抽象邏輯思維和形象思維在數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)方法上的表象和反映在數(shù)學(xué)教學(xué)中，根據(jù)數(shù)學(xué)研究的特點(diǎn)，在培養(yǎng)學(xué)生的思維能力方面，重要的當(dāng)然是抽象邏輯思維能力的培養(yǎng)但是，鐘善基教授認(rèn)為：“即使在抽象思維的過程中，也常配合著抽象概念所反映的對(duì)象的個(gè)別具體形象進(jìn)行觀察，才容易獲得結(jié)果更何況抽象的概念、關(guān)系的獲得又常來自對(duì)所反映的對(duì)象的形象的觀察因此，憑借著事物的具體形象來進(jìn)行思維的過程，也是研究數(shù)學(xué)中不可以少的過程這就是通常所說的形象思維的過程這樣，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)于學(xué)生的形象思維能力的培養(yǎng)，也

4、是培養(yǎng)他們思維能力的又一個(gè)重要方面”這個(gè)論斷是十分中肯的我們不妨把數(shù)學(xué)活動(dòng)中的形象思維稱之為數(shù)學(xué)形象思維同樣，我們把數(shù)學(xué)活動(dòng)中的抽象邏輯思維和直覺思維分別稱之為數(shù)學(xué)抽象邏輯思維和數(shù)學(xué)直覺思維 二 數(shù)學(xué)形象思維是從具體感知到數(shù)學(xué)抽象邏輯思維的過渡和橋梁 1、數(shù)學(xué)形象思維是以表象或形象作為思維的重要材料在數(shù)學(xué)中，各種實(shí)物（比如教室中的門、地面、天花板、墻壁、以及上述兩者的交線，天花板上垂直掛著的電燈線等）、符號(hào)、直觀數(shù)據(jù)、立體幾何模型、掛圖、幾何圖形、函數(shù)圖象等所產(chǎn)生的表現(xiàn)象均可認(rèn)為是數(shù)學(xué)表象甚至在引入一般性結(jié)論的過程的開始階段所采用的特殊情況的實(shí)例，也可以認(rèn)為是一種數(shù)學(xué)表象比如，在得出同底數(shù)冪相

5、乘法則過程的第一步，就可運(yùn)用實(shí)例做為具體形象：8384 = 87 8384 = 83+4 這些數(shù)學(xué)表象始終保留著事物的直觀性，或者是實(shí)際形象、或者是具體形象數(shù)學(xué)形象思維就是憑借這些鮮明生動(dòng)的形象來充作從具體感知到數(shù)學(xué)抽象邏輯思維的過渡和橋梁的 2、數(shù)學(xué)形象思維以感性認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ)，但又高于感性認(rèn)識(shí)其思維材料所具有的形象一般不是初級(jí)形象，而是通過抽象邏輯思維的滲透和數(shù)學(xué)語言作物質(zhì)外殼，運(yùn)用典型化的手段概括了的理想化形象例如，“圓”這個(gè)數(shù)學(xué)名詞所依托的數(shù)學(xué)形象，是車輪、圓環(huán)、圓盤等實(shí)際形象的概括，不僅組成圖形的點(diǎn)、線已是從具體的點(diǎn)和線中以純粹的方式抽象出來的，即理想化了，而且可以由此理解他表達(dá)的理想（

6、抽象關(guān)系）是：“圓上各點(diǎn)到中心的距離都是相等的”在表達(dá)這種理想時(shí)，教師為了增強(qiáng)直觀性，往往用一根定長(zhǎng)的繩子，一端用左手固定在黑板上，另一端用右手與粉筆捏在一起在黑板上面畫一周，于是很形象得出圓的定義：“一動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合”這樣，形象支持詞，詞又喚起形象，聯(lián)系詞與定義的中間環(huán)節(jié)便是理想形象 3、形象思維的高層次是藝術(shù)思維，數(shù)學(xué)形象思維作為數(shù)學(xué)思維與形象思維的交集，一般不是數(shù)學(xué)思維的最高層次，而往往是數(shù)學(xué)抽象邏輯思維的前提直觀化，便是憑借數(shù)學(xué)形象思維從具體形象上升到抽象結(jié)論的輔助手段直觀化的過程，既是形成抽象結(jié)論的開始階段，又是數(shù)學(xué)形象思維的過程，因而有利于數(shù)學(xué)形象思維的發(fā)展（

