二項分布數(shù)學(xué)期望與方差專題復(fù)習(xí)有詳解重點(diǎn)中學(xué)用

1、第十講二項分布及應(yīng)用隨機(jī)變量的均值與方差知識要點(diǎn)1 .事件的相互獨(dú)立性(概率的乘法公式)設(shè)A B為兩個事件，如果 RAB = RA)RB),則稱事件 A與事件B相互獨(dú)立.2 .互斥事件概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(A+ B) = RA) + P(B).3 .對立事件的概率：若事件 A與事件B互為對立事件，則 RA)=1RB).4 .條件概率的加法公式：若 R C是兩個互斥事件，則 R BU C A) = P(B| A) + R C| A)5 .獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即若用 A(i=1,2,，n)表示第i次試驗(yàn)結(jié)果，則 RAAA-A) =

2、 P(Ai)RA)P(A)-P(A).注：判斷某事件發(fā)生是否是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，關(guān)鍵有兩點(diǎn)(1)在同樣的條件下重復(fù)，相互獨(dú)立進(jìn)行；(2)試驗(yàn)結(jié)果要么發(fā)生，要么不發(fā)生.6 .二項分布：在 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為 X,在每次試3中事件 A發(fā)生的概率為p,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中， 事件A恰好發(fā)生k次的概率為 RX= k) =dpk (1p)nk(k= 0,1,2 ,，n), 此時稱隨機(jī)變量 X服從二項分布，記作 XB(n, p),并稱p為成功概率.注：判斷一個隨機(jī)變量是否服從二項分布，要看兩點(diǎn)(1)是否為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).(2)隨機(jī)變量是否為在這 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù).

3、7 .離散型隨機(jī)變量的均值與方差及其性質(zhì)定義：若離散型隨機(jī)變量 X的分布列為 RE=Xi)=pi, i =1,2 ,，n.(1)均值：稱E(X) =Xp + X2P2+ Xipi + Xnpn為隨機(jī)變量 X的均值或數(shù)學(xué)期望. n(2)方差：D(X)=E ( Xi日X) 2pi為隨機(jī)變量X的方差，其算術(shù)平方根.D X為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.i =12(3)均值與萬差的性質(zhì)：(1) E(aX+ b)=aRX)+b； (2) D(aX+ b)=aD(X). (a, b 為常數(shù))8.兩點(diǎn)分布與二項分布的均值、方差變量 X 服從兩點(diǎn)分布：E(X)=p,QX) = p(1p);X B(n,p):E(X)=n

4、p , QK =np(1 p)典例精析例1.12015高考四川，理17】某市A,B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊參加辯論賽，A中學(xué)推薦3名男生，2名女生，B中學(xué)推薦了 3名男生，4名女生，兩校推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)，由于集訓(xùn)后隊員的水平相當(dāng)，從參加 集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取 3人，女生中隨機(jī)抽取 3人組成代表隊(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率.(2)某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機(jī)抽取 4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求 X得分布列和數(shù)學(xué)期望.例2.如圖，用K A A三類不同的元件連接成一個系統(tǒng).當(dāng)K正常工作且 A、A2至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作.已知 K A、A2正常工作的概率依次

5、為、，則系統(tǒng)正常工作的概率為 ()A.B . C . D例3. (2013 山東高考)甲、乙兩支排球隊進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束.除一 一，一1,，一12 ，.第五局甲隊獲勝的概率是 J外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是個假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.23(1)分別求甲隊以3 ： 0,3 ： 1,3 : 2勝利的概率.(2)若比賽結(jié)果為3 ： 0或3 ： 1,則勝利方得3分，對方得。分；若比賽結(jié)果為3 : 2,則勝利方得2分，對方得1分.求乙隊得分 X的分布列及數(shù)學(xué)期望.例4.為貫徹“激情工作， 快樂生活”的理念， 某單位在工作之余舉行趣味知識有獎競賽，比賽分初賽和決賽兩

6、部分，為了增加節(jié)目的趣味性，初賽采用選手選一題答一題的方式進(jìn)行，每位選手最多有5次選答題的機(jī)會，選手累計答對 3題或答錯3題即終止其初賽白比賽，答對3題者直接進(jìn)入決賽，答錯 3題者則被,. _,2淘汰，已知選手甲答題的正確率為-.3(1)求選手甲答題次數(shù)不超過 4次可進(jìn)入決賽的概率；(2)設(shè)選手甲在初賽 中答題的個數(shù) 己，試寫出己的分布列，并求 己的數(shù)學(xué)期望.例5. (2014 福建高考改編)為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1 000位顧客進(jìn)行獎勵，規(guī)定:每位顧客從一個裝有4 個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出 2 個球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎勵額（1） 若袋中所裝的 4

