2017考研數(shù)學(xué)：線性代數(shù)必考公式與定理

1、考研VIP 只為更出眾2017考研數(shù)學(xué)：線性代數(shù)必考公式與定理基本性質(zhì)性質(zhì)一：如果一個(gè)行列式的某一行全為，則行列式的值等于.性質(zhì)二：如果一個(gè)行列式的某兩行元素對(duì)應(yīng)成比例，則行列式的值等于.性質(zhì)三：將行列式的任意兩行互換位置后，行列式改變符號(hào)。性質(zhì)四：將行列式的某一行乘以一個(gè)常數(shù)后，行列式的值變?yōu)樵瓉淼谋丁Ｐ再|(zhì)五：將行列式的一行的倍加到另一行上，行列式的值不變。性質(zhì)六：如果行列式某一行的所有元素都可以寫成兩個(gè)元素的和，則該行列式可以寫成兩個(gè)行列式的和，這兩個(gè)行列式的這一行分別為對(duì)應(yīng)兩個(gè)加數(shù)，其余行與原行列式相等。即性質(zhì)七：將行列式的行和列互換后，行列式的值不變，也即。低階行列式的計(jì)算公式2）上三

2、角或下三角行列式范德蒙行列式代數(shù)余子式，記作行列式的展開定理行列式的值等于其任何一行（或列）所有元素與其代數(shù)余子式乘積之和，即定義2.4】：設(shè)，（注意的列數(shù)和的行數(shù)相等），定義矩陣，其中，稱為矩陣與矩陣的的乘積，記作。定義2.4】：設(shè)，（注意的列數(shù)和的行數(shù)相等），定義矩陣，其中，稱為矩陣與矩陣的的乘積，記作。方陣的行列式設(shè)為階方陣，且為一實(shí)數(shù)，則有，其中分別為階，階方陣。此公式又稱為拉普拉斯展開定理?！径x2.7】：對(duì)于一個(gè)階方陣，如果存在一個(gè)階方陣,使得，則稱矩陣為可逆矩陣，并稱矩陣為矩陣的逆矩陣，記作。設(shè)為階矩陣的代數(shù)余子式（回憶代數(shù)余子式的定義），定義為的伴隨矩陣。1. 基本性質(zhì)性質(zhì)一：

3、若可逆，則唯一。性質(zhì)二：若可逆，則均可逆，且。性質(zhì)三：若為同階可逆矩陣，則可逆，且。推廣：，。性質(zhì)四：若可逆，且則可逆，且。性質(zhì)五：若可逆，則。性質(zhì)六：若均可逆，則均可逆且，。2.常用公式定理定理1：設(shè)為階方陣，為它的伴隨矩陣則有。定理2：設(shè)為階方陣，則可逆的充要條件為。定理3：設(shè)為階方陣，那么當(dāng)或時(shí)，有定義2.10】：矩陣最高階非零子式的階數(shù)稱之為矩陣的秩，記為。常用公式定理1）；2）； 3）且各行元素成比例；4） 設(shè)為階矩陣，則。定義2.11】：我們對(duì)矩陣可以做如下三種初等行（列）變換：a.交換矩陣的兩行（列）；b.將一個(gè)非零數(shù)乘到矩陣的某一行（列）；c.將矩陣的某一行（列）的倍加到另一行

4、上。【定義2.12】：對(duì)單位矩陣實(shí)施一次初等變換得到的矩陣稱之為初等矩陣設(shè)矩陣為同型矩陣，如果矩陣經(jīng)過有限次初等行變換之后可以變成，則稱矩陣等價(jià)，記作。常用公式定理定理4：對(duì)矩陣左乘一個(gè)初等矩陣，等于對(duì)作相應(yīng)的行變換；對(duì)矩陣右乘一個(gè)初等矩陣，等于對(duì)作相應(yīng)的列變換。定理5：所有初等矩陣都是可逆的，并且它們的逆矩陣均為同類的初等矩陣定理6：矩陣可逆的充要條件是它能表示成有限個(gè)初等矩陣的乘積，即，其中均為初等矩陣。定理7：矩陣與矩陣等價(jià)的當(dāng)且僅當(dāng)存在可逆矩陣使得。定義3.3】：設(shè)是個(gè)維向量，是個(gè)常數(shù)，則稱為向量組的一個(gè)線性組合。【定義3.4】：設(shè)是個(gè)維向量，是一個(gè)維向量，如果為向量組的一個(gè)線性組合，

