高中三年級(jí)總復(fù)習(xí)直線與圓的方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與典型例題

1、、直線的方程直線與圓的方程1、2、已知L上兩點(diǎn)Pi （xi,y 1）0=0。=0=0.下載可編輯不存在P2(X2,y 2)k=3X2X10當(dāng) Xi = x2 時(shí)， =90不存在。當(dāng) 0時(shí),=arctank0時(shí),+arctank3、4、橫縱截距都為0。x、y的二元一次方程。6、三點(diǎn)共線的判定：AB BC AC , Ka廣Kbc,已知方程說(shuō)明斜截式K、bY=kx+b不含y軸和行平 于y軸的直線點(diǎn)斜式Pi=(xi,y i )ky-y i=k(x-x i)不含y軸和平行 于y軸的直線兩點(diǎn)式Pi(xi,y i)P2(x2,y 2)y yix x1y2yix2x不含坐標(biāo)輛和 平行于坐標(biāo)軸 的直線截距式a、

2、bx y 1 a b不含坐標(biāo)軸、平 行于坐標(biāo)軸和 過(guò)原點(diǎn)的直線一M式Ax+by+c=0A、B不同H為0 1y軸：x=0兩個(gè)重要結(jié)論：平面內(nèi)任何一條直線的方程都是關(guān)于截距（略）曲線過(guò)原點(diǎn) 直線方程的幾種形式幾種特殊位置的直線x軸：y=0平行于x軸：y=b平行于y軸：x=a過(guò)原點(diǎn)：y=kx任何一個(gè)關(guān)于x、y的二元一次方程都表示一條直線。5、直線系：（1）共點(diǎn)直線系方程：p。（x0,y 0）為定值，k為參數(shù)y-y 0=k （x-x。） 特別：y=kx+b,表示過(guò)（0、b）的直線系（不含 y軸）（2）平行直線系：y=kx+b , k為定值，b為參數(shù)。AX+BY人=0表示與 Ax+By+C=0平行的直線

3、系BX-AY叭=0表示與 AX+BY+圓直的直線系（3）過(guò) Li,L2交點(diǎn)的直線系 Aix+By+C+入（A2X+BY+G） =0 （不含 L2）寫出過(guò)其中兩點(diǎn)的方程，再驗(yàn)證第三點(diǎn)在直線上。、兩直線的位置關(guān)系1、L1: y=k1X+b1L2: y=k2X+b2L1： A1X+BY+C=0L2： A2X+BY+C=0L1與L2組成的方程組平行K =k2 JiL b 豐 bz3邑qA2B2C2無(wú)解重合K=k2且 b1=b2AB1C1A2B2C2后無(wú)數(shù)多解相交K w k2A1B1a2b2有唯一解垂直K1 - k2 =-1A1A2+BiB2=0（說(shuō)明：當(dāng)直線平行于坐標(biāo)軸時(shí)，要單獨(dú)考慮）2、Li 到 L

4、2的角為 0,則 tank2 k1（k1k21：1 k2?k13、夾角：tan-k旦|1 k2kjAx0 By0 c4、點(diǎn)到直線距離：d 0,一 （已知點(diǎn)（p0（X0,y 0） , L: AX+BY+C=022A B兩行平線間距離：L產(chǎn)AX+BY+G0 L 2： AX+BY+合。d A2 B2與AX+BY+C=0F行且距離為d的直線方程為 Ax+By+Ci dx;，A2 B20與AX+BY+C=0和AX+BY+C=0平行且距離相等的直線方程是Ci C2AX BY 2 025、對(duì)稱：（1）點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：p（xi,yi）關(guān)于M（X0,y。）的對(duì)稱P （2X0 X1,2Y0 Yi）（2）點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)

5、稱：設(shè) p（a、b）對(duì)稱軸對(duì)稱點(diǎn)p對(duì)稱軸對(duì)稱點(diǎn)pX軸P（a、b）Y=-xP（ b、a）Y軸P （ a、b）X=m（mt 0）p （2m a、b）y=xP （b、 a）y=n（n 豐 0）p （a、2n b）般方法:如圖：（思路1）設(shè)P點(diǎn)關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)為Po（x 0,y 0）0 * K_= 一 1Kpptp, P0中點(diǎn)滿足L方程解出 Po（xo,y 0）（思路2）寫出過(guò)P L的垂線方程，先求垂足，然后用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出 Po（x o,y o）的坐標(biāo)。P（3）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱L: AX+BY+C=0點(diǎn) P （%、Y0）的對(duì)稱直線 l : A （2Xo-X） +B（2Y0-Y） +C=0（4）直線關(guān)于

6、直線對(duì)稱幾種特殊位置的對(duì)稱：已知曲線 f（x、y）=0關(guān)于x軸對(duì)稱曲線是 關(guān)于y軸對(duì)稱曲線是 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱曲線是f（x、-y）=0f（-x、y）=0f（-x、-y）=0關(guān)于y=x對(duì)稱曲線是f（y、x）=0關(guān)于y= -x對(duì)稱曲線是f（-y、-x）=0 關(guān)于x=a對(duì)稱曲線是f（2a-x、y）=0 關(guān)于y=b對(duì)稱曲線是f（x、2b-y）=0一般位置的對(duì)稱、結(jié)合平幾知識(shí)找出相關(guān)特征，逐步求解。 三、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃X不等式表示的區(qū)域AX+BY+C=0約束條件、線性約束條件、目標(biāo)函數(shù)、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)劃，可行解，最優(yōu)解。要點(diǎn)：作圖必須準(zhǔn)確（建議稍畫大一點(diǎn)）。線性約束條件必須考慮完整。先找可行域再找最優(yōu)

