向量代數(shù)與空間解析幾何習(xí)題詳解

1、第06章向量代數(shù)與空間解析幾何習(xí)題詳解（總16頁）-本頁僅作為文檔封面，使用時請直接刪除即可-內(nèi)頁可以根據(jù)需求調(diào)整合適字體及大小-第六章向量代數(shù)與空間解析幾何習(xí)題631、已知A(1,2,3),B(2,1,4),求線段AB的垂直平分面的方程.解：設(shè)M(x,y,z)是所求平面上任一點，據(jù)題意有|MA|MB|,；/222212,2x1y2z3x2y1z4,化簡得所求方程2x6y2z70.這就是所求平面上的點的坐標(biāo)所滿足的方程而不在此平面上的點的坐標(biāo)都不滿足這個方程，所以這個方程就是所求平面的方程.2、一動點移動時，與A(4,0,0)及xOy平面等距離，求該動點的軌跡方程解：設(shè)在給定的坐標(biāo)系下，動點M

2、(x,y,z),所求的軌跡為C,則M(x,y,z)CMA,|z亦即J(x4)27?|z(x4)2y20從而所求的軌跡方程為(x4)2y20.3、求下列各球面的方程：(1)圓心(2,1,3),半徑為R6;(2)圓心在原點，且經(jīng)過點(6,2,3);(3)一條直徑的兩端點是(23,5)與(4,1,3);(4)通過原點與(4,0,0),(1,3,0),(0,0,4)解：(1)所求的球面方程為：(x2)2(y1)2(z3)236(2)由已知，半徑Rv162(2)2327,所以球面方程為x2y2z249243153.(3)由已知，球面的球心坐標(biāo)a3,b1,c1,222球的半徑R1n(42)2(13)2(5

3、3)2V21,所以球面方程為：2(x3)2(y1)2(z1)221(4)設(shè)所求的球面方程為：x2y2z22gx2hy2kzl010因該球面經(jīng)過點(0,0,0),(4,0,0),(1,3,0),(0,0,4),所以168g0解之得102g6h0168k0l0h1g2k2所求的球面方程為x2y2z24x2y4z0.6、指出下列曲面的名稱，并作圖:雙曲面.7、指出下列方程在平面解析幾何和空間解析幾何中分別表示什么圖形4、將yOz坐標(biāo)面上的拋物線y22z繞z旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.解：x2y22z（旋轉(zhuǎn)拋物面）.5、將zOx坐標(biāo)面上的雙曲線2二1分別繞x軸和z軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生c成的旋轉(zhuǎn)曲

4、面的方程.2解：繞x軸旋轉(zhuǎn)得二a2z2c繞z軸旋轉(zhuǎn)得22xy2a面;22(D-(2)2z;(3)x2z2；(4)2x0；(5)(8)解:z2；(6)4x24y2y216z1；(9)2z1;3(10)2x22y213z2.（1）橢圓柱面；（2）拋物柱面;圓柱面；（4）球面;(5)圓錐（6）雙曲拋物面；（7）橢圓拋物面； （8）雙葉雙曲面;（9）為旋轉(zhuǎn)橢球面；（10）單葉(1)yx1;(2)x2y24；(3)x2y21;(4)x22y.解：(1)yx1在平面解析幾何中表示直線，在空間解析幾何中表示平面；(2)x2y24在平面解析幾何中表示圓周，在空間解析幾何中表示圓柱面；(3)x2y21在平面解析

5、幾何中表示雙曲線，在空間解析幾何中表示雙曲柱面；(4)x22y在平面解析幾何中表示拋物線，在空間解析幾何中表示拋物柱面.(4)yOz平面上的直線zya繞z軸旋轉(zhuǎn)而成或者繞z軸旋轉(zhuǎn)而成.9、畫出下列各曲面所圍立體的圖形：(1) 3x4y2z120與三個坐標(biāo)平面所圍成；(2)z4x2,2xy4及三坐標(biāo)平面所圍成；(3)z=0,z=a(a0),y=x,x2+y2=1及x0在第一卦限所圍成；(4)zx2y2,z8x2y2所圍.解：(1)平面3x4y2z120與三個坐標(biāo)平面圍成一個在第一卦限的四面體；(2)拋物柱面z4x2與平面2xy4及三坐標(biāo)平面所圍成；8、說明下列旋轉(zhuǎn)曲面是怎樣形成的222(1)-y