7、個球中有 1 個所標(biāo)的面值為 50元，其余 3 個均為 10 元求：顧客所獲的獎勵額為60元的概率；顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望.（2） 商場對獎勵總額的預(yù)算是60 000 元， 為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡下面給出兩種方案：方案1 ：4 個球中所標(biāo)面值分別為10 元，10 元，50 元，50 元；方案2 ：4 個球中所標(biāo)面值分別為20 元，20 元，40 元，40 元如果你作為商場經(jīng)理，更傾向選擇哪種方案例 6 （13 分）如圖所示，是某城市通過抽樣得到的居民某年的月均用水量（單位：噸 ）的頻率分布直方圖（1） 求直方圖中 x 的值；（2）

8、 若將頻率視為概率，從這個城市隨機(jī)抽取3 位居民 （ 看作有放回的抽樣） ，求月均用水量在3 至 4 噸的居民數(shù) X 的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差例 7 （12 分）某網(wǎng)站用“ 10 分制”調(diào)查一社區(qū)人們的幸福度現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16 名，以下莖葉圖記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)（ 以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉） ：（1） 指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；（2） 若幸福度不低于 9 ，則稱該人的幸福度為“極幸?！鼻髲倪@16 人中隨機(jī)選取3 人，至多有1 人是“極幸?！钡母怕?；（3）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)（人數(shù)很多）任選3人，記己表示抽到“極幸福”的人數(shù)

9、，求 E的分布列及數(shù)學(xué)期望.例 8. 【 2015 高考湖南，理18】某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額商品后即可抽獎，每次抽獎都從裝有 4個紅球、 6 個白球的甲箱和裝有5 個紅球、 5 個白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出 1 個球，在摸出的 2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1 個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎.（ 1）求顧客抽獎1 次能獲獎的概率；（ 2） 若某顧客有3 次抽獎機(jī)會， 記該顧客在 3 次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為 X ， 求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望.例9. （2016河北張家口市 三模21）（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)f x =exx ax2.（1）若01= 0,求

10、f x的單調(diào)區(qū)間；（陰若當(dāng)乂 0時，f x 0,求a的取值范圍.參考答案例1.12015高考四川，理17】某市A,B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊參加辯論賽，A中學(xué)推薦3名男生，2名女生,B 中學(xué)推薦了 3 名男生， 4 名女生，兩校推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)，由于集訓(xùn)后隊員的水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3 人，女生中隨機(jī)抽取3 人組成代表隊(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率.(2)某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機(jī)抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求 X得分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1) A中學(xué)至少1名學(xué)生入選的概率為 p99100(2) X的分布列為:X的期望為E(X) 2.【解析

11、】(1)由題意，參加集訓(xùn)的男女生各有 6名.參賽學(xué)生全從B中抽取(等價于 A中沒有學(xué)生入選代表隊)的概率為c；c31C；C； 100一 ， 一、，1因此，A中學(xué)至少1名學(xué)生入選的概率為110099100(2)根據(jù)題意，X的可能取值為1, 2, 3.C；C； 1P(X 1)中 口 P(XC65所以X的分布列為：2)C32C2C64P(X 3)c；c31CT 5因此，X的期望為E(X)2.例2.如圖1081,用K、A、A三類不同的元件連接成一個系統(tǒng).當(dāng) K正常工作且A、A至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作.已知 K、A、從正常工作的概率依次為、，則系統(tǒng)正常工作的概率為(B )A.B . C . D

12、【答案】B A1、A2至少有一個正常工作的概率為 P 1 (1 0.8)2 0.96 ,則系統(tǒng)正常工作的概率為PK P 0.9 0.96 0.864例3. (2013 山東高考)甲、乙兩支排球隊進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽，一 一 一 ，一，-1，人一，一 ，一，一，2， 一隨即結(jié)束.除第五局甲隊獲勝的概率是 1外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是 2,假設(shè)各局23比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)分別求甲隊以3 ： 0,3 ： 1,3 : 2勝利的概率.(2)若比賽結(jié)果為3 ： 0或3 ： 1,則勝利方得3分，對方得0分；若比賽結(jié)果為3 : 2, 則勝利方得2分，對方得1分.求乙隊得分X

13、的分布列及數(shù)學(xué)期望.【嘗試解答】(1)記“甲隊以3 : 0勝利”為事件A, “甲隊以3 ： 1勝利”為事件A ”甲隊以3 ： 2勝利”為事件A 由題意，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，2 382 2 22282 2 22 214故P(A)=3 =27, P(A2)=C33 13X3=27, P(A) = C43 1-3 X2=27所以甲隊以3 ： 0勝利，以3 ： 1勝利的概率都為27,以3 ： 2勝利的概率為27.(2)設(shè)“乙隊以3： 2勝利”為事件A,由題意，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，所以 p(A)=d 1_| 2 3 2x 1 2 =±. 3 322 7由題意，隨機(jī)變量X的所有可能的取值為0