7、解。四、圓的方程1、圓的方程：標(biāo)準(zhǔn)方程x a 2 （y b） r2, c （a、b）為圓心，r為半徑。一般方程：x2 y2 DX EY F 0,DE .D2 E2 4FC -, 一 , r 222當(dāng)D2 E2 4F 0時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)。當(dāng)D2 E2 4F 。時(shí)，不表示任何圖形。參數(shù)方程：-x ar cosjy b r sin 為參數(shù)以A （Xi, Y）, B （%, Y 為直徑的兩端點(diǎn)的圓的方程是（X-Xi） （X-X2）+ （Y-Yi） （丫-丫2）=02、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：考察點(diǎn)到圓心距離d,然后與r比較大小。3、直線和圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離判定：聯(lián)立方程組，消去一個(gè)未知量，得到一個(gè)

8、一元二次方程：。 相交、4=0相切、r相離（直線與圓相交，注意半徑、弦心距、半弦長(zhǎng)所組成的ktA）4、圓的切線：（1）過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程與圓x2 y2 r2相切于點(diǎn)（xi、yi）的切線方程是xx yy r2與圓（x a）2 （y b）2r2相切于點(diǎn)（xi、yi）的切成方程為：（xi a）（x a） （yi b）（y b） r2與圓x2 y2 DX EY F 0相切于點(diǎn)（xi、yi）的切線是xix yiy D(x-xi) E(y-i) F 0 22p0（x 0 ,y。）是圓(2)過(guò)圓外一點(diǎn)切線方程的求法：已知222a)(yi b) r2a)(xi a) (y0 b)(y1 b)(x a)2 (

9、y b)2 r2 外一點(diǎn)（X設(shè)切點(diǎn)是pi（xi、yi）解方程組 （x0先求出pi的坐標(biāo)，再寫切線的方程設(shè)切線是y y0k（xx0)即 kxy kxy再由ka b kx0 y0,k2 ir ,求出k,再寫出方程。（當(dāng)k值唯一時(shí)，應(yīng)結(jié)合圖形、考察是否有垂直于x軸的切線）已知斜率的切線方程：設(shè)y kx b （b待定），利用圓心到L距離為r,確定b。5、圓與圓的位置關(guān)系由圓心距進(jìn)行判斷、相交、相離(外離、內(nèi)含) 、相切(外切、內(nèi)切)6、圓系或： x2 y2 DX同心圓系：(x a)2 (y b)2 r2, (a、b為常數(shù)，r為參數(shù))EY F 0 ( D、 E 為常數(shù)， F 為參數(shù))222圓心在x 軸：

10、(xa)yr圓心在y 軸：x2(yb)2r2過(guò)原點(diǎn)的圓系方程(x a)2 (y b)2 a2b2過(guò)兩圓C1 : x2 y2 D1XE1Y F10和22C2 : x2 y2 D2X E2Y F20的交點(diǎn)的圓系方程為2222x y DiXEiY Fi入(xy D2XE2YF20 (不含。)，其中入為參數(shù)若Ci 與C2 相交，則兩方程相減所得一次方程就是公共弦所在直線方程。類型一：圓的方程例 i 求過(guò)兩點(diǎn) A(i , 4) 、 B(3 , 2)且圓心在直線 y 0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點(diǎn) P(2 ,4) 與圓的關(guān)系分析： 欲求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出圓心坐標(biāo)的圓的半徑的大小，而要判斷點(diǎn) P 與圓的位置關(guān)

11、系，只須看點(diǎn) P 與圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系，若距離大于半徑，則點(diǎn)在圓外；若距離等于半徑，則點(diǎn)在圓上；若距離小于半徑，則點(diǎn)在圓內(nèi)解法一： (待定系數(shù)法)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (x a)2(y b)2r2 y 0 上，故 b 0 ，圓的方程為(x a)2 y2 r2.又該圓過(guò) A(1,4)、B(3,2)兩點(diǎn).(1 a)2 16 r2(3 a)2 4 r2解之得： a 1 ， r 220 所以所求圓的方程為 (x 1)2 y2 20 解法二：(直接求出圓心坐標(biāo)和半徑)因?yàn)閳A過(guò)A(1,4)、B(3,2)兩點(diǎn)，所以圓心C必在線段AB的垂直平分線l上，又因?yàn)? 2kAB 1,故l的斜率為1,又AB的中

12、點(diǎn)為(2,3),故AB的垂直平分線l的方程1 3為：y 3 x2 即 x y 1 0.又知圓心在直線 y 0上，故圓心坐標(biāo)為 C( 1,0).半徑 r AC| v(1 1)2 42 v 20 .故所求圓的方程為(x 1)2 y2 20 .又點(diǎn)P(2,4)到圓心C( 1,0)的距離為d PC 虱2 1)2 42 25 r .點(diǎn)P在圓外.說(shuō)明：本題利用兩種方法求解了圓的方程，都圍繞著求圓的圓心和半徑這兩個(gè)關(guān)鍵的量，然后根據(jù)圓心與定點(diǎn)之間的距離和半徑的大小關(guān)系來(lái)判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，若將點(diǎn)換成直線又該如何來(lái)判定直線與圓的位置關(guān)系呢？例2求半徑為4,與圓x2 y2 4x 2y 4 0相切，且和直線y

