第一章-1.2類比推理

1、1.2類比推理戸預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) I挑戰(zhàn)自我，點點落實學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 通過具體實例理解類比推理的意義.2. 會用類比推理對具體問題作出推斷.知識類比推理的結(jié)論能作為定理應(yīng)用嗎？答 不能.因為類比推理的結(jié)論不一定正確，只有經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯證明，說明其正確性，才能進(jìn)一步應(yīng)用.預(yù)習(xí)導(dǎo)引1. 類比推理類比推理的含義由于兩類不同對象具有某些類似的特征，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)一類對象的其他特征推斷另一類對象也具有類似的其他特征,這種推理過程稱為類比推理.類比推理是兩類事物特征之間的推理類比推理的特征類比推理是從特殊到特殊的推理，簡稱類比.(3) 結(jié)論真假：利用類比推理得出的結(jié)論不一定是正確的.(4) 思維過程流程圖：觀察.

2、比較聯(lián)想、類推猜想新的結(jié)論2. 合情推理合情推理的含義根據(jù)實驗和實踐的結(jié)果、個人的經(jīng)驗和直覺、已有的事實和正確的結(jié)論(定義、 公理、定理等)，推測出某些結(jié)果的推理方式.歸納推理和類比推理是最常見的合情推理.(2)思維過程流程圖從具體問題出閔一|觀察、分析、比較、聯(lián)想一|歸納、類比|一|提出猜想3. 演繹推理根據(jù)已知的事實和正確的結(jié)論,按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程.歹課堂講義 i垂點難點，個個擊破要點一平面圖形與空間圖形的類比例1三角形與四面體有下列相似性質(zhì)：(1) 三角形是平面內(nèi)由直線段圍成的最簡單的封閉圖形；四面體是空間中由三角 形圍成的最簡單的封閉圖形.(2) 三角形可以看作是由

3、一條線段所在直線外一點與這條線段的兩個端點的連線 所圍成的圖形；四面體可以看作是由三角形所在平面外一點與這個三角形三個頂 點的連線所圍成的圖形.通過類比推理，根據(jù)三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)填寫下表：三角形四面體三角形的兩邊之和大于第三邊三角形的中位線的長等干第三邊長的一半，且平行于第三邊三角形的三條內(nèi)角平分線交干一點，且這個點是三角形內(nèi)切圓的圓心解三角形四面體三角形的兩邊之和大于第三邊四面體任意三個面的面積之和大于第四個面的面積三角形的中位線的長等于第三邊長的一半，且平行于第三邊四面體的中截面(以任意三條棱的中點 為頂點的三角形)的面積等于第四個面1的面積的？且平行于第四個面三角形的三條

4、內(nèi)角平分線交于一點，且這個點是三角形內(nèi)切圓的圓心四面體的六個二面角的平分面交于一 點，且這個點是四面體內(nèi)切球的球心規(guī)律方法 將平面幾何中的三角形、長方形、圓、面積等和立體幾何中的三棱錐、 長方體、球、體積等進(jìn)行類比，是解決和處理立體幾何問題的重要方法.跟蹤演練1類比平面內(nèi)正三角形的"三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推出 正四面體的下列哪些性質(zhì)，你認(rèn)為比較怕當(dāng)?shù)氖?)各棱長相等，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等；各個面都是全等的正三 角形，相鄰兩個面所成的二面角都相等；各個面都是全等的正三角形，同一頂 點上的任兩條棱的夾角都相等.A. B.C.D.答案C解析由兩類對象具有某些類似特征和

5、其中一類對象的某些已知特征，推出另一 類對象也具有這些特征的推理，叫類比推理，上述三個結(jié)論均符合推理結(jié)論，故 均正確.要點二解題方法的類比例2已知以下過程可以求1+2 + 3+-+/2的和.因為(n+ I)2-l2 = 2Xl + l,有(12+ 1) 1 2(1 + 2 + l2)+Z2, Z22 = 2l2+ 1 ,n2 (n l)2=2(n 1)+ 1,所以l+2 + 3 + + n= 類比以上過程求l2 + 22 + 32+- + n2的和.解 因為(n+ I)3 n3 = 3n2 + 3n+ 1,n3-(n-1)3 = 3(12 l)2 + 3(n- 1)+1, 23-l3 = 3X

