2.6實(shí)數(shù)例題與講解(2013-2014學(xué)年北師大八年級(jí)上)

1、6實(shí)數(shù)1實(shí)數(shù)的概念及分類(1)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)(2)實(shí)數(shù)的分類：我們所學(xué)習(xí)的實(shí)數(shù)范圍大、類別多，按照不同的標(biāo)準(zhǔn)就有不同的分類方法，總體來說有兩種情況：按定義來分類按正、負(fù)數(shù)來分類實(shí)數(shù)分類是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，對(duì)實(shí)數(shù)分類時(shí)要做到按同一標(biāo)準(zhǔn)，既不重復(fù)，又不遺漏對(duì)啊! 還要注意：0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，它是一個(gè)中性數(shù)，它在實(shí)數(shù)里扮演著重要角色. 我們通常把正實(shí)數(shù)和0合稱為非負(fù)數(shù)，把負(fù)實(shí)數(shù)和0合稱為非正數(shù).【例1】 把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi)：0，0.，1.234 56，49.(1)有理數(shù)集合：；(2)無理數(shù)集合：；(3)正實(shí)數(shù)集合：；(4)負(fù)實(shí)數(shù)集合：分析：實(shí)數(shù)按照不同的分類標(biāo)準(zhǔn)有兩種分類方

2、法，將實(shí)數(shù)分類時(shí)，屬于有理數(shù)集合的一定不屬于無理數(shù)集合，屬于正實(shí)數(shù)集合的一定不屬于負(fù)實(shí)數(shù)集合，但是屬于有理數(shù)集合的數(shù)有可能屬于正實(shí)數(shù)集合解：(1)有理數(shù)集合：，0.，49，.(2)無理數(shù)集合：，1.234 56，(3)正實(shí)數(shù)集合：，0.，1.234 56，.(4)負(fù)實(shí)數(shù)集合：，49，點(diǎn)技巧 實(shí)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解答本題時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：(1)對(duì)于，雖然有負(fù)號(hào)，但是最終化為正數(shù)，雖然含有根號(hào)，但是可以開得盡方，所以它既是正數(shù)又是有理數(shù)；(2)0既不是正數(shù)又不是負(fù)數(shù)；(3)一切分?jǐn)?shù)都是有理數(shù)2.實(shí)數(shù)的性質(zhì)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的意義完全一樣(1)相反

3、數(shù)：實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是a,0的相反數(shù)是0，具體地，若a與b互為相反數(shù)，則ab0；反之，若ab0，則a與b互為相反數(shù)如：與，與均互為相反數(shù)(2)絕對(duì)值：一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0.實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值可表示為|a|就是說實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值一定是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即|a|0，并且若|x|a(a0)，則x±a.例如：|，|，|，|()，. (3)倒數(shù)：乘積為1的兩個(gè)實(shí)數(shù)互為倒數(shù)，即若a與b互為倒數(shù)，則ab1；反之，若ab1，則a與b互為倒數(shù)這里應(yīng)特別注意的是0沒有倒數(shù)(4)實(shí)數(shù)大小的比較：有理數(shù)大小的比較法則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立，所以我們可以得到比較實(shí)數(shù)大小的

4、法則：正實(shí)數(shù)都大于0，負(fù)實(shí)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)，絕對(duì)值大的反而?。粩?shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大在進(jìn)行實(shí)數(shù)比較大小時(shí)，我們會(huì)經(jīng)常用到估算法、乘方法、作商法、求差法等等，由于方法多種多樣，所以要根據(jù)實(shí)際采用適當(dāng)?shù)姆椒ǎ嗫煞謩e嘗試應(yīng)用【例21】 解答下列問題：(1)求的絕對(duì)值；(2)若某數(shù)的絕對(duì)值是，求這個(gè)數(shù)；(3)已知|x|，求實(shí)數(shù)x；(4)設(shè)a與b互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，m的倒數(shù)是其本身，化簡(jiǎn)(ab)m|m|.分析：(1)6，6的絕對(duì)值是6；(2)(3)在解決時(shí)要考慮到正負(fù)兩種情形；(4)由a與b互為相反數(shù)可得ab0，由c與d互為倒數(shù)可得cd1，由m的