13、0相切的圓的方程.分析：根據(jù)問(wèn)題的特征，宜用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解.解：則題意，設(shè)所求圓的方程為圓C:(x a)2 (y b)2 r2.圓C與直線y 0相切，且半徑為4,則圓心C的坐標(biāo)為C1(a , 4)或C2(a , 4).又已知圓x2 y2 4x 2y 4 0的圓心A的坐標(biāo)為(2,1),半徑為3.若兩圓相切，則 CA 4 3 7或CA 4 3 1 .222222當(dāng) C(a,4)時(shí)，(a 2)(4 1)7，或(a 2)(4 1)1(無(wú)解)，故可得a 2 2 后. 所求圓方程為(x 22J10)2(y4)242,或(x 22W)2(y 4)242.222222(2)當(dāng) Cz(a, 4)時(shí)，(a 2)

14、( 4 1)7 ,或(a 2)( 4 1)1 (無(wú)解),故a 2 2而.，所求圓的方程為(x 2 246)2 (y 4)2 42,或(x 2 2)2 (y 4)242 .說(shuō)明：對(duì)本題，易發(fā)生以下誤解:由題意，所求圓與直線 y 0相切且半徑為 4,則圓心坐標(biāo)為 C(a,4),且方程形如.、2- 2 .2222一2 一2(x a) (y 4)4 .又圓 x y 4x 2y 4 0,即(x 2) (y 1)3 ,其圓心為A(2,1),半徑為3.若兩圓相切，則 CA 4 3.故(a 2)2 (4 1)2 72,解之得a 2 2而.所以欲求圓的方程為(x 2 2J而)2 (y 4)2 42 ,或 (x

15、2 2V10)2 (y 4)2 42.上述誤解只考慮了圓心在直線y 0上方的情形，而疏漏了圓心在直線 y 0下方的情形.另外，誤解中沒(méi)有考慮兩圓內(nèi)切的情況.也是不全面的.例3求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,5),且與直線x 2y 0和2x y 0都相切的圓的方程.分析：欲確定圓的方程.需確定圓心坐標(biāo)與半徑，由于所求圓過(guò)定點(diǎn)A,故只需確定圓心坐標(biāo).又圓與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交角的平分線上.解：圓和直線x 2y 0與2x y 0相切，圓心C在這兩條直線的交角平分線上，又圓心到兩直線 x 2y 0和2x y 0的距離相等.x 制 |x斯 55兩直線交角的平分線方程是x 3y 0或3x y 0 .又圓過(guò)點(diǎn)

16、A(0,5),，圓心C只能在直線3x y 0上.設(shè)圓心C(t,3t) C到直線2x y 0的距離等于 AC2t 3t，t2(3t 5)2 .化簡(jiǎn)整理得t2 6t 5 0.解得：t 1或t 5，圓心是(1,3),半徑為 J5或圓心是(5,15),半徑為55 .，所求圓的方程為(x 1)2 (y 3)2 5或(x 5)2 (y 15)2 125.說(shuō)明：本題解決的關(guān)鍵是分析得到圓心在已知兩直線的交角平分線上,到圓的方程，這是過(guò)定點(diǎn)且與兩已知直線相切的圓的方程的常規(guī)求法.從而確定圓心坐標(biāo)得例4、設(shè)圓滿足：(1)截y軸所得弦長(zhǎng)為2; (2)被x軸分成兩段弧，其弧長(zhǎng)的比為 3:1 ,在滿足條件(1)(2)

17、的所有圓中，求圓心到直線 l: x 2y 0的距離最小的圓的方程.分析：要求圓的方程, 足兩個(gè)條件的圓有無(wú)數(shù)個(gè)， 利用點(diǎn)到直線的距離公式， 的半徑，求出圓的方程.只須利用條件求出圓心坐標(biāo)和半徑，便可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.滿 其圓心的集合可看作動(dòng)點(diǎn)的軌跡，若能求出這軌跡的方程，便可通過(guò)求最小值的方法找到符合題意的圓的圓心坐標(biāo),進(jìn)而確定圓解法一：設(shè)圓心為P(a , b),半徑為r .則P到x軸、y軸的距離分別為 b和由題設(shè)知：圓截x軸所得劣弧所對(duì)的圓心角為 90 ,故圓截x軸所得弦長(zhǎng)為 工2r.2b2又圓截y軸所得弦長(zhǎng)為2.P(a, b)到直線x 2y 0的距離為a 2b|.52b2當(dāng)且僅當(dāng)2b24b

18、24b2b時(shí)取4ab_222(a b )r , 5節(jié),此時(shí)dminba2 1a這時(shí)有 .2b2.a 1a1 或b 1b1又r2 2b2 2故所求圓的方程為(x 1)2 (y 1)2 2或(x 1)2 (y 1)2 2解法二：同解法一，得a 2b2b4b2將a22b275d .4V5bd 5d2.1代入上式得：2b2 45bd 5d2 1 0.上述方程有實(shí)根，故8(5d2 1) 0,.5-d .5,.5將d 代入方程得b 1.5又 2b2 a2 1. a 1 .由a 2b 1知a、b同號(hào).故所求圓的方程為(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22 .說(shuō)明：本題是求點(diǎn)到直線距離最小時(shí)的圓的方程

