北京大學(xué)數(shù)學(xué)分析講義

1、；.第一講 整體與部分1姚正安 數(shù)學(xué)分析的概念常常是由局部到整體然后再?gòu)恼w回到局部（如區(qū)間上函數(shù)的連續(xù)、可微性）, 所以在數(shù)學(xué)分析的證明和計(jì)算中常常是將整體問題分成幾個(gè)局部問題來(lái)分別證明和計(jì)算, 本講著重探討這方面的證明方法.§1.1 子序列問題 在數(shù)列的收斂與發(fā)散中常常用子序列的斂散性來(lái)進(jìn)行討論, 也就是用部分序列的性質(zhì)來(lái)探討整體序列的性質(zhì).問題1.1.1 數(shù)列收斂的充要條件是、收斂到同一極限.【分析】此問題實(shí)際上是探討整體序列與兩個(gè)部分序列、之間的收斂關(guān)系.【證明】必要性 設(shè),則任給,找得到正整數(shù)N,當(dāng)時(shí),有.此時(shí)對(duì)2N,當(dāng)2n>2N時(shí)也有,亦即.同理可證. 充分性 設(shè),

2、則對(duì)任給,找得到正整數(shù)N1,當(dāng)n>N1,時(shí),有 同時(shí)可找到正整數(shù)N2,當(dāng)n>N2時(shí),有 從而取N=max2N1,2N2+1,當(dāng)n>N時(shí),n為偶數(shù),則滿足,n為奇數(shù),則滿足,即當(dāng)n>N時(shí),有,亦即 .問題1.1.2 設(shè) 且滿足：（1） （2） 則存在.【分析】先證存在.由得 即是單調(diào)上升數(shù)列.又 ,由單調(diào)下降和,知是非負(fù)序列（不然從某項(xiàng)開始 ,當(dāng)時(shí),則）.再由單調(diào)下降, 及,從而存在.下證存在.由,從而由數(shù)列極限的運(yùn)算法則,有,而,由問題1.1.1知,.從而.再由問題1.1.1知存在.注意：一般的教科書上都注明,其實(shí)從單調(diào)下降和,可推得出是非負(fù)序列.此外我們假定單調(diào)上升,

3、且,問題1.1.2依然正確.問題1.1.3 設(shè) （n=1,2,）,試證存在,并求其值.【證明】 由問題1.1.1和以上推導(dǎo)知.問題1.1.4 證明n不存在.【證明1】（反證） 設(shè)n存在,則（n2）=n,由此 ,亦即 ,而 sin 10,所以有 n=.另一方面由問題1.1.1, 知 2n=n，但2n=2n n0，所以 n0，于是 ，這與矛盾。【證明2】（反證） 設(shè) nA，則由問題1.1.1，得2n=（2n1）A，但因?yàn)?sin (2n+1) = cos 1 sin 2n + sin 1 cos 2n, sin (2n+2) = cos 1 sin (2n+1) + sin 1 cos (2n+1

4、),則由 sin 10,得 2n（2n+1）=,所以 n=。另外 cos (2n+1)cos (2n1)= 2sin 1 sin 2n.取極限得 2n=0，從而得 n=0=A, 所以 n，同樣和矛盾。 下面我們來(lái)探討比問題1.1.1更一般的整體與部分?jǐn)?shù)列問題。問題1.1.5 數(shù)列收斂的充要條件是的任意真子序列收斂?！痉治觥窟@里討論的部分?jǐn)?shù)列是任給的真子列，這樣的子列有無(wú)窮多個(gè)?！咀C明】必要性 設(shè),是的任一真子列，則是自然數(shù)集中嚴(yán)格單調(diào)上升的一個(gè)數(shù)列，且，對(duì)任給的，存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，有 由單調(diào)趨于無(wú)窮，則存在k0,使得從而當(dāng)k>k0時(shí)，nk>N滿足，即，由此 。充分性

5、所謂真子列是指下標(biāo)集N-nk是無(wú)窮集，則稱是的真子列，假定對(duì)所有的真子列收斂，下證收斂。顯然，、皆為的真子列，則此二真子列皆收斂，設(shè)，下證AB。是的真子列，是的真子列。又必要性之證明有，。取，且k=1,2, （x為x的整數(shù)部分），則為無(wú)窮集。由此的一個(gè)真子列，于是有存在有限。又（1）得 （2）得 綜合（1），（2）有A=B.由問題1.1.1知收斂。注意：這里充分性的證明是構(gòu)造性的，而且這里須注意的是整體序列變動(dòng)的是下標(biāo)n，而部分序列變動(dòng)的是中的k。問題1.1.6 的充要條件是?！咀C明】若，則對(duì)任給的，存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)， 即。反之，若，則對(duì)任給的，存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，

