年新人教A版本數(shù)學(xué)必修一 指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)冪函數(shù)綜合基礎(chǔ)知識講解

1、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)綜合【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解有理指數(shù)冪的含義，掌握冪的運算.2理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點3理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)4重點理解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握指數(shù)、對數(shù)運算法則，明確算理，能對常見的指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)進(jìn)行變形處理.5會求以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)為載體的復(fù)合函數(shù)的定義域、單調(diào)性及值域等性質(zhì).6知道指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)(a0，a1).【知識框圖】【要點梳理】要點一、指數(shù)及指數(shù)冪的運算1.根式的概念的次方根的定義：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中當(dāng)為奇數(shù)時，正數(shù)的次方根為正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是負(fù)數(shù)，表示為；當(dāng)

2、為偶數(shù)時，正數(shù)的次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)可以表示為.負(fù)數(shù)沒有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子叫做根式，叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù).2.n次方根的性質(zhì)：(1)當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，(2)3.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：；要點詮釋：0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.4.有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：(1) (2) (3)要點二、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1.指數(shù)函數(shù)概念一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域為.2.指數(shù)函數(shù)函數(shù)性質(zhì)：函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)定義0101函數(shù)且叫做指數(shù)函數(shù)圖象定義域值域過定點圖象過定點，即當(dāng)時，.奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對

3、圖象的影響在第一象限內(nèi)，從逆時針方向看圖象，逐漸增大；在第二象限內(nèi)，從逆時針方向看圖象，逐漸減小.要點三、對數(shù)與對數(shù)運算1.對數(shù)的定義(1)若，則叫做以為底的對數(shù)，記作，其中叫做底數(shù)，叫做真數(shù).(2)負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù).(3)對數(shù)式與指數(shù)式的互化：.2.幾個重要的對數(shù)恒等式，.3.常用對數(shù)與自然對數(shù)常用對數(shù)：，即；自然對數(shù)：，即(其中).4.對數(shù)的運算性質(zhì)如果，那么加法：減法：數(shù)乘：換底公式：要點四、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1.對數(shù)函數(shù)定義一般地，函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域.2.對數(shù)函數(shù)性質(zhì)：函數(shù)名稱對數(shù)函數(shù)定義函數(shù)且叫做對數(shù)函數(shù)圖象0101定義域值域過定點圖象過定點，即當(dāng)時，.奇偶性

4、非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，從順時針方向看圖象，逐漸增大；在第四象限內(nèi)，從順時針方向看圖象，逐漸減小.要點五、反函數(shù)1.反函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)的定義域為，值域為，從式子中解出，得式子.如果對于在中的任何一個值，通過式子，在中都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么式子表示是的函數(shù)，函數(shù)叫做函數(shù)的反函數(shù)，記作，習(xí)慣上改寫成.2.反函數(shù)的性質(zhì)(1)原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.(2)函數(shù)的定義域、值域分別是其反函數(shù)的值域、定義域.(3)若在原函數(shù)的圖象上，則在反函數(shù)的圖象上.(4)一般地，函數(shù)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù).要點六、冪函數(shù)1.冪函數(shù)概念形

5、如的函數(shù)，叫做冪函數(shù)，其中為常數(shù).2.冪函數(shù)的性質(zhì)(1)圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象.冪函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于軸對稱)；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點對稱)；是非奇非偶函數(shù)時，圖象只分布在第一象限. (2)過定點：所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都通過點. (3)單調(diào)性：如果，則冪函數(shù)的圖象過原點，并且在上為增函數(shù).如果，則冪函數(shù)的圖象在上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近軸與軸.【典型例題】類型一：指數(shù)、對數(shù)運算例1.化簡與計算下列各式（1）；（2）；（3）【思路點撥】運算時盡量把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，而小數(shù)也要化為