19、，若變換為求面積最小呢？類型二：切線方程、切點(diǎn)弦方程、公共弦方程例5 已知圓O： x2y2 4 ,求過(guò)點(diǎn)P 2,4與圓O相切的切線.解：點(diǎn)P 2,4不在圓O上，切線PT的直線方程可設(shè)為 y k x 2根據(jù)d r2k 4,1 k23解得k 34一一3所以y 3 x 2 44即3x 4y 10 0因?yàn)檫^(guò)圓外一點(diǎn)作圓得切線應(yīng)該有兩條，可見(jiàn)另一條直線的斜率不存在.易求另一條切線為x 2.說(shuō)明：上述解題過(guò)程容易漏解斜率不存在的情況，要注意補(bǔ)回漏掉的解.本題還有其他解法， 例如把所設(shè)的切線方程代入圓方程，用判別式等于0解決(也要注意漏2cLLCL、一yD?xE2 y F20 相交于AB的方程，但是求兩圓交

20、點(diǎn)坐解).還可以運(yùn)用xox yy r2,求出切點(diǎn)坐標(biāo)x、y的值來(lái)解決，此時(shí)沒(méi)有漏解.222例 6 兩圓 Ci： x y DixEiyFi0 與 C2： xA、B兩點(diǎn)，求它們的公共弦 AB所在直線的方程.分析：首先求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)式求直線 標(biāo)的過(guò)程太繁.為了避免求交點(diǎn)，可以采用“設(shè)而不求”的技巧.解：設(shè)兩圓Ci、C2的任一交點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則有:22x0y0Di x0Eiy0Fi0Dzx。E2V0F20得：(Di D2)x0 (EiE2)y0 Fi F20.A、B的坐標(biāo)滿足方程(D1D2)x (Ei E2)y Fi F20 .，方程(D D2)x (EiE2)y Fi F2

21、0是過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線方程.又過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線是唯一的.，兩圓Ci、C2的公共弦AB所在直線的方程為(Di D2)x (Ei E2)y Fi F2 0 .說(shuō)明：上述解法中，巧妙地避開(kāi)了求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，雖然設(shè)出了它們的坐標(biāo)，但并沒(méi)有去求它，而是利用曲線與方程的概念達(dá)到了目標(biāo).從解題的角度上說(shuō)，這是一種“設(shè)而不 求”的技巧，從知識(shí)內(nèi)容的角度上說(shuō)，還體現(xiàn)了對(duì)曲線與方程的關(guān)系的深刻理解以及對(duì)直線 方程是一次方程的本質(zhì)認(rèn)識(shí).它的應(yīng)用很廣泛.22例7、過(guò)圓x y i外一點(diǎn)M (2,3),作這個(gè)圓的兩條切線 MA、MB ,切點(diǎn)分別是A、B ,求直線AB的方程。練習(xí)：i.求過(guò)點(diǎn)M(3,i),且與圓(x

22、i)2 y24相切的直線l的方程.解：設(shè)切線方程為 y i k(x 3),即kx y 3k i 0圓心（1,0）到切線l的距離等于半徑 2 ,|k 3k 1|解：:圓（x 1）2 y21的圓心為（1,0）,半徑為I5 a,5212218.3.切線萬(wàn)程為 y 1（x 3）,即 3x 4y 13 0,4當(dāng)過(guò)點(diǎn)M的直線的斜率不存在時(shí)，其方程為x 3,圓心（1,0）到此直線的距離等于半徑 2,故直線x 3也適合題意。所以，所求的直線l的方程是3x 4y 13 0或x 3.5 一2、過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與圓 x2 y2 4x 2y 0相切的直線的方程為25解：設(shè)直線方程為y kx,即kx y 0. 圓方程可化為

23、（x 2）2 （y 1）2 ?，圓心2.102k 1, 10為（2, -1）,半徑為 .依題意有）,解得k2,k2 12、，八1為 y 3x或 y - x. 30相切，則a的值為 .3、已知直線5x 12y a 0與圓x2 2x y2類型三：弦長(zhǎng)、弧問(wèn)題例8、求直線l:3x y 6 0被圓C：x2 y2 2x 4y 0截得白弦AB的長(zhǎng).例9、直線3x y 2/3 0截圓x2 y2 4得的劣弧所對(duì)的圓心角為 解：依題意得，弦心距 d 網(wǎng),故弦長(zhǎng)AB 2近2 d22,從而 OAB是等邊三角形，故截得的劣弧所對(duì)的圓心角為AOB .3例10、求兩圓x2 y2 x y 2 0和x2 y2 5的公共弦長(zhǎng)類

24、型四：直線與圓的位置關(guān)系例11、已知直線3x y 2網(wǎng) 0和圓x2 y2 4 ,判斷此直線與已知圓的位置關(guān)系.例12、若直線y x m與曲線y v 4 x2有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù) m的取值范圍.解：.曲線y v4 x2表示半圓x2 y2 4（y 0）, .利用數(shù)形結(jié)合法， 可得實(shí)數(shù)m的取值范圍是 2 m 2或m 2貶.例13圓(x 3)2 (y 3)2 9上到直線3x 4y 11 0的距離為1的點(diǎn)有幾個(gè)?分析：借助圖形直觀求解.或先求出直線11、12的方程，從代數(shù)計(jì)算中尋找解答.解法一：圓(x 3)2 (y 3)29的圓心為。1(3,3)，半徑r 3.設(shè)圓心O1到直線3x 4y 113 3