6、即。問題1.1.7 若數(shù)是數(shù)列的一個(gè)聚點(diǎn)，則有的子序列，使得反之也成立?！痉治觥恳C明本問題先得弄清聚點(diǎn)得概念，然后來(lái)“抽取”子序列?！咀C明】由l是的一個(gè)聚點(diǎn)，從而對(duì)任給的，區(qū)間中有得無(wú)窮多項(xiàng)（可重復(fù)的選取同一個(gè)數(shù)）.下面是子列的“抽取”法。對(duì)，在中任取一個(gè)的項(xiàng)作為，對(duì)，在中有的無(wú)窮多項(xiàng)，任取一個(gè)作為，對(duì)，在中有的無(wú)窮多項(xiàng)，任取一個(gè)作為，這樣又歸納法我們可取的子列，由取法可知是嚴(yán)格單調(diào)的自然數(shù)列。以下證明對(duì)任給，總有k0,使得，從而當(dāng)k>k0時(shí)，亦即反之亦然。問題1.1.8 設(shè)L是數(shù)列的上極限，則可選取的子序列使同樣可抽取子序列，使l是的下極限（這里L(fēng),l可取無(wú)窮）?！痉治觥孔⒁獾郊纯?。

7、【證明】先設(shè)L有限，我們僅需證明L是的一個(gè)聚點(diǎn)。對(duì)任給的,由，從而可找到k0,當(dāng)k>k0時(shí)， （*）由此有n1k0,使 （*）于是。同樣由 ，可找到n2>n1,使得。用歸納法可找到，對(duì)所有的k，使，而是的無(wú)窮多項(xiàng)落在之間，于是L是的一個(gè)聚點(diǎn)。下設(shè)，則對(duì)一切的k皆有(否則由,則當(dāng)k>k0時(shí)，從而，由 ，從而有n1,使得由，從而有n2>n1,使得，由歸納法可從，找得到.這樣另外對(duì)下極限，有，所以是得 聚點(diǎn)，從而下極限是的聚點(diǎn)。問題1.1.9 數(shù)列的上極限是的最大聚點(diǎn)，下極限則是最小聚點(diǎn)。存在的充要條件是且為有限值。【分析】有了問題1.1.8及其證明，問題1.1.9可以很快解

8、決，我們采用反證法?！咀C明】先證上極限是最大聚點(diǎn)（反證）。若不然，另有>上極限L，是的聚點(diǎn)。則有的子列，從而對(duì)，當(dāng)kk0時(shí)，有即注意，所以對(duì)一切的r總有，于是，對(duì)r取極限，得 ，矛盾。同理可證下極限是最小聚點(diǎn)。若存在，則的任何子列都收斂于同一極限，由問題1.1.8，有的子列和，使得(上極限), （下極限），從而，即.反之，若，則對(duì)任給，存在N1,當(dāng)n>N1時(shí)，有 同時(shí)存在N2,當(dāng)n>N2，有 取N=maxN1,N2,當(dāng)n>N時(shí)，由、，得注意，代入式，當(dāng)n>N時(shí)，有， 亦即 。在涉及上、下極限得證明總必須注意的是是單調(diào)下降數(shù)列，是單調(diào)上升數(shù)列。問題1.1.10 設(shè)滿

9、足條件，則存在?！痉治觥坷脝栴}1.1.9的結(jié)論，僅需證上、下極限有限并且相等?！咀C明】由于，則數(shù)列有界，從而如果設(shè)，則即上極限有限。先對(duì)任給整數(shù)m,自然數(shù)n,可表為n=km+r (0r<m),則 于是因此再對(duì)上式取極限，令右邊取下極限，得在問題1.1.10的證明用到了兩個(gè)事實(shí)：若則（I）(ii) . 另外我們有所以我們?nèi)粢C明僅需證明問題 1.1.11 任何有界數(shù)列必有收斂的子數(shù)列（致密性定理）?！痉治觥坑脝栴}1.1.8僅需證數(shù)列的上極限存在并有限?！咀C明】設(shè)是一個(gè)有界數(shù)列，且設(shè) 即是一個(gè)單調(diào)下降的數(shù)列，又有界，則存在正數(shù)M，,從而。由單調(diào)有界收斂原理知存在。下面我們介紹在分析理論中很

10、重要的對(duì)角線法則。問題1.1.12 設(shè)是定義在自然數(shù)N上的有界函數(shù)列，則可在中選取子函數(shù)列在N上收斂，即對(duì)任給的rN, 存在?！痉治觥坷脝栴}1.1.11想辦法抽取子序列?！咀C明】由問題說(shuō)設(shè)，存在正數(shù)M，對(duì)一切的xN，有從而（1）所以可選取子序列，使得存在。為方便起見，記，我們有存在，且顯然有可為或后面的函數(shù)。（2）由我們可選取的子序列，使存在，且顯然在原數(shù)列中排在之后。 我們?nèi)绱伺畔聛?lái)： 取對(duì)角線，則即為所求的子序列。下證對(duì)任給的kN，有存在。這由在所取子序列中除了有限項(xiàng)，可能不在中，而存在，從而存在。問題1.1.13 如果數(shù)列的任何子列滿足條件，A為有窮數(shù)，則?！痉治觥孔⒁獾?，用反證法抽取子序列產(chǎn)生矛盾來(lái)證明?！咀C明】若不收斂于A，則存在，和的子列，滿足（k=0,1,2,）,于是與問題所設(shè)矛盾。在上面的