5、則稱向量可以由向量組線性表出。定義3.5】：設(shè)有向量組（）與向量組（），如果則稱向量組（）與向量組（）能相互線性表出，則稱向量組（）與向量組（）等價(jià)，記作（）（）。3.線性相關(guān)設(shè)是個(gè)維向量，如果存在不全為零的實(shí)數(shù)，使得，則稱向量組線性相關(guān)。如果向量組不是線性相關(guān)的，則稱該向量組線性無關(guān)。內(nèi)積與正交【定義3.6】：假設(shè)，則定義和的內(nèi)積。【定義3.7】：如果向量和的內(nèi)積，則稱向量和正交【定義3.8】：設(shè)為由非零向量組成的向量組，如果其中任意兩個(gè)向量都是正交的，則稱該向量組為正交向量組。與線性表出與線性相關(guān)性有關(guān)的基本定理定理1：向量組線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)中至少有一個(gè)是其余個(gè)向量的線性組合。定理2：若向

6、量組線性相關(guān)，則向量組也線性相關(guān)。注：本定理也可以概括為“部分相關(guān)整體相關(guān)”或等價(jià)地“整體無關(guān)部分無關(guān)”。定理3：若向量組線性無關(guān)，則向量組的延伸組也線性無關(guān)。定理4：已知向量組線性無關(guān)，則向量組線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)可以由向量組線性表出。定理5：階梯型向量組線性無關(guān)。定理6：若向量組可以由向量組線性表出，且線性無關(guān)，則有。定理7： 個(gè)維向量必然線性相關(guān)。施密特正交化這是把線性無關(guān)向量組改造為與之等價(jià)的正交向量組的方法。假設(shè)線性無關(guān)，則此時(shí)是和等價(jià)的正交非零向量組。向量的極大線性無關(guān)組中所含向量個(gè)數(shù)稱為該向量組的秩，記作。定理8：任一向量組和自己的極大線性無關(guān)組等價(jià)。推論1：向量組的任意兩個(gè)極大線性

7、無關(guān)組等價(jià)。推論2：等價(jià)的向量組的極大線性無關(guān)組等價(jià)。定理9：向量組任意兩個(gè)極大線性無關(guān)組所含的向量的個(gè)數(shù)相等。定理10：矩陣的行秩等于列秩且等于矩陣的秩。定理11：設(shè)為個(gè)維向量，則線性無關(guān)的充要條件是以它們?yōu)榱邢蛄康木仃嚨男辛惺健６ɡ?2：如果向量組可以由向量組線性表出，則。定理13：向量組能線性表出向量的充要條件是。線性方程組解的存在性定理16：設(shè)，其中為的列向量，則線性方程組有解向量能由向量組線性表出；2線性方程組解的唯一性定理17：當(dāng)線性方程組有解時(shí)，的解不唯一（有無窮多解）線性方程組的導(dǎo)出組有非零解；向量組線性相關(guān)；。推論1：設(shè)為階方陣，則線性方程組有唯一解的充要條件是定理18：如果

8、為齊次線性方程組的兩個(gè)解，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)，仍為的解?！径x3.13】：假設(shè)齊次線性方程組有非零解。向量組稱為齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，如果它們滿足如下三個(gè)條件：（1）都是的解；（2）線性無關(guān)；（3）的任意解都可以由線性表出。如果為的基礎(chǔ)解系，則的通解可以表示為。定理19：設(shè)齊次線性方程組（個(gè)方程，個(gè)未知量）系數(shù)矩陣的秩，則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系存在，并且任一個(gè)基礎(chǔ)解系中含有個(gè)解向量。定理20：（1）如果為非齊次線性方程組的兩個(gè)解，則為的解。（2）如果為非齊次線性方程組的解，為齊次線性方程組的解，則為非齊次線性方程組的解。4非齊次線性方程組解的通解定理21（非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)）：設(shè)為齊次