25、 4 3 110的距離為d ,則d , 2 3 .3242如圖，在圓心 O1同側(cè)，與直線3x 4y 11 0平行且距離為1的直線11與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)符合題意.又r d 3 2 1. 與直線3x 4y 110平行的圓的切線的兩個(gè)切點(diǎn)中有一個(gè)切點(diǎn)也符合題意.符合題意的點(diǎn)共有 3個(gè).解法二：符合題意的點(diǎn)是平行于直線 3x 4y 11 0,且與之距離為 1的直線和圓的交點(diǎn).設(shè)所求直線為 3x 4y m 0,則d m 111,32 42 . m 115,即 m 6,或 m 16,也即11:3x 4y 6 0,或 12：3x 4y 16 0.22設(shè)圓O1：(x 3) (y 3)9的圓心到直線11

26、、12的距離為d1、d2,則d13, d23 3 4 3 16, 3242.1與O1相切，與圓。1有一個(gè)公共點(diǎn)；12與圓。1相交，與圓。1有兩個(gè)公共點(diǎn).即符 合題意的點(diǎn)共3個(gè).說(shuō)明：對(duì)于本題，若不留心，則易發(fā)生以下誤解：、3 3 4 3 11|設(shè)圓心O1到直線3x 4y 11 0的距離為d,則d ，L 2 3.、 3242，圓Oi到3x 4 y 11 0距離為1的點(diǎn)有兩個(gè).顯然，上述誤解中的 d是圓心到直線3x 4y 11 0的距離，d r ,只能說(shuō)明此直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，而不能說(shuō)明圓上有兩點(diǎn)到此直線的距離為 1.到一條直線的距離等于定值的點(diǎn)， 在與此直線距離為這個(gè)定值的兩條平行直線上， 因此

27、題中 所求的點(diǎn)就是這兩條平行直線與圓的公共點(diǎn). 求直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)， 一般根據(jù)圓與直線 的位置關(guān)系來(lái)判斷，即根據(jù)圓心與直線的距離和半徑的大小比較來(lái)判斷.練習(xí) 1 ：直線x1與圓x22ay 0(a 0)沒(méi)有公共點(diǎn)，則 a的取值范圍是解：依題意有a 或 1. a 0 , . 0 a J2 1.練習(xí)2：若直線ykx2與圓(x2)2(y 3)21有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍解：依題意有2 k1,解得04k的取值范圍是(0,一).3練習(xí)3、圓x2 y2 2x4y0上到直線x y0的距離為 2的點(diǎn)共有().以選練習(xí)(A) 1 個(gè)分析：把x2y2 2x(B)4y2V2 ,圓心到直線的距離為C.4、過(guò)

28、點(diǎn)P 3, 4作直線(Q 3個(gè)(D) 4 個(gè)1,V2 ,所以在圓上共有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于 .21 ,當(dāng)斜率為何值時(shí)，直線1與圓C : x 1有公共點(diǎn)，如圖所示.分析：觀察動(dòng)畫演示，分析思路.解：設(shè)直線1的方程為kx3k根據(jù)d3k整理得3k2 4k 0解得類型五：圓與圓的位置關(guān)系 問(wèn)題導(dǎo)學(xué)四：圓與圓位置關(guān)系如何確定？例 14、判斷圓 C1 ： x2 y2 2x 6y 26 0 與圓 C2 : x2 y2 4x 2y 4 0 的位置 關(guān)系，例15：圓x2y22x0和圓x2y2 4y 0的公切線共有 條。解：圓(x1)2y21的圓心為Oi(1,0),半徑ri 1,圓x2(y 2)24的圓心為。2

29、(0, 2),半徑22,.-. IO1O25,ri口3,2口 1. .口 rO1O2I12,，兩圓相交.共有2條公切線。練習(xí)1：若圓x2y22mxm2 4 0 與圓 x2 y2 2x4my 4m28 0 相切，則實(shí)數(shù)m的取值集合是解：.圓(xm)2 y24的圓心為 O1(m,0),半彳5 rl2 ,圓(x 1)2 (y 2m)29 的圓心為。2(1,2m),半徑r23,且兩圓相切，O1O212 或。1。221 ,，q( m 1)2 (2m)2 5 或(m 1)2 (2 m)2 1,解得 m 12 或 m 2,或 m 0 或 55 125m5,.實(shí)數(shù)m的取值集合是,5,0,2.2522：求與圓x

30、2 y25外切于點(diǎn)P( 1,2),且半徑為25的圓的方程.解：設(shè)所求圓的圓心為O1(a,b),則所求圓的方程為 (x a)2 (y b)2 20. 兩圓外切1 1于點(diǎn) P , OP 1OO1 , ( 1,2) 一(a,b)，.一 a 3,b 6 , 所 求圓的方 程為3 1322(x 3)2 (y 6)2 20.類型六：圓中的對(duì)稱問(wèn)題例16、圓x2 y2 2x 6y 9 0關(guān)于直線2x y 5 0對(duì)稱的圓的方程是例17自點(diǎn)A 3,3發(fā)出的光線l射到x軸上，被x軸反射，反射光線所在的直線與圓C: x2 y2 4x 4y 7 0相切(1)求光線l和反射光線所在的直線方程.(2)光線自A到切點(diǎn)所經(jīng)過(guò)

