微分中值定理證明不等式方法研究畢業(yè)論文

1、JIU JIANG UNIVERSITY畢 業(yè) 論 文 題 目 微分中值定理證明不等式方法研究英文題目Using differential mean value theorem proving inequality method studying 院 系 理學院 專 業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學 姓 名 胡霞 班 級 A0811班 指導教師 強毅 二零一二年五月摘 要不等式的證明有很多種，其中微分中值定理是證明不等式的一種重要的方法。本文分別給出羅爾中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理以及泰勒中值定理的定義以及分別利用其定理證明的一些不等式。新課程標準更加注重理論聯(lián)系實際且應用實際的原則，因此本文最

2、后還給出一些基本不等式在現(xiàn)實生活中的應用。關(guān)鍵詞: 羅爾中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；泰勒中值定理；不等式證明；不等式的應用 Abstract There are many ways to prove inequality，And value theorem to prove the inequality is a kind of important method. This paper will give some examples that use Roller Mean Value Theorem，Lagrange Mean Value Theorem，Cauchy Mean

3、 Value Theorem and Taylor Mean Value Theorem to prove inequality. The new curriculum standard pay more attention to the principle that theory with the practice and apply practical，therefore this paper finally give some basic inequality in real life application.Key Words: Roller Mean Value Theorem; L

4、agrange Mean Value Theorem; Cauchy Mean Value Theorem; Taylor Mean Value Theorem; Apply of inequality; Prove inequality.目 錄引言1第一章 知識準備21.1微分中值定理定義21.2微分中值定理證明不等式的步驟3第二章 利用羅爾中值定理證明不等式42.1羅爾中值定理的意義及分析42.2 羅爾中值定理的應用4第三章 利用拉格朗日中值定理證明不等式53.1拉格朗日中值定理的意義及分析53.2拉格朗日中值定理證明不等式5第四章 利用柯西中值定理證明不等式84.1柯西中值定理的分析84

5、.2柯西中值定理證明不等式8第五章 利用泰勒中值定理證明不等式115.1泰勒中值定理證明不等式的方法歸納115.2泰勒中值定理證明不等式11第六章 綜合利用微分中值定理證明不等式146.1通過求極值點證明不等式14第七章 微分中值定理證明不等式在解題中的應用16第八章 基本不等式在現(xiàn)實生活中的應用18第九章 研究總結(jié)20參 考 文 獻21致 謝22引 言 不等式是數(shù)學中的重要內(nèi)容,也是數(shù)學中的重要的方法和工具.在微分學中,微分中值定理,函數(shù)單調(diào)性判定定理及極值等重要的結(jié)論都可以用來證明不等式.本文通過幾個具體的例子來具體說明微分中值定理在證明不等式中的運用,以及不同的微分中值定理在解決證明不等

6、式的區(qū)別，并且還給出基本不等式在現(xiàn)實生活中的應用.數(shù)學問題的解決關(guān)鍵在于我們對待數(shù)學問題的方法，如果在學習數(shù)學的過程中，我們能有意識地將數(shù)學問題系列化，解決數(shù)學問題的方法系列化，那么解決數(shù)學問題的能力將會得到升華.在高等數(shù)學的學習中，不等式的證明是可以作為一個系列問題來看待的，不等式的證明是數(shù)學的重要內(nèi)容之一，也是難點之一，其常用的方法有：比較法、綜合法、分析法、重要不等式法、數(shù)學歸納法等，而有一些問題用上述方法解決是困難的，在學完中值定理與導數(shù)的應用的內(nèi)容以后，可以利用微分中值定理、函數(shù)的單調(diào)性、常數(shù)變易法、函數(shù)極值性、凸凹性等知識解決一些不等式證明的問題.因此，微分中值定理為證明不等式注入

