橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(施愛軍）525

1、 1.橢圓的定義：一、復(fù)習(xí)回顧：一、復(fù)習(xí)回顧：PF1+PF2=2a (2a2c0, F1F2=2c)為什么為什么2a2c？思考思考 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離和等于常數(shù)的距離和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫作的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦橢圓的焦點(diǎn)點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距橢圓的焦距 12,F F1 2|FFF1F2M2. “直譯法直譯法”求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟：求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟：( , )0f x y （5）化方程）化方程 為最簡(jiǎn)形式；為最簡(jiǎn)形式；寫等式寫等式代坐標(biāo)代坐標(biāo)化簡(jiǎn)方程化簡(jiǎn)方程建系建系設(shè)坐標(biāo)設(shè)坐標(biāo)一、復(fù)習(xí)回

2、顧：一、復(fù)習(xí)回顧：（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系； （3）寫出點(diǎn)）寫出點(diǎn)M滿足的條件滿足的條件P（M）并列出等式；）并列出等式； （2）用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示曲線上任意一點(diǎn)）用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；( , )0f x y （4）將點(diǎn)）將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入的坐標(biāo)代入P（M）列出方程）列出方程 ； 建建 設(shè)設(shè) 現(xiàn)現(xiàn) 代代 化化 （6）證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)）證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn) (可以省略不寫可以省略不寫,如有特殊情況，可以適當(dāng)予以說明如有特殊情況，可以適當(dāng)予以說明)如圖，已知如圖，已知AB=6，點(diǎn)，點(diǎn)M是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)是平

3、面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn).若若 ,試建坐標(biāo)系并求點(diǎn)試建坐標(biāo)系并求點(diǎn)M的軌跡方程的軌跡方程.2AMBMAB2.2.1 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程海安縣李堡中學(xué) 施愛軍0 12222babyax 0 12222babxay圖圖 形形方方 程程焦焦 點(diǎn)點(diǎn)F( (c，0)0)F(0(0，c) )a,b,c之間的關(guān)系之間的關(guān)系c2 2= =a2 2- -b2 2MF1+MF2=2a (2a2c0)定定 義義1 12 2yoFFMx1oFyx2FM3)兩類標(biāo)準(zhǔn)方程的對(duì)照表注注: : 共同點(diǎn)：共同點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示的一定是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示的一定是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓；中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓；方程的

4、左邊是平方和，右邊是方程的左邊是平方和，右邊是1.2x2y不同點(diǎn)：焦點(diǎn)在不同點(diǎn)：焦點(diǎn)在x軸的橢圓軸的橢圓 項(xiàng)分母較大項(xiàng)分母較大. 焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y軸的橢圓軸的橢圓 項(xiàng)分母較大項(xiàng)分母較大.課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：11625)2(22yx11)3(2222mymx11616)1(22yx0225259)4(22yx123)5(22yx1.口答：下列方程哪些表示橢圓？口答：下列方程哪些表示橢圓？22,ba 若是若是,則判定其焦點(diǎn)在何軸？則判定其焦點(diǎn)在何軸？并指明并指明 ，寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)，寫出焦點(diǎn)坐標(biāo).2、 已知橢圓的方程為：已知橢圓的方程為： ，請(qǐng)，請(qǐng)?zhí)羁眨禾羁眨?1) a=_，b=_，c=_，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，

5、焦點(diǎn)坐標(biāo)為_，焦距等于，焦距等于_.(2)若若C為橢圓上一點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)， 并且并且CF1=2,則則CF2=_. 1162522yx變題：變題： 若橢圓的方程為若橢圓的方程為 ,試口答完成（試口答完成（1）.14491622 yx若方程若方程 表示焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，軸上的橢圓，求求k的取值范圍的取值范圍;13222kykx探究探究:若方程表示橢圓呢若方程表示橢圓呢?5436(-3,0)、(3,0)8116922yx3.寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1) a =4，b=1，焦點(diǎn)在，焦點(diǎn)在

6、 x 軸軸上上； (2) a =4，b=1，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上；，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上； (3) 兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（ 0 ，-2）和（）和（ 0 ，2），并且經(jīng)），并且經(jīng) 過點(diǎn)過點(diǎn)P（ - -1.5 ，2.5）.解解： 因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，軸上， 設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 )0(12222babxay c=2，且 c2= a2 - b2 4= a2 - b2 又又橢圓經(jīng)過點(diǎn)橢圓經(jīng)過點(diǎn)2523， 1)()(22232225ba聯(lián)立聯(lián)立可求得：可求得：6,1022ba11622 yx橢圓的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為標(biāo)準(zhǔn)方程為 161022xy(法一法一)xyF1F2P11

7、622yx11622 yx或(法二法二) 因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為標(biāo)準(zhǔn)方程為由橢圓的定義知，由橢圓的定義知，.6410,2.10,10210211023)225()23()225()23(22222222cabcaa又所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.161022xy)0(12222babxayxOy例例1 1、已知一個(gè)運(yùn)油車上的貯油罐橫截面的外輪廓線、已知一個(gè)運(yùn)油車上的貯油罐橫截面的外輪廓線是一個(gè)橢圓，它的焦距為是一個(gè)橢圓，它的焦距為2.4 m2.4 m，外輪廓線上的點(diǎn)到兩，外輪廓線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離和為個(gè)焦點(diǎn)的距離和為