6、1;(2)499222(za)xy2解：(1)xOy平面上橢圓422圓土巳1繞x軸旋轉(zhuǎn)而成492(2)xOy平面上的雙曲線x2匕42線z2彳1繞y軸旋轉(zhuǎn)而成2x2匕Z21(3)x2y2z21;(4)421繞x軸旋轉(zhuǎn)而成；或者xOz平面上橢91繞y軸旋轉(zhuǎn)而成；或者yOz平面上的雙曲1繞x軸旋轉(zhuǎn)而成；或者xOz平面上的雙曲xOz平面上的直線zxa習(xí)1、畫出下列曲線在第一卦限內(nèi)的圖形消去y坐標(biāo)得：3x22z216,為母線平行于y軸的柱面.3、求在yOz平面內(nèi)以坐標(biāo)原點為圓心的單位圓的方程(任寫出三種不同形式的方程).22七三193,可知其為平面x2上的橢5、將下面曲線的一般方程化為參數(shù)方程22222

7、(1)xyz9，(xDy(z1)4yxz0 x222解：yz1;x04、試求平面x22222xyz1x2x0y2220與橢球面上L二161242y2z1相交所得橢圓的半軸與頂點圓， 半軸分別為3,J3,頂點分別為(2,3,0),(2,3.0),(2,0,3),(2,0,3).(3)坐標(biāo)面z=0、x0及平面卦限所圍成；(4)開口向上的旋轉(zhuǎn)拋物面z圍.作圖略.z=a(a0)、y=x和圓柱面y2與開口向下的拋物面x2+y2=1在第z8x2y2所(1)解:y(1)12；(2)是平面(2)上半球面z(3)圓柱面x2.224xyy0(3)2x2x1與y2相交所得的一條直線;2y2zy/與平面xy0的交線為

8、z2a2的交線.圖形略.2a2a1-圓弧;4222、分別求母線平行于x軸及y軸而且通過曲線2xy22xz2z162y0的柱面方程.解：消去x坐標(biāo)得3y2z216,為母線平行于x軸的柱面;解：將橢圓方程222士L二116124化簡為:x203cost2何種曲線.投影曲線為2_y2x9z0解：原曲線即:2x39,是包于平面z3上的拋物線，在xOy面上的9、求曲線解：（1）原曲線方程即:yx2x2z2d，化為1993cost,2(0t2);z3sintx1.3cos(2)y73sin(02).z0 xacos6、求螺旋線yasinzb在三個坐標(biāo)面上的投影曲線的直角坐標(biāo)方程_zzyasinxacosb

9、；b.x0y07、指出下列方程所表示的曲線“、x2y2z225.（1）y（2x32.22（3）x4yz25；x322_2x24y29z230.z12222yzy2z24x80z.x1，；(5)94y4x20(3)雙曲線；(4)拋物線；(5)雙曲線.8、22求曲線yzz32x0在xOy面上的投影曲線方程，并指出原曲線是1,一,一，一，上，所以在xOz面上的投影為線2解:(1)消去變量z后得x2y21，在xOy面上的投影為34,它是中心在原點，半徑為斗的圓周.1z2,y0|x|.3一；21(3)同理在yOz面上的投影也為線段.z2,x0|y|.310、求拋物面y2z2x與平面x2yz0的交線在三個

