全國初中數(shù)學競賽試題及答案

1、-精品文檔word版中國教育學會中學數(shù)學教學專業(yè)委員會全國初中數(shù)學競賽試題.)6分，共30分一、選擇題(共5小題，每題廠 22可在數(shù)軸上的位置如下圖，那么代數(shù)式1 (甲).如果實數(shù)a, b, c|b (c a)ca |a b| ).以化簡為(J|Lba0ba 22ac 2a d)a(A) C)(B( 1-22 a 1 1 (乙)如果)的值為(，那么 1 2 a 3，|巧 22 22 ) D ( (C) 2(A )(B )b)的圖象有兩個交點，其中一 b )與反比例函數(shù) y =工0 (2 (甲).如果正比例函數(shù) y = ax (a 工0_ X .，那么另一個交點的坐標為()個交點的坐標為(一 3

2、, 2) )( 3，2 ( C)(-2，3) ( D (A ) ( 2，3) B) ( 3， 2)22).) (x，y的個數(shù)為(< 2x + 2y的整數(shù)點坐標xOyy中，+滿足不等式(乙).在平面直角坐標系x25(D)(C) 7)(A10(B) 91b a b，a a b1，a 1， 21a，b這四個數(shù)據(jù)的平均為給定的實數(shù)，且，那么3 (甲).如果).數(shù)與中位數(shù)之差的絕對值是(B C112a 1)(D )( B )( C ( A) 1 424 BD 是對角線，3 (乙).如圖，四邊形ABCD中，AC, 30ADC , AD ABC是等邊三角形.=3, BD = 5)那么CD 的長為(23

3、( B) 4 (A)524.5D)( C )(元，我的錢2 “ 4 (甲)小倩和小玲每人都有假設(shè)干面值為整數(shù)元的人民幣小倩對小玲說：你假設(shè) 給我為正整數(shù)，n，其中元，我的錢數(shù)將是你的"你假設(shè)給我n2倍"；小玲對小倩說：倍數(shù)將是你的n )n那么的可能值的個數(shù)是(.精品資料分享-精品文檔word版4D)(C) 3(B) 2(A) 12q，0(xp px q那么這樣的方程的 4(乙).如果關(guān)于x的方程 是正整數(shù))的正根小于3，.) 個數(shù)是(8(D)7( B)6(C) (A)5擲兩次骰子，設(shè) 6，5，1，2，3，45 (甲).一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分 別是p, p

4、, pp，,那么2, 3的概率為其朝上的面上的兩個數(shù)字之和除以4的余數(shù)分別是 0, 1，3012p，p,pp，.)中最大的是(3210pppp (D )(C)(A)(B20311 1 1 ,1,個數(shù)5個數(shù)字.每次操作先從黑板上的數(shù)中選取(乙)黑板上寫有2共100 10023a,ba, ba b ab,那么經(jīng)過99,然后刪去，并在黑板上寫上數(shù)次操作后，黑板上剩下的數(shù)是( ).(A) 2021( B) 101( C) 100( D) 99二、填空題(共5小題，每題6分，共30分)6 (甲).按如圖的程序進行操作，規(guī)定：程序運行為一次？到“結(jié)果是否 >487從“輸入一個值 x的取如果操作進行四

5、次才停止，那么x操作.ADB F C值范圍是9 cab,且滿足a乙.如果，b ,c是正數(shù)，6 c10ab111 的值，那么ba cc bab cca9ba為15，如圖，正方形 ABCD的邊長為27 甲DB，的中點，AF與DEE，F(xiàn)分別是 AB，BC.分別交于點M , N，那么 DMN的面積是A C對角線為一條 0上，以O(shè)AA7 乙.如下圖，點在半徑為20的圓12 OC的長度差是那么線假設(shè)，DO于、E兩點，BC作矩形OBAC ,設(shè)直線交圓 DBBDCE段、O 3922根分別的方程如果關(guān)于甲8. xx+3k +kx+k= 0的兩個實數(shù)24精品資料分享word版-精品文檔2021X1XX 的值為為