5、倒數(shù)是其本身可得m±1，然后化簡(jiǎn)可解解：(1)|6|6.(2)|，|，絕對(duì)值是的數(shù)是±.(3)|x|，x±.(4)由題意，得ab0，cd1，m±1.當(dāng)m1時(shí)，原式10×110；當(dāng)m1時(shí)，原式10×(1)|1|112.注：(2)(3)兩題實(shí)質(zhì)是一樣的，只是表達(dá)形式不同，解題時(shí)要防止丟掉負(fù)實(shí)數(shù)【例22】比較下列各組數(shù)的大?。?1)3.141 5和；(2)2和3.分析：解：(1)|3.141 5|3.141 5，|3.141 592，3141 5，3.141 5.(2)(2)24×1144，(3)29×545,4455，

6、23.點(diǎn)技巧 比較負(fù)無理數(shù)的大小(1)比較兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)大小時(shí)，應(yīng)先比較其絕對(duì)值的大小，絕對(duì)值大的反而?。?2)因?yàn)?和3都是無理數(shù)，整數(shù)部分很難確定，所以可以利用乘方法，乘方大的這個(gè)數(shù)就大3實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)即實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的因此，數(shù)軸正好可以被實(shí)數(shù)填滿【例3】 大家知道，數(shù)軸上的點(diǎn)有些表示有理數(shù)，有些表示無理數(shù)，請(qǐng)你在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)分析：考慮到()2943222，可以利用勾股定理在數(shù)軸上作出長(zhǎng)為的線段，從而找到表示的點(diǎn)解：作法如下：(1)在數(shù)軸上找到一點(diǎn)A，使OA3；(2)過A作AT垂直于數(shù)軸，垂足

7、為A，在AT上截取AB2；(3)連接OB；(4)以O(shè)為圓心，OB為半徑作弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn)C即為表示的點(diǎn)點(diǎn)評(píng)：在數(shù)軸上作無理數(shù)一般是借助勾股定理4實(shí)數(shù)的運(yùn)算(1)運(yùn)算法則、運(yùn)算律有理數(shù)的運(yùn)算法則與運(yùn)算律對(duì)實(shí)數(shù)仍然適用值得一提的是，實(shí)數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，又可以進(jìn)行開方運(yùn)算，其中正實(shí)數(shù)可以開平方(2)運(yùn)算順序在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行5.與a的算術(shù)平方根之區(qū)別與a的算術(shù)平方根是代數(shù)中兩個(gè)十分重要的概念，兩者有非常密切的聯(lián)系，但也有所區(qū)別，主要表現(xiàn)在以下幾方面

8、：(1)是一種代數(shù)式，而a的算術(shù)平方根是一種運(yùn)算.(a0)是一種代數(shù)式，一種含有二次根號(hào)“”的代數(shù)式而算術(shù)平方根是指一種運(yùn)算，一種與平方互為逆關(guān)系的運(yùn)算(2)比a的算術(shù)平方根內(nèi)涵更豐富.雖然建立在a的算術(shù)平方根上，但它比a的算術(shù)平方根的含義更豐富對(duì)于來說，它表示的意義仍然是非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根用的形式表示一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根具有形式簡(jiǎn)潔、含義深刻等優(yōu)點(diǎn)，通過二次根式探索、表達(dá)算術(shù)平方根的性質(zhì)更是如魚得水、簡(jiǎn)便之極(3)算術(shù)平方根不一定帶根號(hào)如3是9的算術(shù)平方根【例4】 對(duì)于題目“化簡(jiǎn)并求值：，其中a”，甲、乙二人的解答不同甲的解答是：aa；乙的解答是：aa.誰的解答是錯(cuò)誤的？為什么？分析：甲、乙二人的解答區(qū)別在于的化簡(jiǎn)，其值是非負(fù)數(shù)由于a，所以結(jié)果應(yīng)是a.解：乙的解答是錯(cuò)誤的理由：a，則a0，a.注意：|a|與在化簡(jiǎn)時(shí)一定要考慮其值的非負(fù)性6實(shí)數(shù)在生活中的應(yīng)用實(shí)數(shù)是日常生活、生產(chǎn)中必不可少的數(shù)，它們與我們的生活息息相關(guān)，因此，與實(shí)數(shù)相關(guān)的問題自然成為中考命題的熱點(diǎn)數(shù)學(xué)知識(shí)生活化是近幾年來中考熱點(diǎn)之一，實(shí)數(shù)也不例外，將生活中的實(shí)數(shù)搬進(jìn)中考已成為中考的一個(gè)亮點(diǎn)【例5】 教生物的老師想設(shè)計(jì)一個(gè)長(zhǎng)方形的實(shí)驗(yàn)基地，便于同學(xué)們進(jìn)