10、坐標(biāo)面上的投影曲線方程.222解：交線方程為yzx,(1)消去z得投影xx2yz0z22(2)消去y得投影x5z2xz4x0,(3)消去x得投影y0習(xí)題651、寫出過點M01,2,3且以n2,2,1為法向量的平面方程L25y4xyx00y2z22yz0 x0解：平面的點法式方程為2x12y2z30.2、求過三點A1,0,0,B0,1,0,C0,01的平面方程.解：設(shè)所求平面方程為axbyczd0,將A,B,C的坐標(biāo)代入方程，可得abcd,故所求平面方程為xyz1.3、求過點0,0,1且與平面3x4y2z1平行的平面方程.解：依題意可取所求平面的法向量為n3,4,2,從而其方程為(2)因為曲線在

11、平面z3x04y02z10即3x4y2z2.4、求通過x軸和點(431)的平面的方程解：平面通過x軸一方面表明它的法線向量垂直于x軸即A0另一方面表明它必通過原點即D0因此可設(shè)這平面的方程為ByCz0又因為這平面通過點(431)所以有3BC0或C3B將其代入所設(shè)方程并除以B(B0)使得所求的平面方程為y3z05、求過點(1,1,1),且垂直于平面xyz7和3x2y12z50的平面方程.解：n11,1,1,n23,2,12取法向量nn1n210,15,5,所求平面方程為化簡得：2x3yz60.6、設(shè)平面過原點及點(1,1,1),且與平面xyz8垂直，求此平面方程.解：設(shè)所求平面為AxByCzD0

12、,由平面過點(1,1,1)知平ABCD0,由平面過原點知D0,-.-n1,1,1,ABC0AC,B0,所求平面方程為xz0.7、寫出下列平面方程：(1)xOy平面；(2)過z軸的平面；(3)平行于zOx的平面；(4)在x,y,z軸上的截距相等的平面.解：(1)z0,(2)axby0(a,b為不等于零的常數(shù))，、(3)yc(c為常數(shù))，(4)xyza(a0).習(xí)題661、求下列各直線的方程：(1)通過點A(3,0,1)和點B(2,5,1)的直線；(2)過點1,1,1且與直線4U二平行的直線.234(3)通過點M(15,3)且與x,y,z三軸分別成60,45,120的直線；(4)一直線過點A(2,

13、3,4),且和y軸垂直相交，求其方程.的直線;2、求直線xyz1的點向式方程與參數(shù)方程.2xy3z4解在直線上任取一點(x0,y0,z0),取x01y42,解y。3460V。0,z02.所求點的坐標(biāo)為(1,0,2),取直線的方向向量ijk1114ij3k,所以直線的點向式方程為:(5)通過點M(1,0,2)且與兩直線11K出一垂直0(6)通過點M(2,3,5)且與平面6x3y5z20垂直的直線.解:所求的直線方程為：濘y5y5(2)依題意，可取L的方向向量為s2,3,4,則直線L的方程為(3)所求直線的方向向量為：cos60,cos45,cos1201_2,22故直線方程為:(4)因為直線和y

14、軸垂直相交，所以交點為B(0,3,0),取sBA2,0,4,所求直線方程(5)所求直線的方向向量為:x2y3z4.2041,1,11,1,01,1,2,所以，直線方程為:(6)所求直線的方向向量為:6,3,5,所以直線方程為:s1,1,12,1,3213UL_U,令口L.LSt,則所求參數(shù)方程：413413x14tyt.z23t3、判別下列各對直線的相互位置，如果是相交的或平行的直線求出它們所在的平面，如果相交時請求出夾角的余弦.(1)x2y2z0與x2yz1103x2y602xz140 xt(2)y2t1與zt2解：(1)將所給的直線方程化為標(biāo)準(zhǔn)式為:x7y2z234二直線平行.又點(3,3

15、,0)與點(7,2,0)在二直線上,23424向量73,23,0衛(wèi),勺,0平行于二直線所確定的平面，該平面的法向量2424-115為：2,3,411,5,05,22,19,從而平面方程為:245(x7)22(y2)19(z0)0,即5x22y19z90.(2)因為12,所以兩直線不平行，又因為4751301210,所以兩475直線相交，二直線所決定的平面的法向量為1,214,7,53,1,1,直線所決定的平面的方程為：3xyz30.設(shè)兩直線的夾角為，則cos1427(1)(5),4272(5)2,1222(1)2_23_6.154、判別下列直線與平面的相關(guān)位置:432(4)203170,所以，