6、l2 + 3Xl + l,有(12+ l)3 1 = 3(12 + 2，+122) + 3(1 + 2 + 3 + z2)+/2,1'3n2 + 5£所以 l2 + 22 + + n2=- n3 + 3/r + 3n-6 2 )2n3 + 3n2 + /2 n(n+ l)(2n+ 1)= 6 = 6 '規(guī)律方法 典型的數(shù)學(xué)方法往往可以解決一類問題，培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)、反思、舉一 反三的習(xí)慣，可以提高學(xué)生的知識遷移能力和靈活應(yīng)用知識的能力.而解決問題 需要我們展開豐富的聯(lián)想，利用舊的知識幫助尋找思路或者將原問題降低難度, 先解決較簡單的問題，再類比到復(fù)雜問題，常常可達(dá)到柳暗花

7、明的成效.利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式的方法,可求得4-5)+4-4) +40) +-+45)+46)的值是.答案3邁解析 本題要求類比課本中等差數(shù)列的求和方法，即"倒序相加法” 令 =4-5)+ 4-4) +40)4- +45) + 46),則£=46) +彳5) +彳0) + 4 4) +彳一5), 兩式相加，類似于等差數(shù)列的情形，易得=3©要點三等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比例3在等差數(shù)列迤中，若刊0 = 0,則有等式角+耳2+/?19_Jn<19, nN+)成立.類比上述性質(zhì)，相應(yīng)的，在等比數(shù)列»中，若3=1,則有什么樣的等式成立？解 在等

8、差數(shù)列冷中，由角0 = 0,得角+角9 =迤+兔3=為+慫0-21=弘+1所以刊+迤為耳19 = 0,又色=Rg,迤=rlis弘+1,即角+迤為=一日的一色3角 + 恐 + + 怎=刊 + 迤 + + 刊9_小相應(yīng)的，在等比數(shù)列加中，若a=i,則可得b4 bn = b'bybx_17, nN+)規(guī)律方法1.在高中階段類比方向主要集中在等差數(shù)列與等比數(shù)列，平面幾何與 立體幾何，平面向量與空間向量三個方面2.在等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比中， 等差數(shù)列中的和類比等比數(shù)列中的積，差類比商，積類比幕.如通項公式：每=刊+ (力一1)4/=® 跟蹤演練3設(shè)等差數(shù)列弘啲前力項和為則S. SG

9、-S4, Sa Ss S1G- S】2成等差數(shù)列.類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列力的前力項積為,則 , , £成等比數(shù)列.答案解析 等差數(shù)列類比于等比數(shù)列時，和類比干積，減法類比于除法，可得類比結(jié)論為：設(shè)等比數(shù)列3/的前戸項積為九則知Tz T12 % 壬，土，疔成等比數(shù)列.F當(dāng)堂檢測當(dāng)堂訓(xùn)練，體駿成功1. 下列平面圖形中可作為空間平行六面體類比對象的是()A.三角形B.梯形C.平行四邊形D.矩形答案C2. 下面幾種推理是類比推理的是（）A. 因為三角形的內(nèi)角和是180° X（3-2）,四邊形的內(nèi)角和是180° X（4-2）,，所以力邊形的內(nèi)角和是180° X

10、（n-2）B. 由平面三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì)C. 某校高二年級有20個班，1班有51位團(tuán)員，2班有53位團(tuán)員，3班有52位團(tuán)員，由此可以推測各班都超過50位團(tuán)員D. 4能被2整除，6能被2整除，8能被2整除，所以偶數(shù)能被2整除答案E3. 已知必）是拋物線聲=2閃卩0）上的一點，過尸點的切線方程的斜率可通過如下方式求得：在； = 2px兩邊同時對衣求導(dǎo)，得2刃 =2p,則"所以過尸的切線的斜率k£.類比上述方法求出雙曲線女一彳=1在H邁, yyo厶邁）處的切線方程為答案2x_y-車=0解析 將雙曲線方程化為護(hù)=2（疋一1）,類比上述方法兩邊同時對衣求導(dǎo)得2妙