6、分?jǐn)?shù)為好.【答案】（1）；（2）100；(3)【解析】(1)原式=1+=；(2)原式= = =100(3) 原式=.【總結(jié)升華】化簡要求同初中要求，注意結(jié)果形式的統(tǒng)一，結(jié)果不能同時含有根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)；一般地，進(jìn)行指數(shù)冪運算時，化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)位分?jǐn)?shù)等，便于進(jìn)行乘、除、乘方、開方運算，以達(dá)到化繁為簡的目的； 舉一反三：【變式一】化簡下列各式：(1)； (2).【答案】（1）-27；（2）【解析】(1) ；(2) .例2 已知：，求：的值.【思路點撥】先化簡再求值是解決此類問題的一般方法.【答案】2 【解析】 當(dāng)時，.【總結(jié)升華】解題時觀察已

7、知與所求之間的關(guān)系，同時乘法公式要熟練，直接代入條件求解繁瑣，故應(yīng)先化簡變形，創(chuàng)造條件簡化運算. 解題時，要注意運用下列各式，;例3.計算(1) ； (2)；(3) 【答案】(1)；(2)1；(3)3；(4)14【解析】(1)原式=；(2)原式= = =1-+=1(3)原式=2+=3；【總結(jié)升華】這是一組很基本的對數(shù)運算的練習(xí)題，雖然在考試中這些運算要求并不高，但是數(shù)式運算是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本功，通過這樣的運算練習(xí)熟練掌握運算公式、法則，以及學(xué)習(xí)數(shù)式變換的各種技巧.【變式1】=（ ）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】=【變式2】(1)；(2)【答案】(1)2；(2)【解析】(1) 原

8、式 ；(2) 原式 類型二：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)例4.已知函數(shù)則( )A.4 B. C.-4 D.-【答案】B【解析】，.【總結(jié)升華】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念，求解函數(shù)的值.舉一反三：【變式一】已知函數(shù)若，則實數(shù)等于（ ）A. B. C. 2 D. 9【答案】【解析】，由，則有，選例5.函數(shù)的定義域( ) A. B. C. D. 【答案】D【解析】【總結(jié)升華】以對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)為背景的函數(shù)定義域問題，一直是高考命題的熱點.解答這類問題關(guān)鍵是緊扣真數(shù)大于零、底數(shù)大于零且不等于1，偶次根號大于等于零、分母不為零【高清課堂：冪指對綜合377495 例4】例6函數(shù)的圖象是（ ）

9、A B C D【答案】B【解析】先作出的圖象，然后作出這個圖象關(guān)于軸對稱的圖象，得到的圖象，再把的圖象右移一個單位，得到的圖象，故選B【高清課堂：冪指對函數(shù)綜合 377495 例1】例7. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A（3，+） B（，3） C（4，+） D（，2）【思路點撥】這是一個內(nèi)層函數(shù)是二次函數(shù)，外層函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，其單調(diào)性由這兩個函數(shù)的單調(diào)性共同決定，即“同增異減”?！敬鸢浮緿【解析】函數(shù)是由復(fù)合而成的，是減函數(shù)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零，即，解得或，所以原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，故選D類型三：綜合問題例8.已知函數(shù)為常數(shù))(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)若a=2，試根據(jù)單調(diào)性定義確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性.(3)若函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)，求a的取值范圍.【思路點撥】（1）利用真數(shù)大于零求解（2）利用定義去證明函數(shù)的單調(diào)性【答案】（1）；（2）f(x)為增函數(shù)；（3）a1【解析】(1)由a0，x0 f(x)的定義域是.(2)若a=2，則設(shè) ， 則故f(x)為增函數(shù).(3)設(shè) f(x)是增函數(shù)，f(x1)f(x2)即 聯(lián)立、知a1，a(1，+).【總結(jié)升華】該題屬于純粹的研究復(fù)合對函數(shù)性質(zhì)的問題，我們抓住對數(shù)函數(shù)的特點，結(jié)合一般函數(shù)求定義域、單調(diào)性的解題思路，對“路”處理即可.舉一反三：【變式1】已知（1）求定義域；