2.2離散型隨機(jī)變量及其分布ppt課件

1、 第 二 節(jié) 離散型隨機(jī)變量及其分布 1.引入引入 設(shè)設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它可能是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它可能取的值是取的值是 x1, x2 , . 為了描述隨機(jī)變量為了描述隨機(jī)變量 X ，我們不僅需，我們不僅需要知道隨機(jī)變量要知道隨機(jī)變量X的取值，而且還應(yīng)知道的取值，而且還應(yīng)知道X取每個(gè)值的概率取每個(gè)值的概率.一、概率分布一、概率分布 這樣，我們就掌握了這樣，我們就掌握了X這個(gè)這個(gè)隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律.從中任取從中任取3 個(gè)球個(gè)球取到的白球數(shù)取到的白球數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量X可能取的值是可能取的值是 0,1,2取每個(gè)值的概率為取每個(gè)值的概率為101) 0

2、(3533CCXP106) 1(351223CCCXP103)2(352213CCCXP例例1且且311iiXP)(一般地，我們給出如下定義一般地，我們給出如下定義:其中其中 (k=1,2, ) 滿足：滿足：kp, 0kp k=1,2, （1）kkp1（2） 定義定義1 ：設(shè)：設(shè)xk(k=1,2, )是離散型隨是離散型隨機(jī)變量機(jī)變量X所取的一切可能值，稱所取的一切可能值，稱 k=1,2, ,)(kkpxXP為離散型隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量X的概率函數(shù)或分布的概率函數(shù)或分布律，也稱概率分布律，也稱概率分布.用這兩條性質(zhì)判斷用這兩條性質(zhì)判斷一個(gè)函數(shù)是否是一個(gè)函數(shù)是否是概率函數(shù)概率函數(shù)2.定義定義:

3、解解: 依據(jù)概率函數(shù)的性質(zhì)依據(jù)概率函數(shù)的性質(zhì):kkXP1)(P(X =k)0, 1!0aekakk a0從中解得從中解得欲使上述函數(shù)為概率函數(shù)欲使上述函數(shù)為概率函數(shù)應(yīng)有應(yīng)有 ea0kkke! 這里用到了常見(jiàn)的這里用到了常見(jiàn)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式例例2. 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的概率函數(shù)為：的概率函數(shù)為：,!)(kakXPkk =0,1,2, ,試確定常數(shù)試確定常數(shù)a .03、表示方法、表示方法（1列表法：列表法：（2圖示法圖示法（3公式法公式法2 , 1 , 0,)(35233kCCCkXPkk再看例再看例1任取任取3 個(gè)球個(gè)球X為取到的白球數(shù)為取到的白球數(shù)X可能取的值可能取的值是是0,1

4、,20.10.30.6kPK0121031061012 1 0Xp4、舉例、舉例例例3. 某籃球運(yùn)動(dòng)員投中籃圈概率是某籃球運(yùn)動(dòng)員投中籃圈概率是0.9，求，求他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)X的概率分布的概率分布.解：解： X可取可取0、1、2為值為值 P(X =0)=(0.1)(0.1)=0.01 P(X =1)= 2(0.9)(0.1) =0.18 P(X =2)=(0.9)(0.9)=0.81 且且 P(X =0)+ P(X =1)+ P(X =2)=1常常表示為：常常表示為： 這就是這就是X的概率分布的概率分布.81. 018. 001. 02 1 0Xp例例4. 某射手連續(xù)

5、向一目標(biāo)射擊，直到命中為某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)命中的概率是止，已知他每發(fā)命中的概率是p，求所需射擊，求所需射擊發(fā)數(shù)發(fā)數(shù)X 的概率函數(shù)的概率函數(shù).解解: 顯然，顯然，X 可能取的值是可能取的值是1,2, ， P(X=1)=P(A1)=p, 為計(jì)算為計(jì)算 P(X =k )， k = 1,2, ，Ak = 第第k發(fā)命中發(fā)命中，k =1, 2, ，設(shè)設(shè)于是于是pp )1 ()() 2(21AAPXP)() 3(321AAAPXPpp 2)1 (, 2 , 1kppkXPk1)1 ()(可見(jiàn)可見(jiàn)這就是求所需射擊發(fā)數(shù)這就是求所需射擊發(fā)數(shù)X的概率函數(shù)的概率函數(shù). P(X=1)=P(