11、9;由于H迄，匹），故切線2x20.=4/則”,即過尸的切線的斜率k= yyo因此切線方程為y匹=2（衣一、但），整理得2x_y、但=4. 對于平面幾何中的命題“夾在兩平行線之間的平行線段相等”，在立體幾何中，類比上述命題可以得到命題答案 夾在兩平行平面間的平行線段相等課堂小結(jié)類比推理的特點(1) 類比推理是從人們已經(jīng)掌握了的事物的特征，推測正在被研究中的事物的特 征，所以類比推理的結(jié)果具有猜測性，不一定可靠.(2) 類比推理以舊的知識作基礎(chǔ)，推測新的結(jié)果，具有發(fā)現(xiàn)的功能，類比在數(shù)學(xué) 發(fā)現(xiàn)中具有重要作用，但必須明確，類比并不等干論證.(3) 由于類比推理的前提是兩類對象之間具有某些可以清楚定義

12、的類似特征，所 以進(jìn)行類比推理的關(guān)鍵是明確地指出兩類對象在某些方面的類似特征.尹分層訓(xùn)練 J解疑糾偏，訓(xùn)練檢測一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1. 對命題"正三角形的內(nèi)切圓切于三邊中點”可類比猜想：正四面體的內(nèi)切球 切干四面體各正三角形的()A. 一條中線上的點，但不是中心E一條垂線上的點，但不是垂心C一條角平分線上的點，但不是內(nèi)心D.中心答案D解析由正四面體的內(nèi)切球可知，內(nèi)切球切干四個側(cè)面的中心.底X高2. 已知扇形的弧長為厶半徑為巧類比三角形的面積公式S=,可推知 扇形面積公式S扇等于()t lrA. B - C D.不可類比答案C1解析 我們將扇形的弧類比為三角形的底邊，則高為扇形的半徑r, ：.

13、S=lr.3. (2013 -XX模擬)已知Q0,由不等式43 x x 4a+7>3A /- - 7=3,，我們可以得出推廣結(jié)論：x+->22+l(nEN+),則日=()A. 2n B. n2 C 3/2 D. n21 答案D解析再續(xù)寫一個不等式:33 x x x 334 lx x x 33X+7=3 + 3 + 3+7>4 3*3-3*7=4>由此可得a=nn.4. 設(shè)力占。的三邊長分別為念b、c, 力EC的面積為S,內(nèi)切圓半徑為巧2 S則匚b+R類比這個結(jié)論可知：四面體S_ABC的四個面的面積分別為轎S" S3、s4,內(nèi)切球半徑為巧四面體S-ABC的體積為

14、K則c()VA'SS2+S3+S42VR Si + E+Ss+q3KC-s1+s2+s3+s44VD，S1 + aS2+S3+S4答案C31/&S1 + 5+&+目解析 設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O,則球心O到四個面的距離都是尺，所以 四面體的體積等于以O(shè)為頂點，分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和.則 四面體的體積為V四面_B8=£(S】 + S2+S3+S4)&角+迪+ Hr5. 若數(shù)列冷匕皿）是等差數(shù)列，則數(shù)列b=也為等差數(shù)列,n類比上述性質(zhì)，若數(shù)列&是等比數(shù)列，且O（nN+），則有也是等比數(shù)列.答案利CQC3nl”（ ”一 1）和一1解