14、,1,2,3 , 根據(jù)事件的互斥性得”164P(X= 0) =P( A1 + A2) = P( A) +P( A)= 27.又P(X= 1) = P(A)= 27, P(X= 2) = P( A)=427，P(X= 3) = 1-P(X= 0) P(X= 1)-P(X= 2)=27，故X的分布列為X0123P1627427427327，16443 7所以 EX= 0X 27+1X27+ 2X27+ 3X 27= 9.例4.為貫徹“激情工作，快樂生活”的理念，某單位在工作之余舉行趣味知識有獎競賽，比 賽分初賽和決賽兩部分，為了增加節(jié)目的趣味性，初賽采用選手選一題答一題的方式進(jìn)行，每位選手最多有5

15、次選答題的機(jī)會，選手累計答對 3題或答錯3題即終止其初賽的比賽，答對3題者直接進(jìn)入決賽，答錯3題者則被淘汰，已知選手甲答題的正確率為 2 3(1)求選手甲答題次數(shù)不超過4次可進(jìn)入決賽的概率；(2)設(shè)選手甲在初賽 中答題的個數(shù)己，試寫出己的分布列，并求 己的數(shù)學(xué)期望.【嘗試解答】(1)選手甲答3道題進(jìn)入決賽的概率為2 3=*,32 7選手甲答4道題進(jìn)入決賽的概率為C3 - 2 2 1 2=胃，33 3 2/選手甲答題次數(shù)不超過4次可進(jìn)入決賽的概率8 _8 16=27+27 = 27； 依題意，七的可取取值為3、4、5,則有P(己=3)= 2 3+ 1 3= 1,333o 2 212.1 2 21

16、10O 2P(E=4)=d. 3 ' 3 ' 3+C3 ' 33'3=57 已b=5)=- 321 218二一一3327'因此，有345P110832727810727=-27.L110.EE =3X - + 4X +5X32 7規(guī)律方法2求離散型隨機(jī)變量的均值與方差的方法：(1)先求隨機(jī)變量的分布列，然 后利用均值與方差的定義求解.(2)若隨機(jī)變量XB(n, p),則可直接使用公式E(X)=np,D(X) =np(1 p)求解.例5. (2014 福建高考改編)為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對 1 000位顧客進(jìn) 行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝

17、有 4個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出 2個球，球 上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎勵額. 若袋中所裝的4個球中有1個所標(biāo)的面值為50元，其余3個均為10元.求：顧客所獲的獎勵額為60元的概率；顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望.商場對獎勵總額的預(yù)算是60 000元，為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù) 算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡.下面給出兩種方案：方案1: 4個球中所標(biāo)面值分別為10元，10元，50元，50元;方案2: 4個球中所標(biāo)面值分別為20元，20元，40元，40元.如果你作為商場經(jīng)理，更傾向選擇哪種方案【解答】(1)設(shè)顧客所獲的獎勵額為X.一、一Cc3 1 .1依題意，

18、得P(X= 60)=4=2，即顧客所猶的獎勵額為60兀的概率為. .一 一 ,一C3 11 依題意，得X的所有可能取值為20,( X= 20)=d=2，P(X= 60)=2,即X的分布列為X2060P121280 60 2 4006=T.方差口 %)=40 660+ |x (60-60)2 +63根據(jù)預(yù)算，每個顧客的平均獎勵額為 60元，且E(Xi)=E(%)=60, D(Xi)>D(X).因此，根據(jù)商場的設(shè)想，應(yīng)選擇方案 2.例6.如圖109 4所示，是某城市通過抽樣得到的居民某年的月均用水量 (單位：噸)的頻 率分布直方圖.圖 10 9 4(1)求直方圖中x的值；(2)若將頻率視為概

19、率，從這個城市隨機(jī)抽取3位居民(看作有放回的抽樣)，求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)X的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差.【解】(1)依題意及頻率分布直方圖知，0. 02+ + x+ + =1,解得x=.(2)由題意知，XB(3,.因此 P(X= 0)=C0x = ,P(X= 1) = c3x x = , P(X= 2) =C2X x =,P( X= 3) = C3 X =.故隨機(jī)變量X的分布列為PX的數(shù)學(xué)期望為E(X)=3X = .X的方差為 D(X)=3XX(1 -=.例7.某網(wǎng)站用“10分制”調(diào)查一社區(qū)人們的幸福度. 現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名，以下 莖葉圖1093記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)(以小數(shù)點(diǎn)