6、，那么 . 212021 N2nn3 n n 3nn 的個數(shù)能被假設(shè)為整數(shù)，且 1 < n< 2021. 58 乙設(shè)整除，那么所有.為位九年級同學一起參加象棋比賽，比賽為單循環(huán)，即所有參賽者彼此 m. 2位八年級同學和 9甲比賽結(jié)束后，.分；平局各得1分恰好比賽一場記分規(guī)那么是：每場比賽勝者得3分，負者得0.所有同學的得分總和為130分，而且平局數(shù)不超過比賽局數(shù)的一半，那么m的值為 zy，x，a ，b，c假設(shè)可以是一個三角形的三邊長，那么稱是三角形數(shù).9 乙如果正數(shù)x，y ,za111,.的取值范圍是和均為三角形數(shù)，且a< b< c，那么_ _ 一 _ ccabABCD

7、內(nèi)接于O, O10 甲如圖，四邊形，.是直徑，AD = DC分別延長 BA，CDAB 作BF丄EC ,并與EC的延長線 E交點為.的CF，BC = 6，那么AE交于點F.假設(shè)=AO.長為22 b a，nnnb a成立，那么這樣w 100 假設(shè)有唯一的正整數(shù)對10 乙是偶數(shù)，且 1匕使得n的的個數(shù)為 一60分4題，每題15分，共三、解答題共231 x y m2x m 3 x0y 二次函數(shù)；關(guān)于 x的方程，當11時，恒有甲92m0x m 2 x m 3的取值范圍.求的 兩個實數(shù)根的倒數(shù)和小于 一 10如下圖，在直角坐標系 .11 乙y點在y軸負半軸上，點xOy中，A軸正、負半軸上，xCB、分別在4

8、B08,ABAC,sin CAO Cx5E交CDAB上，連結(jié)。點D在線段DSS。試，且軸于點 EyADEcoE A三點的二次、CE求 圖像經(jīng)過B、函數(shù)的解析式。AB，如圖，0甲12. 0的直徑為 精品資料分享word版-精品文檔，且交于點11ODDC DEDOFOFE.s，求證：, be的延長線與在BOC12 (乙)如圖，O O的內(nèi)接四邊形 ABCD中，AC，BD是它的對角線， AC的中點I是厶ABD 的內(nèi)心.求證：(1) OI是厶IBD的外接圓的切線；.BD+AD = 2 ) (2ABa的最小值當是完全平方數(shù)是素數(shù)，且一滿足：，整數(shù)甲13. ababab.時，求2021a精品資料分享精品文檔

9、word版-150n邊形中最多有多少個內(nèi)角等于乙13給定一個正整數(shù)，凸？并說明理由. nbnca的最小值.以相同，使得，求x XX , x XX,，且n,使得存在正整數(shù)，滿足.14 甲求所有正整數(shù)2021212021122 0 1 2 1 2n .XXX2021123a, b, cn2 (可)任意參考解答精品資料分享word版-精品文檔一、選擇題1甲.C解：由實數(shù)a, b, c在數(shù)軸上的位置可知 1丨c0 b a b c,，且Ja22.1 (乙).B111/ 廠 1 12 12 111.解:所以 )cb (c a) )( |b c| a (a b)a |a b|(c a112 12 2 122

10、 廣a 32 12 甲.D解：利用正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象及其對稱性，可知兩個交點關(guān)于原點對稱，因此另一個交點的坐標為3，2.2 乙.B22221yx 10 W得，W 2x + 2y < 2.x + y解：由題設(shè)x , y均為整數(shù)，所以有因為2222(x 1) 1) 1, 1(x 1) 0,，(x 1)(x0,2222(y 1) 0 ； (y 1) 1 ； (y 1) 0 ； (y 1) 1.解得x 1,x 0, x 2, x0,2, xx 1,2,xx 1 ,0, xy 2; y 2;yy 0;y 1; y 0; y 1;y 0; y 2.(x, y).對以上共計93 甲.D1 a

