牛頓-萊布尼茨公式的詳細(xì)證明

1、牛頓一萊布尼茨公式、尸、 亠刖言此證明主要是獻(xiàn)給那些無論如何， 竭斯底里都想知道自已手上這條無與倫比 公式背后的秘密的高中生。公式的證明首先是從定積分的基本性質(zhì)和相關(guān)定理的證明開始，然后給出積分上限函數(shù)的定義，最后總攬全局，得出結(jié)論。證明過程會(huì)盡可能地保持嚴(yán)密， 也許你會(huì)不太習(xí)慣，會(huì)覺得多余，不過在一些條件上如函數(shù)f(x)，我們是默認(rèn)可積的。所有證明過程都是為后續(xù)的證明做鋪掂的，都是從最低層最簡(jiǎn)單開始的，所 以你絕對(duì)，注意，請(qǐng)注意，你是絕對(duì)能看懂的，對(duì)于尋求真理的人，你值得看懂! (Ps :如果你不太有耐心，我建議你別看了，因?yàn)檫@只會(huì)讓你吐出垃圾兩個(gè)字)定積分性質(zhì)的證明首先給出定積分的定義：設(shè)

2、函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，我們?cè)趨^(qū)間a,b上插入n-1個(gè)點(diǎn)分成n個(gè)區(qū)間a,x i,x i,x2Xn,Xn-i，其中 xo=a， xn=b，第 i 個(gè)小區(qū)間？ Xi =Xi-x i-1 (i=1,2n)。由它的幾何意義，我們是用無數(shù)個(gè)小矩形的面積相加去模擬它的面積，因此任一 個(gè)小矩形的面積可表示為？ S=f( i) ? xi ,為此定積分可以歸結(jié)為一個(gè)和式的極限 a f(x)dx limf( i) xi極限an j 即：babf (x)dxa性質(zhì)1 ：證明 c dx = C(b-a)，其中C為常數(shù).nXnXn i)lim f( i) xilimc(xi xo X2 xin 彳ni 1lim

3、c(xn xo) c(b a)n幾何上這就是矩形的面積性質(zhì)2: F(x)和G(x)為函數(shù)z(x)的兩個(gè)原函數(shù)，證明F(x)=G(x)+C,C為常數(shù).設(shè)K(x)=F(x)-G(x)定義域?yàn)镵,F (x) K(x)G(x) z(x)F (x) G(x) z(x) z(x) 0K(x)lim K(x x) K(x) 0x 0x即對(duì)任意的x K,都存在一個(gè)以| x |為半徑的區(qū)間,使得K(x+ x)=K(x)函數(shù)值在K內(nèi)處處相等，K(x)=C K(x)為一直線即：F(x)-G(x)=Cg(x)dxb性質(zhì) 3:如果 f(x) g(x)，則 a f(x)dX設(shè) k(x)=f(x)-g(x), 有 k(x)

4、 0.bnk(x)dx limk( i) Xi 0丨 ani 1b即 k(x)dxabf(x) g(x)dxabf (x)dxag(x)dxf (x)dxg(x)dx相關(guān)定理的證明介值定理：設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，當(dāng)x a,b,取m為f(x)的最小值，M為f(x)的最大值,對(duì)于任意的一個(gè)介于 mM的數(shù)C,至少存在一點(diǎn)& (a,b),有f( & )=C證明：運(yùn)用零點(diǎn)定理：設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，若f(a)*f(b)0,則至少存在一點(diǎn)& (a,b),有f( & )=0設(shè) x1,x2 a,b,且 x1x2,f(x1)=m,f(x2)=M,g(x)=f(x)-C, 其中 mCM則：g(x1)=

5、f(x1)-C0即：g(x1)*g(x2) f( )=CPs:在這里，零點(diǎn)定理在高中應(yīng)該有介紹，很美妙的一個(gè)定理，在幾何上有明顯 的意義，通俗的理解是：有兩個(gè)點(diǎn)，一個(gè)大于0 (在x軸上方)，一個(gè)小于0(在x軸下方)，要用一條連續(xù)的線把它連起來，那么勢(shì)必至少會(huì)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)。嚴(yán)格的證明這里就不了，其實(shí)我也不太懂，有興趣的可以上網(wǎng)查 查.積分中值定理：若函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù)，則在區(qū)間a, b 上至 少b存在一個(gè)點(diǎn) (a,b),有 af(x)dx f( )(b a)幾何意義：曲線所圍成的面積總有一個(gè)以積分區(qū)間為長(zhǎng)的矩形面積與之相等設(shè)f(x)在區(qū)間a, b的最大值為 M,最小值為 m 即:me f(x) 0時(shí)，-x(x) lim0f( ) f(x)0通往真相的最后一步證明：bf (x)dx F(b) F(a)a設(shè)F(x)為f(x)的原函數(shù)1 1t (x)xf (t)dt也是f(x)的一個(gè)原函數(shù) a由性質(zhì)2： f(x)的任意兩個(gè)原函數(shù)之間相差一個(gè)常數(shù)C,有F(x)(x)C:F(b)(b)C F(a)(a) CF(b)F(a)(b)abaf (t)dtf (t)dt