2020人教版A數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第8章章末復(fù)習(xí)課

1、章未復(fù)習(xí)課I體系構(gòu)建瓜木也 體田用攝柱、極錐、楂臺(tái)聞柱、圓錐、刪臺(tái)、隙立體圖冊(cè)的直睨用友向就和體積蓑面前唱柱.以臺(tái)1 ®K-匚柱、施、臺(tái) 匣立 體 幾 何 初 步點(diǎn)冉位 間線(xiàn)的系 空訂面美平面的基本性政整理線(xiàn)與面I-EH 1此闿直踐中而直批R有一井點(diǎn)I沒(méi)"公共點(diǎn)行公共直平行關(guān) 系的相 轉(zhuǎn)化系的相 “轉(zhuǎn)化典維XLLU面面 單擰一計(jì)而H線(xiàn)產(chǎn);成的麗|他Hh tT.M阡-亨就的網(wǎng)一fa線(xiàn)打乎其所成的幽1他圃“陰9rll二面死酒圃“叫1浜叫|【例11類(lèi)型空間幾何體的表面積與體積如圖所示的三棱錐O-ABC為長(zhǎng)方體的一角.其中 OA, OB, OC兩兩垂直，三個(gè)側(cè)面OAB, OAC,

2、OBC的面積分別為1.5 cm2，1 cm2，3 cm2,求三棱錐O-ABC的體積.解 設(shè) OA, OB, OC 的長(zhǎng)依次為 x cm, y cm, z cm,111則由已知可得 2xy= 1.5, .xz= 1, 2yz= 3.解彳x x= 1, y= 3, z= 2.將三棱錐O-ABC看成以C為頂點(diǎn)，以O(shè)AB為底面.易知OC為三棱錐C-OAB的高.于是 Vo-abc= Vc-oab=：Saoab OC = ；x 1.5X 2 = 1(cm3). 33規(guī)律方法空間幾何體的表面積與體積的求法：(1)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的 處理.(2)旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題注

3、意其側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用.(3)求復(fù)雜幾何體的體積常用割補(bǔ)法、等積法求解.軟跟蹤訓(xùn)練1.如圖所示，已知三棱柱 ABC-A' B' C',側(cè)面B' BCC'的面積是S, 點(diǎn)A'到側(cè)面B' BCC'的距離是a,求三棱柱ABC-A' B' C的體積.解連接A' B, A C,如圖所示，這樣就把三棱柱分割成了兩個(gè)棱錐.設(shè)所求體積為V,顯然三棱錐A' -ABC的體積是1V. 3而四才8錐A' -BCC' B'的體積為3Sa,故有1V+1Sa= V,即 V=1Sa 332類(lèi)型2) *與球有關(guān)

4、的切、接問(wèn)題【例2】(1)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為6,底面邊長(zhǎng)為4,則該球的表面積為(a 44A.二c 484B.9 7t得冗D. 16 幾(2)一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，如果這個(gè)球的體32積是32九，那么這個(gè)三方s柱的體積是()3A. 96V3B. 16V3 C. 24/3D. 48V3(1)B (2)D (1)如圖，設(shè)PE為正四棱錐P-ABCD的高，則正四棱錐P-ABCD 的外接球的球心。必在其高PE所在的直線(xiàn)上，延長(zhǎng)PE交球面于一點(diǎn)F,連接 AE, AF.由球的性質(zhì)可知FAF為直角三角形且AEXPF,又底面邊長(zhǎng)為4,所以AE = 22, PE =

5、 6,所以側(cè)棱長(zhǎng) PA=PE2 + AE2=462+ 2V2 2 = V44= 2/11.設(shè)球的半徑為 R,則PF=2R.由三角形相似得 PA22一 11 一一211484 7t 一、，=PF PE,即 44 = 2RX 6,解得 R=W，所以 S= 4tR = 4ttX= 一丁，故選339B.(2)由球的體積公式可求得球的半徑R= 2.設(shè)球的外切正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a,高即側(cè)棱長(zhǎng)，為h,則h=2R=4.在底面正三角形中，由正三棱柱的內(nèi)切球特征，有孑3a=R=2,解得a= 4、6.故此三棱柱的體積V=1x坐x (4、/3)2x4 3 222=48.3.規(guī)律方法與球相關(guān)問(wèn)題的解題策略：(1)作適

6、當(dāng)?shù)慕孛?如軸截面等)時(shí)，對(duì)于球內(nèi)接長(zhǎng)方體、正方體，則截面一要過(guò)球心， 二要過(guò)長(zhǎng)方體或正方體的兩條體對(duì)角線(xiàn)，才有利于解題.對(duì)于“內(nèi)切”和“外接”等問(wèn)題，首先要弄清幾何體之間的相互關(guān)系,主要是指特殊的點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的關(guān)系，然后把相關(guān)的元素放到這些關(guān)系中來(lái)解決.II軟跟蹤訓(xùn)練2.若與球外切的圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r, R,則球的表面積為.4#法一：如圖，作DELBC于點(diǎn)E.設(shè)球的半徑為ri,則在RtACDE中, DE = 2ri, CE=Rr, DC = R+r.由勾股定理得 4r2 = (R+r)2 (R r)2,解得 門(mén) = Rr,故球的表面積為 S球=4<2=4 TRr.類(lèi)型3空間

