高中數(shù)學(xué)數(shù)列典型6類例題

1、數(shù)學(xué)數(shù)列典型6類例題1 .形如ani an f(n)型(累加法)(1)若f(n)為常數(shù)，即：an 1 an d ,此時數(shù)列為等差數(shù)列，則 an = a1 (n 1)d .(2)若f(n)為n的函數(shù)時，用累加法.例1.已知數(shù)列 an滿足a1 1,an 3n 1an 1（n 2）,證明 an例2.已知數(shù)列 an的首項為1,且an 1 an 2n(nN )寫出數(shù)列n )312an的通項公式例3.已知數(shù)列an滿足a1 3, anan 1(n 2),求此數(shù)列的通項公式 n(n 1)2 .形如亙f(n)型(累乘法) an(1)當(dāng)f(n)為常數(shù)，即：亙' q (其中q是不為。的常數(shù))，此數(shù)列為等比且

2、an = a1 an(2)當(dāng)f(n)為n的函數(shù)時，用累乘法.例1、在數(shù)列an中a1 1,an n an 1 (n 2),求數(shù)列的通項公式。答案：an n 1n 1練習(xí)：n 1_,21、在數(shù)列an中 a1 1, an an 1 (n 2),求 an與Sn。答案：an n 1n(n 1)2、求數(shù)列a1,an 2an1(n 2)的通項公式。2n 1 n ''3 .形如an 1 pan f(n)型(構(gòu)造新的等比數(shù)列)(1 )形如an1cand的數(shù)列求通項，可以通過an1 x c an x的形式，利用待定系數(shù)法求出x的值，轉(zhuǎn)化為公比是 c的等比數(shù)列求解。例3.已知數(shù)列 an滿足a1 1,

3、an 1 3an 2,求通項an ；解：: an 1 3an 2，設(shè) an 1 x 3 an x ,則 x 1an 113 an 1 an 1是公比為3的等比數(shù)列，首項是 a112n 1an 12 3an 2 3n 1 1, n N *(2)形如an 1 can m dn的數(shù)列求通項，當(dāng)c d時，可以通過an 1can x dn的形式，利用待定系數(shù)法求出 x的值，轉(zhuǎn)化為公比是c的等比數(shù)列求解；當(dāng)c d時，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求解。例2.已知數(shù)列an滿足a11,an13an2n,求通項an；an 1n3an 23 / 9設(shè) an 1 x 2n 13 an x 2n ,則 x 1, , an 12n 1

4、3 an2nan 2n是公比為3的等比數(shù)列，首項是 a1 21 3nn 1 nan23 33an3n 2n, n N *已知數(shù)列 an滿足a1 1,an1 3an 4 2n,求通項an；, an 1 3an 4 2n，設(shè) an 1x 2n13 anx 2n ,則 x4 an 14 2n 13 an 42n , a14219_n 一. _ 1_an 4 2 是公比為3的等比數(shù)列，首項是 a14 29, an4 2n 9 3n 13n1an3n 14 2n, nN*.已知數(shù)列 an滿足a1 1,an 13an3n,求通項an；, an 13an 3nan 13n 13na_11an-是公差為1的等

5、差數(shù)列，首項是13n33annn33一 an形如 an 1 can dn e的數(shù)列求通項，可以通過an 1 x(n 1) y c an xn y的形式，利用待定系數(shù)法求出x、y的值，轉(zhuǎn)化為公比是c的等比數(shù)列求解。例3.已知數(shù)列 an滿足a1 1,an 1 3an2n ,求通項an ；解：: an 1 3an 2n設(shè) an1 x (n 1) y 3 an11an 1(n 1) -3 an n -221 1 5an n 1是公比為3的等比數(shù)列，首項是 a1 1 522 223n3n 1(4)形如an 1 pan qan 1的數(shù)列求通項，可以通過an 1 xany an xan 1的形式,利用待定系

6、數(shù)法求出 x、y的值，轉(zhuǎn)化為an 1 yanzn的數(shù)列求解問題。例4、已知數(shù)列 an滿足a1 5,a2 2,an 1 2an 3an 1, n 2 ,求通項an；(見課本必修5第69也復(fù)習(xí)參考題B組第6題)解法一： an 1 2an 3an 1,設(shè) an 1 xan y an xan 1nt y x 2 x 1.x3則y 或xy 3y 3 y1an 1 an 3 an an 1an an 1是公比為3的等比數(shù)列，a1 a2713x3an131 n對照可得:anan 13n1令anx3n1 ananan 1一 n 1 .一 一7 3 對照可得x=an 13nan3n1an是公比為-1的等比數(shù)列,