15、析勺&嚴(yán)m(xù) Vcf q - =g 2 ，是等比數(shù)列6. 平面內(nèi)正三角形有很多性質(zhì)，如三條邊相等.類似地寫出空間正四面體的兩條性質(zhì)：;.答案三個側(cè)面與底面構(gòu)成的二面角相等四個面都全等（答案不唯一）7. 就任一等差數(shù)列迤,計算角+角0和&+冋，曰1。+辿。和耳20+兔0,你發(fā)現(xiàn) 了什么一般規(guī)律？能把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律作一般化的推廣嗎？從等差數(shù)列和函數(shù)之 間的聯(lián)系角度分析這個問題.在等比數(shù)列中會有怎樣的類似的結(jié)論？解設(shè)等差數(shù)列為的公差為，則為=殆 +（221）,fflj 日7 = *1 + Gd, + 9 d, Kjj + 7 d, + Qd.所以日7+ 壯0 = 2/?+ 1 5，+ r

16、ig 2 H- 1 5 dy 可得 7+ 耳10=心;+ 超）.同理角o +曰40=20+月30由此猜想，任一等差數(shù)列迤,若山，22, p, gN+且山+a=p+q,則有冷=冃+色成類比等差數(shù)列，可得等比數(shù)列%的性質(zhì)：若山，n, p, qEN+JSL in+n=p+qf則有撿怎=冃, 成立.二、能力提升18. 三角形的面積為S=3余+b+d廠，念b、c為三角形的邊長，廠為三角形內(nèi) 切圓的半徑，利用類比推理可以得出四面體的體積為()1A. V=abc1B. V=Sh31CV=-(SS2+S3-S4)rf、$、S3、S4為四個面的面積，廠為內(nèi)切球的半徑)1D. V=(ab+bc+acjhf (h

17、為四面體的高)答案C解析力EC的內(nèi)心為O,連結(jié)Q4、OB、OC,將力3C分割為三個小三角形， 這三個小三角形的高都是巧底邊長分別為念b、c;類比：設(shè)四面體力-£仞 的內(nèi)切球球心為O,連結(jié)Q4、OB、OC、OD,將四面體分割為四個以O(shè)為頂1點，以原來面為底面的四面體，高都為巧所以有 PfSi + S+Ss+Sjz；9. 類比“等差數(shù)列”的定義，寫出“等和數(shù)列”的定義，并解答下列問題：已知數(shù)列是等和數(shù)列，且刊=2,公和為5,那么刊s =,這個數(shù)列 的前12項和S.的計算公式為.51石石,R為奇數(shù)，答案3S“=v §力為偶數(shù)解析 定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，從第二項起每一項與

18、它前一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.2,由上述定義，得冷=力為奇數(shù),力為偶數(shù),f5 12n2f 23為奇數(shù), 從而Sn=< 5尹力為偶數(shù).10. 已知結(jié)論：“在三邊長都相等的加O中，若Q是EC的中點，G是'AG力EO外接圓的圓心，則 = 2".若把該結(jié)論推廣到空間，則有結(jié)論：在六條 CrJJ棱長都相等的四面體ABCD中，若M是BCQ的三邊中線的交點，O為四面AO體力3仞外接球的球心，則莎= 答案3解析如圖，易知球心O在線段荻上，不妨設(shè)四面體ABCQ的棱長為1,外接球的半徑為&則BM=2 X3- 3解得R亡.AO 4干是

19、'而二逅巫"3 _ 411觀察： tan 10° -tan 20° + tan 20° tan 60° + tan 60° - tan 10° =1,tan 5° tan 10° 4-tan 10c tan 75° +tan 75° tan 5C =1, 由以上兩式成立能得到一個從特殊到一般的推廣，此推廣是什么？并證明你的推 廣.解觀察得到 10° +20° +60° =90° , 10° +75° +5。=90° ,猜測推廣式子為：若a+0+)/=9O°，且a, 0,卩均不為Att+-, (kEZ)，則 tan otan y+tan tan y+ tan ytan a= 1.kn證明 由 a+尸r #tan(<7+y0) = tan乞2 J tan ytan a 4-tan 卩 tanM = l-tan man/.tan a+tan p = tan(a4-(1 tan otan p1(1 tan atan Q tan y/.tan otan /?+ta