6、A1)=p, Ak = 第第k發(fā)命中發(fā)命中，k =1, 2, ，設(shè)設(shè)于是于是pp )1 ()() 2(21AAPXP)() 3(321AAAPXPpp 2)1 ( 若隨機(jī)變量X的概率函數(shù)如上式，則稱X具有幾何分布(定義2.2.5). 不難驗(yàn)證不難驗(yàn)證:1)1 (11kkpp, 2 , 1kppkXPk1)1 ()(設(shè)離散型設(shè)離散型r.vX 的概率函數(shù)是的概率函數(shù)是P(X=xk ) = pk , k =1,2,3,xxkkp那么那么 F(x) = P(X x) = 由于由于F(x) 是是 X 取取 的諸值的諸值 xk 的概率之和，的概率之和，故又稱故又稱 F(x) 為累積概率函數(shù)為累積概率函數(shù).

7、x離散型離散型r.vX的分布函數(shù)的分布函數(shù)當(dāng)當(dāng) x0 時(shí)，時(shí)， X x = ， 故故 F(x) =0當(dāng)當(dāng) 0 x 1 時(shí)，時(shí)， F(x) = P(X x) = P(X=0) =31F(x) = P(X x)解解:例例5，求，求 F(x).2161312 10Xp當(dāng)當(dāng) 1 x 2 時(shí)，時(shí)， F(x) = P(X=0) + P(X=1) = + =316121當(dāng)當(dāng) x 2 時(shí)，時(shí)， F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1F(x) = P(X x)解解:例例5，求，求 F(x).2161312 10Xp故故注意右連續(xù)注意右連續(xù)下面我們從圖形上來(lái)看一下下面我們從圖形上來(lái)

8、看一下.2, 121,2110,310, 0)(xxxxxF212121103100 xxxxxF,/,/,)(概率函數(shù)圖概率函數(shù)圖31120 x)(xXP612113121120 x)(xXP6161OOO1)(xF分布函數(shù)圖分布函數(shù)圖畫(huà)畫(huà) 分布函分布函數(shù)圖數(shù)圖3/12161312 10Xp 不難看出，不難看出，F(xiàn)(x) 的圖形是階梯狀的圖形，的圖形是階梯狀的圖形，在在 x=0，1，2 處有跳躍，其躍度分別等于處有跳躍，其躍度分別等于 P(X=0) , P(X=1) , P(X=2).3121120 x612161OOO1)(xF例例6 設(shè)箱中裝有設(shè)箱中裝有5件產(chǎn)品件產(chǎn)品,其中有其中有2件次

9、件次 品品,其余為正品其余為正品,現(xiàn)任取現(xiàn)任取2件件,求取到求取到 的次品數(shù)的次品數(shù)X的分布列及分布函數(shù)的分布列及分布函數(shù).)2523()2321(),31(XPXPXP及并求書(shū)中書(shū)中P38例例2.2.21. 0-1分布分布(定義定義2.2.2)qpXPppXP1)0(10 ,) 1(若以若以X X表示進(jìn)行一次試驗(yàn)事件表示進(jìn)行一次試驗(yàn)事件A A發(fā)生的次數(shù)，發(fā)生的次數(shù)，P(Xk)pk(1p)1k, (0p0 是常數(shù)是常數(shù),則稱則稱 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的泊松分布泊松分布,記作記作XP( ).3. 泊松分布泊松分布不難驗(yàn)證：不難驗(yàn)證：0)( kXP（1）1)(0kkXP（2） 由泊松定理知

10、，由泊松定理知，n重貝努里試驗(yàn)中稀有事重貝努里試驗(yàn)中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布. 我們把在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)概率很小的事我們把在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)概率很小的事件稱作稀有事件件稱作稀有事件.如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、意外事故等等如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、意外事故等等（二）、二項(xiàng)分布的泊松近似（二）、二項(xiàng)分布的泊松近似證明見(jiàn)教材證明見(jiàn)教材P44.設(shè)設(shè) 是一個(gè)正整數(shù)，是一個(gè)正整數(shù)， ，則有，則有定理定理2.2.1(泊松定理泊松定理)：, 2 , 1 , 0,!)1 (limkkeppCkknnknknnnpn 定理的條件意味著當(dāng)定理的條件意味著當(dāng) n很大時(shí)，很大時(shí)