7、了新的活力，這一創(chuàng)造性思維有效合理的使不等式獲得證明，從而體現(xiàn)出初等數(shù)學與高等數(shù)學的緊密聯(lián)系.隨著時代的發(fā)展，科技的進步及課程改革的不斷深入，微分中值定理的應用必將滲透到社會領(lǐng)域的方方面面.第一章 知識準備1.1微分中值定理定義微分中值定理是數(shù)學分析中非常重要的基本定理.微分中值定理是指羅爾中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理以及泰勒中值定理.微分中值定理在數(shù)學分析及高等數(shù)學中的地位是不容置疑的,且在解題中的應用也是十分廣泛的.在這里我們就利用微分中值定理證明不等式的方法作一簡述.首先我們要先介紹一下微分中值定理:定理1 羅爾中值定理:如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間內(nèi)可導,且滿足,那么在

8、內(nèi)至少存在一點,使得.定理2 拉格朗日中值定理:如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間內(nèi)可導, 那么在內(nèi)至少存在一點,使得.當函數(shù)在內(nèi)的變化范圍已知時,有,于是可以利用拉格朗日定理來證明一類的不等式.定理3 柯西中值定理:如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間內(nèi)可導,且在內(nèi)每一點均不為零,那么在內(nèi)至少存在一點,使得. 定理4 泰勒中值定理:如果函數(shù)在含有點的區(qū)間上有直到階的導數(shù),則函數(shù)在內(nèi)可表示成一個多項式與一個余項式的和:.其中,. 注:當時,即為拉格朗日中值定理,所以泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣.這個公式又稱為帶有朗格朗日型余項的泰勒公式. 1.2微分中值定理證明不等式的步驟在微分學中,微分中

9、值定理在證明不等式中起著很大的作用,我們可以根據(jù)不等式的兩邊的代數(shù)式選取不同的函數(shù),應用微分中值定理得出一個等式之后,對這個等式根據(jù)取值范圍的不同進行討論,得到不等式,以下通過例子來說明微分中值定理在證明不等式的應用.因此給出利用微分中值定理證明不等式的步驟（1） 構(gòu)造輔助函數(shù)（2）構(gòu)造微分中值定理需要的區(qū)間（2） 利用，對進行適當?shù)姆趴s第二章 利用羅爾中值定理證明不等式 2.1羅爾中值定理的意義及分析羅爾中值定理的幾何意義:在滿足定理條件下,在曲線上必有一點,使得過該點的切線平行于軸.在一般情況下,利用羅爾中值定理很容易證明關(guān)于方程的根的問題,但是僅用羅爾中值定理卻很難證明不等式,所以在利用

10、羅爾中值定理證明時要綜合利用其他的微分中值定理.2.2 羅爾中值定理的應用例1 設函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且.證明：內(nèi)必存在一點，使得.分析：由結(jié)論令 . 證明：令，由于在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且，又,則由羅爾定理知：存在，使得，又，從而在上.再由羅爾定理知：必存在一點，使得即第三章 利用拉格朗日中值定理證明不等式 3.1拉格朗日中值定理的意義及分析拉格朗日中值定理的幾何意義:在滿足定理條件下,在曲線上必有一點,使得過該點的切線平行于曲線兩端點的連線,兩點的弦.我們在證明中引入的輔助函數(shù),正是曲線與弦線之差.拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣,當時,本定理即為羅爾中值定理的結(jié)論,這表明羅爾中值定

11、理是朗格朗日定理的一個特殊情形.拉格朗日中值定理的其它表示形式:(1) ,; (2) ;(3) 值得注意的是:拉格朗日中值定理無論對于,還是都成立.而則是介于與之間的某一定數(shù),而(2),(3)兩式的特點,在于把中值點表示成了,使得不論,為何值,總可為小于的某一整數(shù).3.2拉格朗日中值定理證明不等式例2 (1)如果,試證; (2)求證: .證明 (1)令,在區(qū)間上連續(xù),在內(nèi)可導,應用拉格朗日中值定理,則有,.由于在閉區(qū)間上,有,所以.(2)當時,顯然等號成立.當時,不妨設.設, 由拉格朗日中值定理得, ,.則有 所以 .以上兩個例子都是利用拉格朗日中值定理來證明不等式,有些不等式利用此定理時,方