16、直線與平面平行27,直線與平面垂直27(3)直線的方向向量為：5,3,22,1,15,9,1,4539710,所以直線與平面平行或者直線在平面上；取直線上的點M(2,5,0),顯然點在M(2,5,0)也在平面上(因為4(2)3(5)70),所以，直線在平面上.(4)直線的方向向量為1,2,9,314(2)790直線與平面相交但不垂直.復(fù)習(xí)題A一、判斷正誤：1、若abbc且b0,則ac；()解析abbc=b(ac)=0時，不能判定b0或ac.例如ai,bj,ck,有abbc0,但ac.2、若abbc且b0,則ac；()解析此結(jié)論不一定成立.例如ai,bj,c(ij),則abijk,bcj(ij)

17、k,abbc,但ac./、x3y4zxyz,(1)-與4x2y2z3;(2)與2733273x2y7z8;(3)5x3y2z5014與4x3y7z72xyz100；xt(4)y2t9與3x4y7z100.z9t4解(1)(2)4(7)(2)3(2)0,而(2)332(2)1770,所以，直線與平面相交，且因為3、若ac0,則a0或c0；()解析兩個相互垂直的非零向量點積也為零.4、abba.()解析這是叉積運算規(guī)律中的反交換律.二、選擇題：1、當(dāng)a與b滿足(D)時，有ab|ab；(A)ab;(B)ab(為常數(shù))；(C)a/b；(D)aba|b.解析只有當(dāng)a與b方向相同時，才有a+b=a+b.(

18、A)中a,b夾角不為0,(B),(C)中a,b方向可以相同，也可以相反.2、下列平面方程中，方程(C)過y軸；(A)xyz1；(B)xyz0；(C)xz0；(D)xz1.解析平面方程AxByCzD0若過y軸，則BD0,故選C3、在空間直角坐標(biāo)系中，方程z1x22y2所表示的曲面是(B);(A)橢球面；(B)橢圓拋物面；(C)橢圓柱面；(D)單葉雙曲面.解析對于曲面z1x22y2,垂直于z軸的平面截曲面是橢圓，垂直于x軸或y軸的平面截曲面是開口向下的拋物線，根據(jù)曲面的截痕法，可以判斷曲面是橢圓拋物面.224、空間曲線zxy2,在xOy面上的投影方程為(C);三、填空題:若a|bJ2,（a：b）；

19、，則|ab亞，2、與平面xy2z60垂直的單位向量為1,1,2；6解平面的法向量n=1,-1,2與平面垂直，其單位向量為n,LV6n=v114=守6,所以，與平面垂直的單包向重為1,1,2.63、過點（3,1,2）和（3,0,5）且平行于x軸的平面方程為7yz50;(A)7； (B)y7；(C)5(D)解析曲線7與xOy平面平行，在xOy面上的投影方程為5、直線二二與平面xyz1的位置關(guān)系是（B）.1（A）垂直；（B）平行；夾角為不（D）夾角為4解析直線的方向向量s=2,1,-1,平面的法向量n=1,-1,1,sn=2-1-1=0,所以,sn,直線與平面平行.1、7tba|bsin(a,b)=

20、72sin-abcos(a,b)=2cosj=0.解已知平面平行于x軸，則平面方程可設(shè)為ByCzD0,將點(-71-Dy-DzD0,即7yz50.554、過原點且垂直于平面2yz20的直線為).y02解直線與平面垂直，則與平面的法向量n=0,2,-1平行，取直線方向向量s=n=0,2,-1,由于直線過原點，所以直線方程為-y-z.02292y,在xOy平面上的投影曲線方程為2x上的投影曲線方程.3,1,-2)和(3,0,5)代入方程,有B2CD0,5CD0,ID,55D，z2x25、曲線2xz1y21,0.解：投影柱面為2x2x2y21,故2x1.1,為空間曲線在xOy平面四、解答題1、已知a