11、，pn 必定必定很小很小. 因此，泊松定理表明，當(dāng)因此，泊松定理表明，當(dāng) n 很大，很大，p 很小時(shí)有以下近似式：很小時(shí)有以下近似式：!)1 (keppCkknkkn其中其中 np n 10, np 1 時(shí)近似效果就很好時(shí)近似效果就很好實(shí)際計(jì)算中，實(shí)際計(jì)算中，例例9 有一汽車(chē)站有大量汽車(chē)通過(guò)有一汽車(chē)站有大量汽車(chē)通過(guò),設(shè)每設(shè)每輛汽車(chē)在一天某段時(shí)間出事故的概率輛汽車(chē)在一天某段時(shí)間出事故的概率為為0.0001,在某天該段時(shí)間內(nèi)有在某天該段時(shí)間內(nèi)有1000輛輛汽車(chē)通過(guò)汽車(chē)通過(guò),求事故數(shù)不小于求事故數(shù)不小于2的概率的概率.例例1010設(shè)某國(guó)每對(duì)夫婦的子女?dāng)?shù)設(shè)某國(guó)每對(duì)夫婦的子女?dāng)?shù)X X服從參數(shù)服從參數(shù)為為

12、的泊松分布的泊松分布, ,且知一對(duì)夫婦有不超過(guò)且知一對(duì)夫婦有不超過(guò)1 1個(gè)孩子的概率為個(gè)孩子的概率為3e-2.3e-2.求任選一對(duì)夫婦求任選一對(duì)夫婦, ,至少有至少有3 3個(gè)孩子的概率。個(gè)孩子的概率。23) 1() 0(1),(eXPXPXPpX且)2() 1()0(1) 3(XPXPXPXP323. 051! 22! 121222212eeee解解:由題意由題意,232eee例例11 11 為保證設(shè)備正常工作，需要配備適為保證設(shè)備正常工作，需要配備適量的維修人員量的維修人員 . . 設(shè)共有設(shè)共有300300臺(tái)設(shè)備，每臺(tái)臺(tái)設(shè)備，每臺(tái)的工作相互獨(dú)立，發(fā)生故障的概率都是的工作相互獨(dú)立，發(fā)生故障的概

13、率都是0.01.0.01.若在通常的情況下，一臺(tái)設(shè)備的故障若在通常的情況下，一臺(tái)設(shè)備的故障可由一人來(lái)處理可由一人來(lái)處理 . . 問(wèn)至少應(yīng)配備多少維問(wèn)至少應(yīng)配備多少維修人員，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能修人員，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于及時(shí)維修的概率小于0.01?0.01?我們先對(duì)題目進(jìn)行分析：我們先對(duì)題目進(jìn)行分析： 300臺(tái)設(shè)備，獨(dú)立工作，出故障概率都是臺(tái)設(shè)備，獨(dú)立工作，出故障概率都是0.01. 一臺(tái)設(shè)備故障一人來(lái)處理一臺(tái)設(shè)備故障一人來(lái)處理. 問(wèn)至少配備多少維修人員，才能保證當(dāng)設(shè)問(wèn)至少配備多少維修人員，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的

14、概率小于0.01? 設(shè)設(shè)X為為300臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，300臺(tái)設(shè)備，獨(dú)立工作，每臺(tái)出故障概率臺(tái)設(shè)備，獨(dú)立工作，每臺(tái)出故障概率p=0.01 . 可看作可看作n=300的貝努里概型的貝努里概型.XB(n,p)，n=300, p=0.01可見(jiàn)，可見(jiàn)， 300臺(tái)設(shè)備，獨(dú)立工作，出故障概率都是臺(tái)設(shè)備，獨(dú)立工作，出故障概率都是0.01 . 一臺(tái)設(shè)備故障一人來(lái)處理一臺(tái)設(shè)備故障一人來(lái)處理. 問(wèn)至少配備多少維修人員，才能保證當(dāng)設(shè)問(wèn)至少配備多少維修人員，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于0.01?設(shè)設(shè)X為為300臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)