12、法要靈活些.例3 當時,函數(shù)在其定義域上可導,且為不增函數(shù),又, 求證 .證明 用數(shù)學歸納法當時,顯然不等式成立.當時,若均為,或者一個為時,當一個為時,顯然有 .設均大于,不妨設,在應用拉格朗日中值定理可得:.在上再次利用拉格朗日中值定理可得:顯然,由題設知, .所以 ,即 .假設當時不等式成立,即 .取,顯然的情況不證而明,所以只考慮的情況.取,由前面已證的結(jié)論有 ,再用歸納假設可得 ,即當時結(jié)論成立.所以. .第四章 利用柯西中值定理證明不等式4.1柯西中值定理的分析柯西中值定理是研究兩個函數(shù)的變量關(guān)系的中值定理,當一個函數(shù)(不妨設此函數(shù)為)取作自變量自身時它就是拉格朗日中值定理,所以用

13、拉格朗日中值定理能證明的不等式一定能用柯西中值定理來證明,反之則不然.下面舉例來說明:對例2用柯西中值定理證明,這里僅用第一個小題來說明,其證法如下:證明 (1)令,.在區(qū)間上連續(xù),在內(nèi)可導,且在內(nèi)每一點都不為零,那么由柯西中值定理可得:,則有 ,.下面與例2中解法同,這里就不再贅述了.4.2柯西中值定理證明不等式 例4 (1)設,對的情況,求證: .(2)設，求證: .證明 (1)設,.當時結(jié)論顯然成立.當時,取或,在閉區(qū)間或上連續(xù),在開區(qū)間或可導,且在內(nèi)或每一點均不為零,由柯西中值定理可得:,或即 .所以得證.(2)設,在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間內(nèi)可導,且在內(nèi)每一點均不為零,那么由柯西中值定

14、理可得:,.即 ,.因為,所以.即 . 注意:例4中的兩個不等式能用柯西中值定理來證明,但不能用拉格朗日中值定理證明.例 5 如果函數(shù)滿足兩個條件:(1)在閉區(qū)間上有二階導數(shù);(2) .試證明:在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點,使得 .證明 令.在此我們利用用反證法來證明本題,我們不妨假設,.對于構(gòu)造的輔助函數(shù)及(其中是中任意固定的一點),兩次利用柯西中值定理,可得:其中介于與之間(即或),為上任意點,特別地,在上式中取,并利用已知條件,則有:,其中滿足,于是 .同理再取,并利用已知條件,則得:,其中滿足.于是: .因此, .這是不可能的.所以在區(qū)間內(nèi)至少存在一點,使得 .第五章 利用泰勒中值定理證明不

15、等式5.1泰勒中值定理證明不等式的方法歸納泰勒公式的余項大體分兩種:佩亞諾型余項,拉格朗日型余項.與帶拉格朗日型余項的泰勒公式相比,帶佩亞諾型余項的泰勒公式對函數(shù)的假設條件較少,只需函數(shù)在處階可導,不需要階可導,也不需要在的鄰域內(nèi)存在階連續(xù)導數(shù),因此應用范圍較廣.但是在證明不等式時,精確度卻不如帶拉格朗日型余項的泰勒公式好. 利用此原理可以證明一般的不等式,積分不等式,估值不等式等多種不等式,這種方法的用法非常廣泛.證明方法:根據(jù)已知條件,圍繞證明目標,尋取適當?shù)狞c將函數(shù)在該點展成泰勒展式.根據(jù)已知條件,向著有利于證明不等式的方向?qū)ι厦娴恼故阶鬟m當?shù)奶幚?直到可以結(jié)合已知條件證出不等式為止.5

16、.2泰勒中值定理證明不等式例6 當時,求證:.分析:由于朗格朗日中值定理很容易證明,而利用泰勒中值定理時,當時,不等式為:.顯然第二個比前一個的不等式的精確度高得多,隨著的增大,不等式的精確度會大幅度地提高,所以我們在做題過程中,按題目的要求來選擇適當?shù)姆椒▉碜C明不同的不等式.證明 令,那么函數(shù)在點展開前項的泰勒公式,余項取拉格朗形式,那么有:.因為,所以,從而,所以有 .即 .同理,因為,所以左端的不等號也成立. 另外,在遇到高階導數(shù)的不等式,一般都首先考慮泰勒中值定理.像之前的例4.我們也可以用泰勒中值定理來證明,下面具體來說明:例5的另一種證法:由題設條件,應用泰勒展開式有:,其中介于與