21、1, 2,1,b1,1,2,計算(a)b；(b)(2ab)(ab);(c)解:(a)a5,1,3.(b)2ab2,4,21,1,21,5,0,ab1,2,11,1,22,1,3,所以(2ab)(ab)1,5,02,1,31,2,11,1,20,3,1,所以ab2(T9-7)210.(c)ab2、已知向量P1P2的始點為Pi(2,2,5),終點為P2(1,4,7),試求：(1)向量RP2的坐標(biāo)表示；(2)向量PP2的模；(3)向量P1P2的方向余弦；(4)與向量PP2方向一致的單位向量.解：(1)P1P212,4(2),75)3,6,2;(2)腿式3)26222497；(3)PP2在x,y,z三

22、個坐標(biāo)軸上的方向余弦分別為3、設(shè)向量a1,1,1,b1,1,1,求與a和b都垂直的單位向量4、向量d垂直于向量a2,3,1和b1,2,3,且與c2,1,1的數(shù)量積為6,求向量d解：d垂直于a與b,故d平行于ab,存在數(shù)使dab2,3,11,2,37,7,7因dc6,故27(1)(7)1(7)6,為d3,3,35、求滿足下列條件的平面方程：(1)過三點(0,1,2),P2(1,2,1)和巳(3,0,4);(2)過x軸且與平面V5x2yz3cos,cos7(4)(PR)62,cos77麗3i6j2k73ifj2k.777解：令cab1111kc110,2,2,c0-cc10,故與a、b都垂直的單位

23、向量為c00,22-的夾角為x0y1z2解(1)解1:用三點式.所求平面的方程為1021120,即300142x5y4z130.解2:用點法式.P1P21,1,1,PF；3,1,2,由題設(shè)知，所求平面的法向量為_ijkn朋航111i5j4k,312又因為平面過點R(0,1,2),所以所求平面方程為(x0)5(y1)4(z2)0,即x5y4z130.解3:用下面的方法求出所求平面的法向量nA,B,C,再根據(jù)點法式公式寫出平面方程也可.因為n麗,n航，所以2ABCP0A解得B5A,C4A,于是12341153AB2C0,所求平面方程為A(x0)5A(y1)4A(z2)0,即x5y4z130.(2)

24、因所求平面過x軸，故該平面的法向量nA,B,C垂直于x軸，n在x軸上的投影A0,又平面過原點，所以可設(shè)它的方程為ByCz0,由題設(shè)可知B0(因為B0時，所求平面方程為Cz0又C與已知平面新x2yz0所夾銳角的余弦為0蕊0211020212(5)22212yCz0,由題設(shè)得012C1cos30212C2,1(5)222123解得C3或C-,于是所求平面方程為y3z0或3yz0.50,即z0.這樣它cos1,所以B0),令,32Bz0,且與平面x4y8z120垂直，求該400,在平面上，令x=0,得y4,z=4,則05(0,-4,4)為平面上的點.5設(shè)所求平面的法向量為n=A,B,C,相交得到直線的兩平面方程的法向量分別為n1=1,5,1,n2=1,0,-1,則直線的方向向量=-5,2,-5,由于所求平面經(jīng)過直線，故平面的法向量與直線的方向向量垂直，即A,B,C1,4,8=A4B8c=0,解方程組4x5y2z120.(3,2,5)的直線方程.點向式方程，所求直線方程為x6、平面過直線x5yxz平面方程;解法1:直線x5yzxz4sn=-5,2,-5?A,B,C二5A2B5C=0,因為所求平面與平面x4y8z120垂直，則s=n1&=5AA2B4B5C0,8C0,2C,5C2C,所求平面方程為2c(x0)C(z4)0,即解法 2:用平面束(略)7