15、數(shù)，臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，XB(n,p)，n=300, p=0.01設(shè)需配備設(shè)需配備N(xiāo)個(gè)維修人員，個(gè)維修人員，所求的是滿足所求的是滿足P(XN) N) N) kkNkkC3003001300)99. 0()01. 0(30013!3Nkkken大大,p小小,np=3,用用 =np=3的泊松近似的泊松近似下面給出正式求解過(guò)程：下面給出正式求解過(guò)程：13!3Nkkke即至少需配備即至少需配備8個(gè)維修人員個(gè)維修人員.查書(shū)末的泊松分布表得查書(shū)末的泊松分布表得N+1 9,即即N 8我們求滿足我們求滿足1301. 0!3Nkkke的最小的的最小的N.,0038. 0!393kkke,012. 0!38

16、3kkke 例例:某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)命中的概率是命中的概率是p，求所需射擊發(fā)數(shù)，求所需射擊發(fā)數(shù)X 的概率函數(shù)的概率函數(shù).解解: 顯然，顯然，X 可能取的值是可能取的值是1,2, ，4. 幾何分布與超幾何分布幾何分布與超幾何分布, 2 , 1kppkXPk1)1 ()(則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為p的幾何分布的幾何分布.,記作記作XG(p). 不難驗(yàn)證不難驗(yàn)證:1)1 (11kkpp, 2 , 1kppkXPk1)1 ()(定義定義2.2.5:設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的概率函數(shù)為的概率函數(shù)為:例例 設(shè)有設(shè)有N件產(chǎn)品件產(chǎn)

17、品,其中有其中有M件次品件次品,現(xiàn)從這現(xiàn)從這N件中任取件中任取n件件,求其中恰有求其中恰有k件次品的概率件次品的概率.解：用解：用X表示取到的次品數(shù)表示取到的次品數(shù)CCCnNknMNkMkXP )(次品正品M件件次品次品N-M件件正品正品定義定義2.2.6:設(shè)設(shè)N個(gè)元素分為兩類(lèi)個(gè)元素分為兩類(lèi),有有M個(gè)屬于個(gè)屬于第一類(lèi)第一類(lèi),N-M個(gè)屬于第二類(lèi)個(gè)屬于第二類(lèi).現(xiàn)從中不重復(fù)現(xiàn)從中不重復(fù)(無(wú)放回?zé)o放回)抽取抽取n個(gè)個(gè),其中包含的第一類(lèi)元素其中包含的第一類(lèi)元素的個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)X的分布律為的分布律為: 這里這里l=minn,M,則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布的超幾何分布.記為記為XH(N

18、,M,n).lkkXPCCCnNknMNkM, 1 , 0 )(當(dāng)當(dāng)N 很大而很大而n相對(duì)于相對(duì)于 N是比較小時(shí)是比較小時(shí),可以用可以用二項(xiàng)分布公式近似計(jì)算二項(xiàng)分布公式近似計(jì)算.其中其中NMp 例例12一大批種子的發(fā)芽率為一大批種子的發(fā)芽率為0.9,今從中任取今從中任取10粒粒,求播種后求播種后,(1)恰有恰有8粒發(fā)芽的概率粒發(fā)芽的概率;(2)不少于不少于8粒發(fā)芽的概率。粒發(fā)芽的概率。想一想：離散型隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征可以想一想：離散型隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征可以用分布律描述，非離散型的該如何描述？用分布律描述，非離散型的該如何描述？如：熊貓彩電的壽命如：熊貓彩電的壽命X X是一個(gè)隨機(jī)變量，是一個(gè)隨機(jī)變量，對(duì)消費(fèi)者來(lái)說(shuō)，你是否在意對(duì)消費(fèi)者來(lái)說(shuō)，你是否在意X5X5年年 還是還是X5X5年零年零1 1分鐘分鐘 進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次成功的概率為進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次成功的概率為p p，令令X X表示直到出現(xiàn)第表示直到出現(xiàn)第m m次成功為止所進(jìn)行的試次成功為