31、的路程.分析、略解：觀察動(dòng)畫演示，分析思路.根據(jù)對(duì)稱關(guān)系，首先求出點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)為3, 3 ,其次設(shè)過(guò) A的圓C的切線方程為根據(jù)dr,即求出圓C的切線的斜率為4 、k 或 k -3進(jìn)一步求出反射光線所在的直線的方程為4x 3y 3 0 或 3x 4y 3 0最后根據(jù)入射光與反射光關(guān)于 x軸對(duì)稱，求出入射光所在直線方程為光路的距離為 AM ,可由勾股定理求得 AMACCM4x 3y 3 0或 3x 4y說(shuō)明：本題亦可把圓對(duì)稱到 x軸下方，再求解.類型七：圓中的最值問(wèn)題例 18：圓 x2 y24x 4y 10 0上的點(diǎn)到直線x140的最大距離與最小距離的差是解:圓(x 2)22(y 2)18

32、的圓心為(2,2),半徑r3/2, 圓心到直線的距離102(dr)(d r)2r 6.2.，直線與圓相離，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是19 (1)已知圓O1：(x 3)2 (y 4)2 122 .P(x,y)為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，求d x y的最大、最小值.(2)已知圓O2：(x 2)2 y2 1, P(x, y)為圓上任一點(diǎn).求 上一2的最大、最小值,x 1求x 2 y的最大、最小值.分析：（1）、（2）兩小題都涉及到圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形結(jié)合解決.解：（1）（法1）由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x 3）2 （y 4）2可設(shè)圓的參數(shù)方程為x 3 cos , (y 4 sin ,是參

33、數(shù)）22_2 一 一. 2則d x y 9 6 cos cos 16 8 sin sin4426 6cos 8sin 26 10cos( )(其中 tan ). 3所以 dmax 26 10 36, dm.26 1016.（法2）圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值d1等于圓心到原點(diǎn)的距離d1加上半徑1,圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值2等于圓心到原點(diǎn)的距離d1減去半徑1.所以 d1，32 421 6.d2 ，32 42 1 4.所以 dmax 36. dm.、上 22x 2 cos ,(2)(法1)由(x 2)2 y2 1得圓的參數(shù)方程：是參數(shù).y sin ,則 X2 sin2 令sin2 tx 1 cos 3

34、 cos 3得 sin tcos2 3t , Ji t2 sin() 2 3t2 3t ./一* sin() 1V1t2|3 ,3 t 3 、344所以tmax3.3，t min43 .34y 2鉆白一/古4 33 曰/古4 33即-的最大值為 ,最小值為 x 144此時(shí) x 2y 2 cos 2sin 2 v15 cos（ ）.所以x 2y的最大值為 2 5 ,最小值為2 近.（法2）設(shè) 上2 k ,則kx y k 2 0 .由于P（x,y）是圓上點(diǎn)，當(dāng)直線與圓有交點(diǎn)時(shí)，如圖所示,兩條切線的斜率分別是最大、最小值.2k k 23 V3由d ,1 1,得k .,1 k24y 23 .33 .3

35、所以-的最大值為 ,最小值為 .x 144令x 2y t,同理兩條切線在 x軸上的截距分別是最大、最小值.,2 m廠由d 1 ,得m 2 V5 .5所以x 2y的最大值為 2 J5 ,最小值為2 5 .例 20：已知 A( 2,0) , B(2,0),點(diǎn) P在圓(x 3)2(y4)24 上運(yùn)動(dòng)，則 |PA2 | PB 2的最小值是 .解：設(shè) P(x,y),則 PA2 |PB|2 (x2)2 y2 (x2)2y22(x2 y2) 8 2 OP 2 8.、一一 、一 一 .、 一，22-設(shè)圓心為 C(3,4),則 OP|min |OC r 5 2 3，PA PB 的最小值為 2 32 8 26.練

36、習(xí)：1：已知點(diǎn)P(x, y)在圓x2 (y 1)21上運(yùn)動(dòng).(1)求)二的最大值與最小值；(2)求2x y的最大值與最小值.x 2解：(1)設(shè)上 k,則k表示點(diǎn)P(x, y)與點(diǎn)(2, 1)連線的斜率.當(dāng)該直線與圓相切時(shí)， x 2,2k .一 3 y 13 口 ,k取得最大值與最小值 .由1 ,斛仔k ,的取大值為 ,取小. k2 13 x 23值為.3(2)設(shè)2x y m,則m表示直線2x y m在y軸上的截距.當(dāng)該直線與圓相切時(shí)， m1m.一取得最大值與最小值.由1,解得m 1 回，2x y的最大值為1 55,最小、5值為15.2設(shè)點(diǎn)P(x, y)是圓x2 y2 1是任一點(diǎn)，求u 上二的取