7、同樣，數(shù)學(xué)直覺思維又必須以數(shù)學(xué)抽象邏輯思維和數(shù)學(xué)形象思維為前提在數(shù)學(xué)抽象邏輯思維到數(shù)學(xué)直覺思維也有直觀化問題，即必有形象思維問題） （1）直觀化的形式之一：恰當(dāng)?shù)厥褂弥庇^教具 例如，在平面幾何入門教學(xué)中，在線段、射線、直線一節(jié)里，課本從學(xué)生所熟悉的實(shí)例出發(fā)，描述性地抽象出線段的形象，然后再引進(jìn)抽象的射線和直線的概念學(xué)生對(duì)線段的概念容易理解，但對(duì)射線和直線兩個(gè)概念卻難以理解，其主要障礙是“無限延伸”的意義，這是學(xué)生第一次遇到的有經(jīng)驗(yàn)的教師，常常是借助線段的形象，對(duì)射線和直線做如下解釋：把直尺擺在線段所在的位置上，向一方或向兩方延伸，要多長(zhǎng)就多長(zhǎng),不受限制這樣，便形象地幫助學(xué)生弄清了線段與射線、直

8、線之間的本質(zhì)區(qū)別，即有限與無限又例如，在立體幾何教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)立體模型的觀察或?qū)淌抑芯€與線、線與面、面與面位置關(guān)系的觀察比如，用教室門各個(gè)旋轉(zhuǎn)面與地面垂直為例引入面面垂直判定定理；利用照相機(jī)的三角架引入“不在同一直線上的三點(diǎn)確定一平面”的幾何公理在平面解析幾何課中，利用直觀教具的演示引入橢圓、雙曲線、拋物線的定義在代數(shù)課中，用楊輝三角引入二項(xiàng)式定理的證明；列方程解有關(guān)行程、配比工作量等方面的應(yīng)用題時(shí)，用畫線段來表示有關(guān)的數(shù)量關(guān)系等等 （2）直觀化的形式之二：數(shù)形結(jié)合 數(shù)形結(jié)合能使較為抽象的數(shù)量關(guān)系通過幾何圖形的性質(zhì)反映出來，使抽象的概念、關(guān)系得以形象化，從而有利于分析、發(fā)現(xiàn)和理解數(shù)形結(jié)合

9、還是數(shù)學(xué)中的重要思想方法，在解某些數(shù)學(xué)題時(shí)往往能用形的直觀來啟迪數(shù)的計(jì)算，用數(shù)的準(zhǔn)確來澄清形的模糊加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的訓(xùn)練 ，無疑有助于教學(xué)形象思維的發(fā)展例1 ：橢圓c方程為 + = 1,確定m的取值范圍，使對(duì)于直線l:y=3x+m,c上有兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱 分析： 這類對(duì)稱問題常用判別式法求解，但計(jì)算太繁若適當(dāng)利用圖形這個(gè)具體形象，則由于幾何意義清晰，為由數(shù)學(xué)形象思維過渡到數(shù)學(xué)抽象邏輯思維準(zhǔn)備了良好條件，計(jì)算就容易多了 解：設(shè)c上兩點(diǎn)P1（x1,y1）、P2(x2,y2)關(guān)于直線l對(duì)稱，顯然中點(diǎn)M（x,y）在l上，且斜率k= - 2(x1+x2)(x1-x2)+3(y1+y2)(y1-y2)=0 2 2x+3 2y (- )=0 2x-y=0聯(lián)立 得M（-m,-2m）中點(diǎn)M在橢圓C的內(nèi)部 + 1m (- , )說明：上述解法的關(guān)鍵是最后一步，即由形到數(shù) 例2：x，y滿足25x29(y 2)2225， 求函數(shù)t = 的值域分析：如圖，由題設(shè)可知，動(dòng)點(diǎn)p(x，y)在橢圓 += 1 內(nèi)部(包括邊界)，在直角坐標(biāo)系中取定點(diǎn)C(0，-5)，由圖可知，t可以看作是點(diǎn)p與點(diǎn)C的距離當(dāng)點(diǎn)p與橢圓的上頂點(diǎn)B2重合時(shí)，t取得最大值12；當(dāng)點(diǎn)p與橢圓的下頂點(diǎn)Bl重合時(shí)，t取得最小值2故原函數(shù)的值域