20、前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù) 字為葉)：圖 10 93(1)指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；(2)若幸福度不低于9,則稱該人的幸福度為“極幸?！?求從這 16人中隨機(jī)選取3 人，至多有1人是“極幸?！钡母怕剩?3)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū) (人數(shù)很多)任選3 人，記己表示抽到“極幸?！钡娜藬?shù)，求 己的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解】(1)眾數(shù)：8,6;中位數(shù)：(2)由莖葉圖可知，幸福度為“極幸?！钡娜擞?4人.設(shè)A表示所取3人中有i個人是“極幸?！?，至多有1人是“極幸?！庇洖槭录嗀,皿a c4c22 121則6為=式外)+已人)=應(yīng)+怎=礪,I , 一 一 41一，、

21、(3)從16人的樣本數(shù)據(jù)中任意選取1人，抽到“極幸福”的人的概率為 -,故依1題意可知，從工社區(qū)中任選1人，抽到極幸布 的人的概率 P=- 4工的可能取值為0,1,2,3c3 3 27 c11 3 2 27P(E=0)=I = ; P(E=1)=G： = 7T''4644 464o 1 2391 31P( "2)=C3 4 4=64； p( 2 =3)= 4 =64所以己的分布列為0123p27279164646464272791eix 才 1x64+2x64+3><64=一1 一,1另解由題可知 上B3,彳，所以E± =3X 4=.例8.120

22、15高考湖南，理18】某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額商品后即可抽獎，每次抽獎 都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有 5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出 1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有 1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎（1）求顧客抽獎1次能獲獎的概率；（2）若某顧客有3次抽獎機(jī)會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為 X ,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）二；（2）詳見解析.10【解析】試題分析：（1）記事件A 從甲箱中摸出的1個球是紅球, A2 從乙箱中摸出的1個球是紅球B1 顧客抽獎1次獲一等獎, B2 顧客抽獎1次獲二等獎, C 顧

23、客抽獎1次能獲獎,則可知A與A2相互獨(dú)立，AA2與AA2互斥，B1與B2互斥，且B AA, B2 AA A1A2, C B B2,再利用概率1的加法公式即可求解；（2 ）分析題意可知X : B（3,-）,分 512125'0 1 0 4 3641 1 1 4 248P(X 0)C0(-)0(-)3 詬，p(X 1) C3(-)1(-)2 赤，P(X5 51255 51253 1 3 4 0P(X 3) Cis)3)01一，即可知125X的概率分布及其期望試題解析：（1）記事件A1 從甲箱中摸出的1個球是紅球, A2從乙箱中摸出的1個球是紅球B1 顧客抽獎1次獲一等獎, B2顧客抽獎1次

24、獲二等獎, C 顧客抽獎1次能獲獎,由題意,A1與A2相互獨(dú)立,AA2 與 A1A2 互斥，B1 與 B2 互斥，且 B1 A1A2 , B2 MA1A2 , CB1B2 ,1.a04251211P(A)而5P(A2)W2-E Pi) 535'p(B2) P(AA2 A14)2121(1) (1)5252P(A14) P(AA2) P(A)(1 P(A2) (1 P(A)P(A2)1-1 17一,故所求概率為 P(C) P(4 B2) P(BJ P(Bz)；25 2 10顧【考點(diǎn)定位】1.概率的加法公式；2.離散型隨機(jī)變量的概率分布與期望【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的概率分

25、布與期望以及概率統(tǒng)計在生活中的實(shí)際應(yīng)用，這一 直都是高考命題的熱點(diǎn)，試題的背景由傳統(tǒng)的摸球，骰子問題向現(xiàn)實(shí)生活中的熱點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化，并且與統(tǒng)計 的聯(lián)系越來越密切，與統(tǒng)計中的抽樣，頻率分布直方圖等基礎(chǔ)知識綜合的試題逐漸增多，在復(fù)習(xí)時應(yīng)予以關(guān)注.例9.【2015高考四JI,理21已知函數(shù)f(x) 2(x a)ln x x2 2ax 2a2 a,其中a 0.(1)設(shè)g(x)是f (x)的導(dǎo)函數(shù)，評論 g(x)的單調(diào)性;(2)證明：存在a (0,1),使得f(x) 0在區(qū)間(1,+ )內(nèi)恒成立，且f (x)0在(1,+)內(nèi)有唯一解.【答案】(1)當(dāng)1 , 一、 11 4aa 4 時g(x)在區(qū)間(0,),(11 4a)上單調(diào)遞增,在區(qū)間11 4a24a)上單調(diào)遞減；當(dāng)a * 1時，g(x)在區(qū)間(0, 24)上單調(diào)遞增.(2)詳見解析.(1)由已知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,),g(x)(x) 2x 2a 2ln x 2(1 a),所以 xg(x) 22a2x1 212(x 2)2