37、值范圍.x 1分析一：利用圓上任一點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)代替x、y ,轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題來(lái)解決.一點(diǎn) P(cos , sin )0,2 )u sin 2(tan u)解法一：設(shè)圓x2 y2 1上任則有 x cos , y sinsin 2 u , u coscos 1-1 u cos sin (u 2).sin( )又 sin(解之得：u分析二：u(u 2)即 u2 1sin( ) u 2134y 2 . 、 一 ，一 22- 的幾何意義是過(guò)圓 x y1上一動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)(1,2)的連線的斜x 1率，利用此直線與圓x2 y2 1有公共點(diǎn)，可確定出u的取值范圍.解法二：由u衛(wèi)一2得：y 2 u(x 1),此直線與

38、圓 x2 y2 1有公共點(diǎn)，故點(diǎn) x 1(0,0)到直線的距離d 1 .解得：u22另外，直線u(x 1)與圓x y1的公共點(diǎn)還可以這樣來(lái)處理:(u2 4u 3) 0,y 2 u(x i)222由 22 消去 y后得：(u2 1)x2 (2u2 4u)xx2 y21此方程有實(shí)根，故(2u2 4u)2 4(u2 1)(u2 4u 3) 0,13解之得：u 3.4說(shuō)明：這里將圓上的點(diǎn)用它的參數(shù)式表示出來(lái)，從而將求變量u的范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)來(lái)求解.或者是利用其幾何意義轉(zhuǎn)化成斜率來(lái)求解，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)捷方便.223、已知點(diǎn) A( 2, 2), B( 2,6), C(4, 2),點(diǎn) P 在圓

39、 x2 y2 4 上運(yùn)動(dòng)，求 pa| pb|pc的最大值和最小值.類型八：軌跡問(wèn)題例21、基礎(chǔ)訓(xùn)練：已知點(diǎn) M與兩個(gè)定點(diǎn)0(0,0),A(3,0)的距離的比為1,求點(diǎn)M的軌跡2方程.例22、已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4, 3),端點(diǎn)A在圓(x 1)2 y2 4上運(yùn)動(dòng)，求 線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.例23如圖所示，已知圓 0： x2y2 4與y軸的正方向交于A點(diǎn)，點(diǎn)B在直線y 2上運(yùn)動(dòng)，過(guò)B做圓。的切線，切點(diǎn)為C,求 ABC垂心H的軌跡.分析：按常規(guī)求軌跡的方法， 設(shè)H (x , y),找x, y的關(guān)系非常難.由于H點(diǎn)隨B , C 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，可考慮 H, B, C三點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系.解

40、：設(shè) H(x, y), C(x , y),連結(jié) AH , CH ,則 AH BC, CH AB, BC是切線 0C BC ,所以 OCAH, CHOA, OA OC ,所以四邊形AOCH是菱形._所以 CH| OA 2,得 y y , x x.22 一又 C(x , y )滿足 x y 4,所以x2 (y 2)2 4(x 0)即是所求軌跡方程.說(shuō)明：題目巧妙運(yùn)用了三角形垂心的性質(zhì)及菱形的相關(guān)知識(shí).采取代入法求軌跡方程.做題時(shí)應(yīng)注意分析圖形的幾何性質(zhì)，求軌跡時(shí)應(yīng)注意分析與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的點(diǎn)，如相關(guān)聯(lián)點(diǎn)軌跡方程已知，可考慮代入法.類型九：圓的綜合應(yīng)用例24、已知圓x2 y2 x 6y m 0與直線x

41、2y 3 0相交于P、Q兩點(diǎn)，。為原點(diǎn)，且OP OQ ,求實(shí)數(shù)m的值.分析：利用幾何法求解，或利用轉(zhuǎn)移法求解，或利用參數(shù)法求解.解法一：如圖，在矩形APBQ中，連結(jié)AB , PQ交于M，顯然OM AB , AB PQ ,在直角三角形 AOM中，若設(shè)Q(x, y),則M(a ,b). 22由 om|2 am|2 OA2,即x a 2 y b 21222(-2-)r)-(x a) (y b) r，也即x2 y2 2r2 (a2 b2),這便是Q的軌跡方程.222222解法二：設(shè)Q(x,y)、A(x1,yJ、B(x2,y2),則 y r , x?y r .又 PQ2 AB2 ,即/2,，2,2,2-

42、2(x a) (y b)(x x?)(yi 力)2r2(x1x2 .y).又AB與PQ的中點(diǎn)重合，故x a x1 x2, y b y1 y2 ,即,、222(x a) (y b) 2r2(x1x2 y1y2) 十，有 x2 y2 2r2 (a2 b2).這就是所求的軌跡方程.解法三： 設(shè) A(r cos , r sin )、 B( r cos , r sin )、 Q(x , y),由于APBQ為矩形，故 AB與PQ的中點(diǎn)重合，即有x a r cos r cos ,y b rsin r sin ,又由PA PB有Lsnb Lsnb1r cos a r cos a聯(lián)立、消去 、，即可得Q點(diǎn)的軌跡

43、方程為x2 y2 2r2 (a2 b2).說(shuō)明：本題的條件較多且較隱含， 解題時(shí)，思路應(yīng)清晰，且應(yīng)充分利用圖形的幾何性質(zhì)， 否則，將使解題陷入困境之中.本題給出三種解法. 其中的解法一是幾何方法，它充分利用了圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系.而解法二與解法三，從本質(zhì)上是一樣的，都可以稱為參數(shù)方法.解法二涉及到了x1、x2、y1、222 一y2四個(gè)參數(shù)，故需列出五個(gè)方程；而解法三中，由于借助了圓x y r的參數(shù)方程，只涉及到兩個(gè)參數(shù) 、，故只需列出三個(gè)方程便可.上述三種解法的共同之處是，利用了 圖形的幾何特征，借助數(shù)形結(jié)合的思想方法求解.練習(xí)：1、由動(dòng)點(diǎn)P向圓x2 y2 1引兩條切線PA、PB,切點(diǎn)分別為