9、線性方程組的基礎(chǔ)解系，為非齊次線性方程組任意一個(gè)解，則非齊次線性方程組的通解可以表示為（）。定義4.1】：設(shè)為階矩陣，是一個(gè)數(shù)，若存在一個(gè)維的非零列向量使得關(guān)系式成立。則稱是矩陣的特征值，是屬于特征值的特征向量。設(shè)為階單位矩陣，則行列式稱為矩陣的特征多項(xiàng)式。定理1：設(shè)都是矩陣屬于特征值的特征向量，則對(duì)任意常數(shù)，當(dāng)時(shí)，也是矩陣屬于特征值的特征向量。定理2：矩陣不同特征值的特征向量線性無關(guān)；并且設(shè)矩陣的特征值為重特征值，則至多有個(gè)線性無關(guān)的特征向量。定理3：設(shè)，則對(duì)任意的多項(xiàng)式，當(dāng)矩陣可逆時(shí)，還有。定理4：設(shè)為任意多項(xiàng)式，如果矩陣滿足，則的任一特征值滿足。定理5：設(shè)矩陣所有的特征值為（其中可以有一

10、樣的，也可以有虛數(shù)），則有，。定義4.2】：設(shè)和為兩個(gè)階方陣，如果存在一個(gè)階可逆矩陣使得，則稱矩陣和相似，記作。定義4.3】：對(duì)階方陣，如果存在一個(gè)階對(duì)角矩陣使得與相似，則稱矩陣可相似對(duì)角化，并把稱為矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)型。相似矩陣的性質(zhì)）；）且矩陣可逆；），其中為多項(xiàng)式；）；）； ），也即相似的矩陣具有相同的特征值； ）令，稱為矩陣的跡，即矩陣的跡就是的所有主對(duì)角元的和，則。定理7：階矩陣的特征值可相似對(duì)角化的充要條件是矩陣存在個(gè)線性無關(guān)的特征向量。同時(shí)，在等式中，對(duì)角矩陣的元素為的個(gè)特征值，可逆矩陣的列向量為矩陣的個(gè)線性無關(guān)的特征向量，并且中特征向量的排列順序與中特征值的排列順序一致。推論：設(shè)矩

11、陣有個(gè)互不相同的特征值，則矩陣可相似對(duì)角化。定理8：階矩陣的特征值可相似對(duì)角化的充要條件是對(duì)任意特征值，線性無關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)都等于的重?cái)?shù)。推論：階矩陣矩陣可相似對(duì)角化的充要條件是對(duì)任意特征值，的重?cái)?shù)。設(shè)為實(shí)對(duì)稱矩陣（），則關(guān)于的特征值與特征向量，我們有如下的結(jié)論：定理8：的所有特征值均為實(shí)數(shù)，且的的所有特征向量均為實(shí)數(shù)。定理9：屬于不同特征值的特征向量必正交。定理10：一定有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，即可以對(duì)角化。且存在正交矩陣，使得，其中為矩陣的特征值。我們稱實(shí)對(duì)稱矩陣可以正交相似于對(duì)角矩陣。含有個(gè)變量的二次齊次多項(xiàng)式（其中）稱為元二次型義5.3】：設(shè)有元二次型和，如果存在非退化的線性變換，將

12、二次型變成，則稱這兩個(gè)二次型合同，記作?！径x5.4】：設(shè)有階實(shí)對(duì)稱矩陣和，如果存在可逆矩陣使得，則稱矩陣和合同，記作。定義5.5】：如果二次型中，只含有平方項(xiàng)，所有混合項(xiàng)的系數(shù)全為零，也即形如，則稱該二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。如果二次型合同于標(biāo)準(zhǔn)形，則稱為二次型的合同標(biāo)準(zhǔn)形?；拘再|(zhì)）；）且矩陣可逆；）。2.常用公式定理定理1：任何一個(gè)實(shí)二次型都可以通過合同變換化為標(biāo)準(zhǔn)形。定義5.6】：二次型的合同標(biāo)準(zhǔn)形中正項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱之為二次型的正慣性指數(shù)；相應(yīng)地，其中負(fù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱之為二次型的負(fù)慣性指數(shù)。定義5.7】：如果某一標(biāo)準(zhǔn)形中平方項(xiàng)的系數(shù)僅為或，也即形如，則稱該二次型為規(guī)范形。如果二次型合同于規(guī)范形，則稱為的合同規(guī)范形。定理2（慣性定理）：對(duì)于一個(gè)實(shí)二次型，不管通過怎樣的坐標(biāo)變換將它化為標(biāo)準(zhǔn)形，它的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性