17、之間,介于與之間.上述兩式相減,且有,得:,.令,則有:,.即 .例7 設函數(shù)在上二階可導,且,.求證:對任意的,有.證明: 對任意的,將在點展開.(其中介于與之間).注意到,所以有.對上述不等式的兩邊對積分,得:因為.所以. 第六章 綜合利用微分中值定理證明不等式6.1通過求極值點證明不等式利用拉格朗日中值定理能夠很方便的判斷出函數(shù)的單調(diào)性,其方法是:如果函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導,則有:(1)如果在內(nèi)函數(shù)的導數(shù),則函數(shù)在上單調(diào)增加;(2) 如果在內(nèi)函數(shù)的導數(shù),則函數(shù)在上單調(diào)減少.另外,函數(shù)在內(nèi)除有個別點外,仍有(或),則函數(shù)在上單調(diào)增加(或減少)的,即連續(xù)函數(shù)在個別點處無導數(shù)并不影響函數(shù)的單調(diào)

18、性.再利用函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)圖象上峰值點與各極值點的性質(zhì),便可以方便地求出函數(shù)的極值,從而證明出不等式.其方法為:確定函數(shù)的定義域,然后求出定義域內(nèi)的所有駐點,并找出連續(xù)但不存在的所有點,討論所有駐點和不可導點左右兩側(cè)附近的符號變化情況,確定函數(shù)的極值點,并求出相應的極大值點與極小值點,從而進一步證明不等式.例8 求證 (1)當時,證明成立.(2)當時,證明成立.證明 (1)令,因為函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導,且 .當時,所以當時,函數(shù)是單調(diào)遞增的.故當時,有:,即,從而 成立.(2)因為,所以,.令函數(shù),則有:因為時, ,所以.即在時嚴格遞增的,又因為,所以,即成立. 例9 設函數(shù)在閉區(qū)間上二次

19、可微,且滿足,試證:當時,有不等式: 成立.證明 令,那么.由于,可知在閉區(qū)間上是嚴格遞增的,即,從而有 ,故函數(shù)在閉區(qū)間上也是嚴格遞增的,于是當時,有:,即 成立.第七章 微分中值定理證明不等式在解題中的應用 例10 a>1,n.證明 分析：即證注意： 對用微分中值定理證明：令即 例11 設0<a<b，證明不等式證明： 即證例12：證明不等式（1）（2）證明：（1）設=,則當n>1時所以在（0，+）上嚴格下凸，因而(2)設=,則所以在上嚴格下凸，因而例13 設在連續(xù)，在二階可導，證明存在使證明：設 由于在區(qū)間上對應用Lagrange中值定理，即得到即證第八章 基本不等

20、式在現(xiàn)實生活中的應用數(shù)學是來源于生活且應用于生活.在新課標的標準下，我們的課程標準更加注重理論聯(lián)系實際，擺脫曾經(jīng)所出現(xiàn)的“書呆子”一說.無一例外，基本不等式在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用，下面舉例介紹如何利用基本不等式解決生活中的實際問題.一 商品銷售價格例14 某商品進貨價每件50元，據(jù)市場調(diào)查，當銷售價格每件x元（50<x80）時，每天銷售件數(shù)為,若想每天獲得的利潤最多，則銷售價格為多少元？分析：利潤=銷售數(shù)X（銷售價格進貨價格），再利用基本不等式可求得利潤最大值.解：由題意知x>50元時，可知利潤： 因為x-50>0，所以，當且僅當，即x=60或x=40（不合題意）時，p=