44、A、B, APB=600,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是.解：設(shè) P(x, y) . APB =600, . OPA =300.OA AP , OP 2OA 2 , Jx2 y2 2,化簡(jiǎn)得x2 y2 4,，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是x2 y2 4.練習(xí)鞏固：設(shè)A( c,0), B(c,0)(c 0)為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到A點(diǎn)的距離與到 B點(diǎn)的距離的比0),得_(x_c)2_y2.(x c)2 y2為定值a(a 0),求P點(diǎn)的軌跡.一PA解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(x, y).由a(aPB化簡(jiǎn)得(1 a2)x2 (1 a2)y2 2c(1 a2)x c2 (1 a2) 0.當(dāng) a 1 時(shí)，化簡(jiǎn)得 x2 y2 2c(1

45、a2)x c2 0,整理得(x Lc)2 y2 (二空)2;1 aa 1a 1當(dāng)a 1時(shí)，化簡(jiǎn)得x 0.1 a22ac所以當(dāng)a 1時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是以(，c,0)為圓心，-2為半徑的圓；當(dāng)a 1時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是y軸.2、已知兩定點(diǎn) A( 2,0), B(1,0),如果動(dòng)點(diǎn)P滿足PA 2PB ,則點(diǎn)P的軌跡所包圍的面積等于解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x, y).由PA 2PB ,得&x 2)2 y22d(x 1)2 y2 ,化簡(jiǎn)得(x 2)2 y2 4, 點(diǎn)P的軌跡是以(2, 0)為圓心，2為半徑的圓，所求面積為4 .24、已知定點(diǎn)B(3,0),點(diǎn)A在圓x2y 1上運(yùn)動(dòng)，M是線段AB上的一點(diǎn)，且1、一，、

46、口八AM -MB ,問(wèn)點(diǎn)M的軌跡是什么?3解：設(shè)1 -M (x, y), A(x1, y1). / AM - MB , (x x1, y 31W) 1(3 x, y), 31x x1- (3 x) x13.1y y13 yy11.點(diǎn)A在圓x2222y 1上運(yùn)動(dòng)，x1y11,(4x 1)2 (4y)21,即(x 3)2 y23349, 點(diǎn)M的軌跡方程是(x 3)2 y2 16416AOB的平分線交 AB于點(diǎn)M ,例5、已知定點(diǎn)B(3,0),點(diǎn)A在圓x2 y21上運(yùn)動(dòng),則點(diǎn)M的軌跡方程是 .解：設(shè) M (x, y), A(xi, y1). ., OM 是 AOB 的平分線，仍叫 IOA LAM-

47、1MB.MB OB 33由變式1可得點(diǎn)M的軌跡方程是(x 3)2 y2.416練習(xí)鞏固：已知直線 y kx 1與圓x2 y2 4相交于a、B兩點(diǎn)，以O(shè)A、OB為鄰邊 作平行四邊形 OAPB ,求點(diǎn)P的軌跡方程.解：設(shè)P(x,y) , AB的中點(diǎn)為M .; OAPB是平行四邊形， M是OP的中點(diǎn)，點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(x,y),且OMAB. .直線y kx 1經(jīng)過(guò)定點(diǎn)C(0,1) ,，OM CM ,，2 2OM CM (-,-) (-,- 1) (-)2 y(y 1) 0,化簡(jiǎn)得 x2 (y 1)2 1.點(diǎn)P的軌 2 22 222 2跡方程是x2 (y 1)21.類型九：圓的綜合應(yīng)用例25、已知圓x

48、2 y2 x 6y m 0與直線x 2y 3 0相交于P、Q兩點(diǎn)，O為原 點(diǎn)，且OP OQ ,求實(shí)數(shù)m的值.分析：設(shè)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1 , y1)、(x2 , y2),則由p &1 ,可得XiX2 yy2 0 ,再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解.或因?yàn)橥ㄟ^(guò)原點(diǎn)的直線的斜率為Y,由直線l與圓的方程構(gòu)造以 上為未知數(shù)的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出 kP kQ的值，從而使問(wèn)題得以解決.解法一：設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)為(x1 , y1)、(x2 , y2), 一方面，由OP OQ ,得kcP kQ1,即 近 1,也即：x1x2 y1y2 0 .X1 X2x 2y 3 0另一方面，(為，y1)、(x2 , y2)是方程組22的實(shí)數(shù)解，即x1、x2x y x 6y m 0是方程5x2 10x 4m 27 0的兩個(gè)根.c4m 27Xi X22 , X1X2 .51TiV2 萬(wàn)已 Xi)又P、Q在直線x 2y 3 0上,1 _、1 2 (3x2)4 93(X1x2)X1X2將代入，得y1y2 m_J2.5將、代入，解得 m 3,代入方程，檢驗(yàn) 0成立, m 3.解法二：由直線方程可得3 x 2y,代入圓的方程x2 y2 x 6y m 0 ,有2 21m2x2y