7、點(diǎn)、線(xiàn)、面位置關(guān)系的判斷與證明法二：如圖，設(shè)球心為 O,球的半徑為 門(mén)，連接OA, OB,則在RtAAOB 中，OF是斜邊AB上的高.由相似三角形的性質(zhì)得 OF2=BF AF=Rr,即r2= Rr, 故門(mén)=倔，故球的表面積為S球=4不口【例3】 如圖所示，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直, EF/AC, AB=也，CE = EF=1.(1)求證：AF /平面BDE;求證：CF，平面BDE.證明設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O,連接EO,如圖所示,. EF/AC,且 EF=1, AO=2aC=1,四邊形AOEF為平行四邊形，. AF / OE. OE?平面 BDE, AF?平面 BDE,.A

8、F/ 平面 BDE.(2)連接FO,如圖所示. EF/CO, EF = CO=1,且 CE=1,一四邊形CEFO為菱形，- CFIEO.v四邊形ABCD為正方形，. BDXAC.又平面ACEF，平面ABCD,且平面 ACEFA平面ABCD = AC, .BD,平面 ACEF, .CFIBD.又 BDAEO=O,CF，平面 BDE.規(guī)律方法空間平行、垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化：(1)平行、垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化(2)證明空間線(xiàn)面平行或垂直需注意三點(diǎn) 由已知想性質(zhì)，由求證想判定.適當(dāng)添加輔助線(xiàn)(或面)是解題的常用方法之一.用定理時(shí)要先明確條件，再由定理得出相應(yīng)結(jié)論.跟蹤訓(xùn)縹3.如圖，在直三棱柱 ABC-AiBiC

9、i中，AiBi = AiCi, D, E分別是棱 BC,CC1上的點(diǎn)（點(diǎn)D不同于點(diǎn)C）,且AD，DE, F為B1C1的中點(diǎn).求證：(1)平面ADE，平面BCCiBi；(2)直線(xiàn)AiF/平面ADE.證明(1)因?yàn)锳BC-AiBiCi是直三棱柱，所以CCi,平面ABC.又AD?平面ABC,所以CCiXAD.又因?yàn)?ADDE, CCi, DE?平面 BCCiBi,CCiADE=E,所以AD，平面BCCiBi.又AD?平面ADE,所以平面ADE，平面BCCiBi.因?yàn)锳iBi = AiCi, F為BiCi的中點(diǎn)，所以 AiFXBiCi.因?yàn)?CCi,平面 AiBiCi,且 AiF?平面 AiBiCi,

10、所以 CCiXAiF.又因?yàn)?CCi, BiCi?平面 BCCiBi, CCinBiCi = Ci, 所以AiF,平面BCCiBi.由(i)知 AD，平面 BCCiBi,所以 AiF /AD.又AD?平面ADE, AiF?平面ADE,所以AiF /平面ADE.類(lèi)型4/空間角的計(jì)算問(wèn)題=O,求:【例4】 如圖，正方體的棱長(zhǎng)為i, B' CABC'(1)AO與A' C所成角的度數(shù)；(2)AO與平面ABCD所成角的正切值；平面AOB與平面AOC所成角的度數(shù).解(1)A' C' A AC,AO與A' C 所成的角就是ZOAC. AB,平面 BC'

11、 , OC?平面 BC' , -.OCXAB,X OCX BO, ABA BO=B.；OC，平面 ABO.又 OA?平面 ABO,. OCXOA.在 RtAOC 中，OC=孝，AC=V2,/ OC 1 sin/ OAC=ac=2./OAC=30°,即AO與A' C 所成角的度數(shù)為30°.(2)如圖，作OELBC于E,連接AE.平面BC'，平面ABCD, OE，平面 ABCD, / OAE為OA與平面ABCD所成的角.在 RtOAE 中，OE=2, AE= Jl2+ 12 =*, .tan/ OAE = OE=幸.AE 5(3)vOC±OA,

12、 OCXOB, OAA OB=O, .OC,平面 AOB.又V OC?平面AOC, 平面AOB±平面AOC.即平面AOB與平面AOC所成角的度數(shù)為90°.空間角的求法:求空間各種角的大小一般都轉(zhuǎn)化為平面角來(lái)計(jì)算，空間角的計(jì)算步驟：一作, 二證，三計(jì)算.(1)求異面直線(xiàn)所成的角常用平移轉(zhuǎn)化法(轉(zhuǎn)化為相交直線(xiàn)的夾角).(2)求直線(xiàn)與平面所成的角常用射影轉(zhuǎn)化法(即作垂線(xiàn)、找射影).二面角的平面角的作法常有三種： 定義法；垂線(xiàn)法；垂面法.圖蹤訓(xùn)繪4.如圖，在三棱錐 P-ABC 中，PA，平面 ABC, /BAC = 90°, ABAC, D、E分別是BC、AB的中點(diǎn)，AC>AD,設(shè)PC與DE所成的角為a, PD與平面ABC所成的角為B,二面角P-BC-A的平面角為y,則a、,丫的大小關(guān)系是a< B< 丫D、E 分別是 BC、AB 的中點(diǎn)，a DE/ AC,PC 與 DE 所成 的角為/PCA,即a