21、2500成立.所以當銷售價格為每件60元時，每天獲得利潤最多.二 節(jié)省紙張問題例15 在一頁書上所印文字要占S ,上下頁空白處要留a cm寬，左右要留b cm寬，若從節(jié)約紙張出發(fā)，如何設計書頁的高和寬的尺寸最為有利？解：設書頁的高為x cm,寬為y cm，則書頁的面積為.因為（x-2a）(y-2b)=S,所以，. 當且僅當，即時，取最小值為.此時所求的書頁的高為寬為. 所以書頁高為,寬為時最省紙張.三 費用最少例16 近年隨著我國國民經(jīng)濟的發(fā)展，人們的經(jīng)濟收入明顯提高，生活狀況越來越好，據(jù)有關(guān)部門抽樣調(diào)查的結(jié)果顯示，我國城鄉(xiāng)居民擁有量比2005年初翻了一番.某種汽車，購車費是10萬元，每年支付

22、的保險費、養(yǎng)路費、汽油費約為0.9萬元，年維修費第一年是0.2萬元，以后逐年遞增0.2萬元，這種汽車使用多少年時，它的平均費用最少？解：設用x年平均費用最少，由于年維修費第一年是0.2萬元，以后逐年遞增0.2萬元，可知汽車維修費構(gòu)成以0.2萬元為首項，0.2萬元為公差的等差數(shù)列，因此汽車x年總的維修費用為萬元.設汽車平均費用為y萬元，則有： .當且僅當，即x=10時，它的平均費用最少.第九章 研究總結(jié) 通過本論文的寫作，我們可以看出微分中值定理在證明不等式方面的貢獻.其實，在我們數(shù)學的學習中，很多地方都用到了微分中值定理.可見，微分中值定理不僅在不等式方面，在其他高等數(shù)學中也有很大的貢獻. 本

23、文主要是通過羅爾中值定理，柯西中值定理，拉格朗日中值定理，泰勒中值定理來證明不等式.由于新課程標準注重理論聯(lián)系實際原則，且數(shù)學是來源于生活、應用于生活.因此，本文在最后給出了不等式在現(xiàn)實生活中的應用. 從中學階段，我們就開始接觸了不等式，并且也學會了不少解決不等式的方法.如分析法、級數(shù)法、對數(shù)法、導數(shù)法、綜合法、數(shù)學歸納法等等.在學習了微分中值定理證明不等式后，我們將對不等式有了更深刻的理解，也體現(xiàn)出初等數(shù)學與高等數(shù)學的聯(lián)系，培養(yǎng)我們的思維能力和邏輯推理能力，提高解題效率，鍛煉了學生的創(chuàng)造性思維和發(fā)散思維.一題多解也是現(xiàn)代素質(zhì)教育所提倡的解題方法，學生在學習了微分中值定理證明不等式后，對不等式

24、的證明有了更多的解題方法.這樣可以促使學生在今后解決不等式方面的問題時可以根據(jù)需要靈活的選用解題方法.參 考 文 獻 1D.S.密斯特利諾維奇.解析不等式M.北京:科學出版社.1987.2.菲赫金哥爾茨.微積分學教程（第八版）.北京:高等教育出版社.20063.科朗等.微積分和數(shù)學分析引論M.北京:科學出版社.2002. 4華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析M.北京:高等教育出版社,1991.5裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法M.北京:高等教育出版社,1994.6劉玉蓮.數(shù)學分析講義M.北京:高等教育出版社,1999.7林麗綠.利用微分中值定理證明不等式J.泉州師專學報,1997,第一卷.8趙文祥

25、.微分中值定理與不等式J.天津電大學報,2007,增刊.9孫學敏.微分中值定理的應用J.數(shù)學教學研究,2008,第28卷第10期.10邵士敏高等數(shù)學基礎(chǔ)M科學出版社，200011.11陳光曙大學數(shù)學（理工類）上冊M同濟大學出版社，2007.212 汪荷仙. 高等數(shù)學解題方法指導M.成都科技大學出版社， 1995.12 13 馬德炎. 常見的代數(shù)不等式的證明J.高等數(shù)學研究.2009（5）27-29. 14 Black, F, M. Jensen, and M. Stoles, “The Capital Asset Pricing Model: Some Empirical Tests”, in Jensen, M “Studies in the Theory of Capital”, 197215 C