11、 1a b 1 2a b,所以這四個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為解：由題設(shè)知，1 (a 1) (a b 1) (2a b)3 4a 2b ，44(a 1) (a b 1)4 4a 2b ，中位數(shù)為BC1 421b 2 2b34a4 4a .于是 444B.3 (乙).，連接AE解：如圖，以 CD為邊作等邊 CDE，CE, CD = BC由于AC = ，/ ACD + / ACD+ / BCD / =BCA / =DCE / =ACE 精品資料分享word版-精品文檔所以 BCDACE， BD = AE.ADC 30 ADE 90 .又因為，所以 AE 5， AD 3， ADE Rt中，在 V22 4 ADA

12、E，所以 CD = DE =于是 DE4.=D.4 甲yx，元、小玲所有的錢數(shù)為 y元，均為非負整數(shù).由題設(shè)可得 解：設(shè)小倩所有的錢數(shù)為 xx 2 n(y 2), y n 2(x n),消去 x 得(2y 7)n = y+4 ,(2y 7) 1515 1 .2n =2y 72y 715為正整數(shù)，所以2y 7的值分別為1, 3, 5, 15,因為所以y的值只能為4, 5, 6, 11 從2y 7而n的值分別為8, 3 , 2 ,1; x的值分別為14 , 7, 6 , 7 4 (乙).Cq 0,故方程的根為一正一負由二次由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系知，兩根的乘積為解：223x 0q 33 y xp

13、x qp 9y 0q 3p qp,由于 函數(shù)，所以時，.即的圖象知，當，20 4q p) p, q (p p1 2組7,< 2此時都有 < 5;或.于是共有，1W都是正整數(shù)，所以 qq, 1 <符合題意.D5 (甲).的余數(shù)分別個，其和除以 4解：擲兩次骰子，其朝上的面上的兩個數(shù)字構(gòu)成的有序數(shù)對a b ab 1 (a 1)(b 1)，解：所以每次操作前和操作后，黑板上的每個數(shù)加因為1后的乘積不變.x，那么99設(shè)經(jīng)過次操作后黑板上剩下的數(shù)為精品資料分享word版-精品文檔1111)1) (1)(1 (1 1)( x ,10023100X x 1 101,.解得二、填空題 x&l

14、t; 196 (甲).7V解：前四次操作的結(jié)果分別為80.x 26) 2 = 81x , 3(9x 8) 2 = 27x 26, 3(272 3x , 3(3x 2) 2 = 9x 8 , x 27 由已 知得 26< 487487.> 81x 80< 19. 7V x解得2 3x8 9x的取值范圍是w 487 < 487，故x容易驗證，當7v x< 19時，.7V x < 19.76 (乙)101119b c a 在解：得兩邊乘以 9 aa bb ccbaacbc7 10 3 即ADac bb c a bb cc aa8.7 (甲)BFNABCDaB F

15、C由題設(shè)易知.記正方形的邊長為2解：連接DF , DAN s，所以2DNADAN , 1BNBFNF2AF ANNF2AN，所以由此得3a , BFAB 2a，所以 ABF中，因為在Rt 22a5AF ABBF， 52AB BAF cos . 于是5AFAFB AED ，由題設(shè)可知 ADEBAF，所以0090AFB 180 BAF AME 180 BAF AED.52a AMAE cosBAF于是542a AMAFAMANMN，-153精品資料分享SMN4 MNDword版-精品文檔SAF15afd 14822aS S (2a) S 2a (2a).，所以又 AFDMND AFD 21515a