7、首項是7 13aian13an13443n1解法二:同上得:an7 3n 1an3n3n設(shè)包3nan 13n 13n-對照可得:9712a3n12an 13n 112an3na3n712是公比為1 “一的等比數(shù)列, 31213o12131212an1343n 1N*解法三:同解法一得:an 2 3an 1an 13an3an是公比為-1的等比數(shù)歹U,a23al13, , an 13an133an139 / 9設(shè) an 1n 1n13 an x 1與 an 14一 an是公比為3的等比數(shù)列，a11373n 1an13411, n N*解法四:同解法三得:an 13an 13113anan 11n

8、 1an113對照可得x134an 11 n 1134134134是公比為-3的等比數(shù)歹U,a1134an1134an1343n1, n N *解法五:同解法三得:an3an 13同解法一得an 1 an3na n 1 3a nan 1 a n1317 3n.-得:4an131 n 17 3n 1an1343n 1, n N*例5.已知是方程x2 pxq 。的兩個根,2a1P,a2P q,an 1Panqan 1, n2，求通項an。解:,qPanqan 1an 1an 1是公比為的等比數(shù)列，首項是a2aian又anananan同理可得:an 1時,anannan 1n 1annn,an時,由

9、得an綜上,an(1)證明 an an 12, n N；1, 、一一 an,(4 an),n N. 2說明：本例和例4基本相同，請讀者自己考慮其它解法。(5) an 1 P an qn,后面的待定系數(shù)法也用指數(shù)形式。(05江西理)已知數(shù)列an的各項都是正數(shù)，且滿足：a0 1,an1(2)求數(shù)列an的通項公式an.解：(1)方法一 用數(shù)學(xué)歸納法證明：131 當(dāng) n=1 時，ao 1, a1-ao(4 ao) 一,22a0 a12 ,命題正確2°假設(shè)n=k時有ak i ak 2.則 n k 1時,ak ak i12 ak i (4、1ak i) ak(4 ak)2( ak i一、1，一a

10、k) 一(ak 12二(ak 12ak )(4ak 1ak )(ak 1 ak)ak).而 aak 0.4 ak 1 ak0,aka0.一112r_又 aak(4 ak)4 畫 2) 2.22 n k 1時命題正確.由1 °、2°知，對一切ne N時有an an 12.方法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明:1° 當(dāng) n=1 時，ao 1,a11ao (4 ao)_, -0 aoa12 ；211 / 9f(x)在o, 2上單調(diào)遞增，所以由假設(shè)(2)下面來求數(shù)列的通項：an 12(am 2)(an 2)21. 2令 bn an 2,則bn-bn 1一1 9n 1 .又 bn=-1

11、,所以 bn( 一 )2 1,|24.求數(shù)列的前n項和2。假設(shè)n=k時有a-ak 2成立,人，1令 f(x)x(42 111 一 .一有：f(ak 1) f(ak)f(2)，即2-(4 a-)-ak(4 aj - 2 (4 2),222也即當(dāng)n=k+1時 ak ak 1 2成立，所以對一切 n N,有ak ak 1 211.,2,-an(4an)-(an2)24,所以1("2 2)2。()21(-)122222221 2n 1an 2 bn2 (-)2基本方法：A)公式法,B)分組求和法1、求數(shù)列2n 2n 3的前n項和Sn.2.Sn1 3 5 7( 1)n(2n 1)3 .若數(shù)列a

12、n的通項公式是 an = (-1)n (3n-2),則ai+a2+ aio=(A. 15B. 12C. 12D. 1513 / 94 .求數(shù)列 1, 2+ , 3+ , 4+ ,248an的通項公式并5 .已知數(shù)列an是 3+2- 1,6+22- 1,9 + 23-1,12+24- 1,，寫出數(shù)列 求其前n項和Sn.c）裂項相消法，數(shù)歹u的1 常見拆項有：n（n k）1(1k n止）；. n1、求和:1S=1+ 12、求和:14.3D）倒序相加法,f(x)2x1 x2f (2010 ) f (2009)f(3)f(4)f(2)f(2009)f(2010).E）錯位相減法,1、若數(shù)列an的通項an(2n1） 3n ,求此數(shù)列的前n項和Sn.一一 一 22.Sn 1 2x 3x Ln 1 nx(x 0)（將分為x1和x 1兩種情況考慮）5.數(shù)列單調(diào)性最值問題例1、數(shù)列an中，an2n49 ,當(dāng)數(shù)列an的前n項和Sn取得最小值時,例2、已知Sn為等差數(shù)列an的前n項和,16.當(dāng)n為何值時,Sn取得最大值;例3、設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn .已知a1aSn3n,(