8、3 m3 m，求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程F1F2P解：以兩個(gè)焦點(diǎn)解：以兩個(gè)焦點(diǎn)F F1 1，F(xiàn) F2 2所在的直線為所在的直線為x x軸，以軸，以線段線段F F1 1F F2 2的垂直平分線為的垂直平分線為y y軸，建立直角坐標(biāo)軸，建立直角坐標(biāo)系，則這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為系，則這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為)0( 12222 babyax根據(jù)題意知，根據(jù)題意知，2a=32a=3，2c=2.42c=2.4，即，即a=1.5a=1.5，c=1.2c=1.2。所以。所以b b2 2=a=a2 2-c -c2 2=1.5=1.52 2-1.2-1.22 2=0.81=0.81，因此，因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

9、方程為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為181. 025. 222 yx解：解：例例2 ：將圓將圓 = 4= 4上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，求所的曲線的方程，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，求所的曲線的方程，并說明它是什么曲線？并說明它是什么曲線？yxo22yx 設(shè)所的曲線上任一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）,圓 上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由題意可得：22yx yyxx2/22yx因?yàn)樗?422yx即1422 yx1 1）將圓按照某個(gè)方向均勻地壓縮）將圓按照某個(gè)方向均勻地壓縮（拉長(zhǎng)），可以得到橢圓（拉長(zhǎng)），可以得到橢圓。2 2）利用中間變量求點(diǎn)的軌跡方程）利用中間變量求點(diǎn)的軌跡方

10、程的方法是解析幾何中常用的方法；的方法是解析幾何中常用的方法；(2)已知已知ABC的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為16,若若A、B的坐標(biāo)分別為（的坐標(biāo)分別為（3，0），）， (-3,0）,求點(diǎn)求點(diǎn)C的軌跡方程，并說明它是什么曲線的軌跡方程，并說明它是什么曲線. (1)將橢圓將橢圓221416xy 上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉砩系狞c(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡?倍，求所得曲線的方程，并說明它是什么曲線倍，求所得曲線的方程，并說明它是什么曲線.課堂小結(jié)課堂小結(jié)1.今天所學(xué)的知識(shí)今天所學(xué)的知識(shí);2.今天所學(xué)的方法今天所學(xué)的方法.對(duì)橢圓對(duì)橢圓 ，各個(gè)小組仿照例題或習(xí)，各個(gè)小組仿照例題或習(xí)題的形式自己設(shè)計(jì)一個(gè)

11、題目，兩個(gè)小組交換審查，題的形式自己設(shè)計(jì)一個(gè)題目，兩個(gè)小組交換審查，并嘗試作答并嘗試作答.221259xy合作練習(xí)合作練習(xí)解：取過焦點(diǎn)解：取過焦點(diǎn)F1、F2的直線為的直線為x軸，線段軸，線段F1F2的垂直的垂直平分線為平分線為y軸，軸，建建立平面直角坐標(biāo)系立平面直角坐標(biāo)系(如圖如圖). 設(shè)設(shè)M(x, y)是橢圓上任意一是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距點(diǎn)，橢圓的焦距2c(c0)，M與與F1和和F2的距離的和等于正的距離的和等于正常數(shù)常數(shù)2a (2a2c) ，則，則F1、F2的的坐標(biāo)分別是坐標(biāo)分別是( c,0)、(c,0) .xF1F2M0y（問題：下面怎樣（問題：下面怎樣化化簡(jiǎn)？）簡(jiǎn)？）aMFMF2

12、21222221)(,)(ycxMFycxMFaycxycx2)()(2222 得方程由橢圓的定義得，由橢圓的定義得，限限制條件制條件：代代入坐標(biāo)入坐標(biāo)1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)(法二法二) 因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為標(biāo)準(zhǔn)方程為由橢圓的定義知，由橢圓的定義知，.6410,2.10,10210211023)225()23()225()23(22222222cabcaa又所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.161022xy)0(12222babxay例例3、寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1) a

13、=4，b=1，焦點(diǎn)在，焦點(diǎn)在 x 軸軸上上； (2) a =4，b=1，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上；，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上； (3) 兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（ 0 ，-2）和（）和（ 0 ，2），并且經(jīng)），并且經(jīng) 過點(diǎn)過點(diǎn)P（ - -1.5 ，2.5）.解解： 因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，軸上， 設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 )0(12222babxay c=2，且 c2= a2 - b2 4= a2 - b2 又又橢圓經(jīng)過點(diǎn)橢圓經(jīng)過點(diǎn)2523， 1)()(22232225ba聯(lián)立聯(lián)立可求得：可求得：6,1022ba11622 yx橢圓的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為標(biāo)準(zhǔn)方程為 161022xy(

14、法一法一)xyF1F2P11622yx11622 yx或求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一種方法：一種方法：二類方程二類方程:三個(gè)意識(shí)：三個(gè)意識(shí)：求美意識(shí)，求美意識(shí)， 求簡(jiǎn)意識(shí)，前瞻意識(shí)求簡(jiǎn)意識(shí)，前瞻意識(shí) 12222byax0 12222babxay謝謝各位專家！謝謝各位專家！ 敬請(qǐng)批評(píng)指正！敬請(qǐng)批評(píng)指正！如圖，已知如圖，已知AB=6，點(diǎn)，點(diǎn)M是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn).若若 ,求點(diǎn)求點(diǎn)M的軌跡方程的軌跡方程.2AMBMAB222222bayaxb 22ba兩邊除以兩邊除以 得得).0(12222babyax設(shè)所以即,0,2222cacaca),0(222bbca由橢圓定義可知由橢圓定義可知整理得整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx 222)(ycxacxa 22222