16、 15S 8.因為，所以mnd28.7 (乙) 一 5OMDE OMMDE ，連接解：如圖，設(shè)的中點為，貝U V2216 12OB 20 ，所以因為 4812OC16 OB OM ， 520BC6436V22 BM OC，OMCM 55283664) BMDM CM) (CE BD(EM BM CM 5552 . 8 (甲)一 3的方程有根據(jù)題意，關(guān)于x解：9322)k(k 3 4?0=k， 242< 0. 3) (k 由此得93222 3) > 0,所以(k . =x+x=0，解得=3. =0，從而 k 此時方程為 xx+3 又(k 3)2 242021X21 1 =故.一 20

17、21X3X22.1610(乙) 822242229n n 3 nn5 n 3n n 3 n 解：442 1,或5kn 5k )(mod51|5(n 9)n 因此，因此，所以 25 40220212021-402=1610個數(shù)所以共有 8.(甲)9b130 3b2aa < 43.解：設(shè)平局數(shù)為0W,勝(負)局數(shù)為，由題設(shè)知b,由此得2) 1)(m(m 2)m (m 1)(22a b ba 于是，所以又.22)b m m(130 1)(0<，< 43 精品資料分享精品文檔word版-2) (m 1)(m ，87<< 1309 m 8m.，或由此得55ba a 35a

18、5m 9b a 20,8m b 40，.，時，不合題設(shè)；當時，當一 228m 故.a53 1 .9(乙)c2(1)ca b a b c，代入(解：依題意得：，所以2)得111 (2) - abc 11111，兩邊乘以 a 得一 一 一 ccc aabaacaa222 1 0 3aca c c ，兩邊除以得化簡得即a c accc,，25 a33 5aa 0 ) 1 3(所以 2c2cc a3 5a1 1 ，綜合得a 另一方面： w bw c 所以一一 c2ca2k 0 1 3kkck) b (1 )化簡得，由(1可令)得，解得，代入(2另解：5 3 535 3 k 1k1 k,綜合得w c,所

19、以a. 另一方面:wb222, 32 甲.102 . , OD 解：如圖，連接 AC, BD. BDA = 90 ° 的直徑知/ BCA = / O 由 AB 是O O ABCD 是O BFC = 90 °，四邊形依題設(shè)/的內(nèi)接四邊形，所以，BADBCF = ZZ BABC . BAD ，因此s 所以 Rt BCFRt ADCFBCODACODCDAD OOD 因為是O的半徑，=，所以垂直平分，/,精品資料分享精品文檔版-wordOEDE2 .于是因此OBDCAD 32AD, CEDE 2CD .3BABEEC AE CEBDE BA BE , AEAED ,s因為，知由2

20、23BA22BA AD 3AD2AD =，故，BA 所以222BC3AD CF BC .BA22210 乙.1222bb b aa n a依題意得 解：n 4kn, a-b、同奇偶，所以n是4由于的倍數(shù)，即是偶 數(shù)，a+b (a, b) n時，4的倍數(shù)共有25個，但要滿足題中條件的唯一正整數(shù)對當1 W,那么：w 1002p p或kk，其中p是素數(shù)，因此，k只能取以下12個數(shù)：2、3、5、7、11、13、17、19、 23、4、9、25,從而這樣的 n有12個。三、解答題1 x 3y 0,所以11 (甲).解：因為當 時，恒有2(m 3)(4m 2)0,2m 10 1)(m.，所以即(3 分)x

21、 1x 300yy，即ww當時，；當時，2021)m (m 3)( 1), w202m m 3( 3) 3 w,且8分)(202x mx 3m xx,由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)，的兩個實數(shù)根分別為設(shè)方程21, XX m XX 3m 2.系得2211X x119m 39i2，因為，所以 xxIOxxm 2102211精品資料分享word版-精品文檔m 12m 2.解得，或m 12.因此15 分AO4AO 8，=解：因為 sin / ABC ，11 乙.%5AB226 AOBO AB .由勾股定理，得所以AB = 10 ACOABO.= BO = 6， 因此易知 CO06，C 8B6，0A0，,于

22、是.nm，的坐標為.設(shè)點 DS SSS .由，得 AOBADEACOECDB 1111 丨 68 n BC n AO BO 12所以， 22224n解得 4，3.因此D為AB的中點，點 D的坐標為BC的重心，的兩條中線，點 E為厶A因此CD , AO分別為AB , BC8 0,.來求得.所以點E的坐標為也可由直線 CD交y軸于點 L 36x y ax 6設(shè)經(jīng)過B，C三點的二次函數(shù)的解析式為.，E2將點E的坐標代入，解得a =.27822 xy 三點的二次函數(shù)的解析式為E 故經(jīng)過 B，C，.327OBO的直徑，所以為 證明：連接BD，因為12 甲.1DE ODB 90 DC 是等腰三角形.，所以

23、 CBE 又因為 分 5OMB 90BCOM 又OM與，連接交于點，那么設(shè)iOBOC因為，所以DBC 2 BOC 2 DOM F DO 2 DBFi 分10BOCFDOFDOBOC ， 又因為的頂角， 所以分別是等腰厶， 等腰 iiFDOBOC 1 15分如圖，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)和同弧上圓周角相等1 乙12.證明：IDA IAD CID ，的性質(zhì)知：精品資料分享word版-精品文檔CDI CDB BDI BAC IDA IAD IDA .CID CDI, CI = CD 所以.同理，CI = CB .故點C是厶IBD的外心.連接OA , OC ,因為I是AC的中點，且 OA = OC ,所以

24、OI丄AC，即Ol丄CI .故OI是厶IBD外接圓的切線.(2)如圖，過點I作IE丄AD于點E，設(shè)OC與BD交于點F.BC CD，知 OC 丄 BD 由RtA BCF也Rt AIE 所以 BF = AE .，所以因為/ CBF = / IAE，BC = CI=AIAB AD BD 2AE BD BD 2BF BD. ABD的內(nèi)心，所以又因為I是厶AB AD 2BD .故AB CD AD BC ACAC 2BC 2CD BD代入即得結(jié)論也可由托勒密定理得：，再將AB AD 2BD。2 (n 是自然數(shù)).m 是素數(shù))，ab = n13 (甲).解：設(shè) a b = m (22， b) 4ab = (

25、a+b)a因為22 2，= 4nm (2a m)所以2.) = m +2n)(2a m 2n (2a m (5 分)n 1 時，因為 2a m+2n 與 2a m 2n 都是正整數(shù)，且 2a m+2n >2a m( 1)當2n (m 為素 21.n2 mm ， 2a 數(shù))，所以 2a m+2n22 1)1m(m n .，a 解得442 m 1 b .a= m于是4 10 分21m > 2021.，即?2021又a 421 89又因為m是素數(shù)，解得89.此時，a>=2025. 4a 2025m 89b 1936n 1980.時，當，此時，a的最小值為 2025.n 0b 0 a

26、,從而得a的最小值為2021，所以2021 素數(shù)當2。時，因為 綜上所述，所求的 a的最小值為2021。15分精品資料分享-精品文檔word版150 °內(nèi)角的外角k個內(nèi)角等于150 °，那么每個13 乙.解：設(shè)凸n邊形最多有 30°，都等 于36012 n12 k ，只有當個外角和為 360 °，所以時，而凸n邊形的n 3012 n分下 面我們討論時的情況：k才有最大值12. 512 n ； k 1當?shù)闹凳?1時，顯然，3,4,5,6,7 n ； 4，5 時，k 的值分別為 1，2，3,當28,9,10,11 n10 分時，k的值分別為7，8，9，3當10. 11n n3 n 7 28邊邊形最多有綜上所述，當時，凸n個內(nèi)角等于150 °；當時，凸n12 nn