高數(shù)競賽(俞亞娟-積分學(xué))

1、高數(shù)競賽(俞亞娟-積分學(xué))2d dddd d222222222212secln|sectan|,cscln|csccot|,1arcsi1ln|n(0),11arctan(0),11ln|(0)2|(0),x xxxCx xxxCxxC aaaxxxC aaxaaxxxaaxxC aaxaaC axax 重重點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)、原原函函數(shù)數(shù)與與不不定定積積分分、定定積積分分的的定定義義和和性性質(zhì)質(zhì)、基基本本積積分分公公式式容容33.4.5.6.7.8.變變限限積積分分的的性性質(zhì)質(zhì)及及其其應(yīng)應(yīng)用用積積分分中中值值定定理理微微積積分分基基本本定定理理直直接接積積分分、換換元元法法和和分分部部積積分分法法有有

2、理理函函數(shù)數(shù)的的積積分分定定積積分分的的幾幾何何應(yīng)應(yīng)用用定定積積分分的的物物理理應(yīng)應(yīng)用用4基本題型基本題型 1.討論函數(shù)與原函數(shù)之間的奇偶關(guān)系2.利用定積分計(jì)算無窮項(xiàng)和的極限3.求變限積分的導(dǎo)數(shù)以及討論變限積分性質(zhì)4.與積分中值定理或微積分基本定理有關(guān)的證明題 5.計(jì)算不定積分、定積分、反常積分 （包括按已知條件計(jì)算抽象函數(shù)的積分、分段函數(shù)或絕對(duì)值函數(shù)的積分、應(yīng)用幾何意義計(jì)算定積分）6. 計(jì)算平面圖形面積7.計(jì)算曲線的弧長8.計(jì)算體積、旋轉(zhuǎn)體的體積9.計(jì)算變力做功、壓力和引力問題 10.積分的比較和積分不等式證明5 =( )1,(0,1,(ln )(0)1,(1,),( )2( ),)f xx

3、fxfx xf xf x 部部分分考考研研或或競競賽賽題題一一、求求原原函函數(shù)數(shù)1 1、已已知知定定義義域域R R的的函函數(shù)數(shù)滿滿足足求求、設(shè)設(shè)在在0,+ )0,+ )上上連連續(xù)續(xù)，在在（0,+ )0,+ )內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，g(x)g(x)在在(-(-內(nèi)內(nèi)有有定定義義且且可可導(dǎo)導(dǎo)，g(0)=1,g(0)=1,當(dāng)當(dāng)x0 x0時(shí)時(shí)， f(x)+g(x f(x)+g(x）3x+23x+2 f (x)-g (x)=1 f (x)-g (x)=1 f (2x)- f (2x)-21( )g(x)f x g (-2x)=-12xg (-2x)=-12x求求與與的的表表達(dá)達(dá)式式。6 4 6145458221l

4、n2(1)(1)31(1)(1)(1)(1)()xxxxxx dxx dxxxxexdxdxxxex dxexdxxxexe 二二、求求不不定定積積分分、5 5、7 223ln()()7()()ln18ln9( )( )0,( )( )( )( )( )x ax bxaxbdxxaxbxdxxfxfxf xfx fxdxfxfx 、已已知知連連續(xù)續(xù)，求求8 ee+tan +21331222001122200220122022(1)arctanarctan34(1)(1)1sin56ln1cos17)81)2nnnxexxxxx dxdxxxxdxdxxxdxxdxxxxxdxxex 三三 、

5、定定 積積 分分 的的 計(jì)計(jì) 算算1 1、（ 1 1、 （212120ln(1)9(1)xdxxdxx 、9 x 2000220440040cos10200411( )sin )dx(sin ),2sin.3sin4cos12lnsin(x)dxlncos,4(2)ln(1tan )dx13( )0( )xdxxxf uxfxfx dxxxdxxxxdxf xxg x 、若若是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，證證明明（并并求求、(1)(1)證證明明：計(jì)計(jì)算算、設(shè)設(shè)可可微微函函數(shù)數(shù)在在上上有有定定義義，其其反反函函數(shù)數(shù)為為且且滿滿足足 ( )3211( )(x8)3( )f xg t dtf x 求求102

6、202014( )ln(12 cos),(),()151,01( )1,01(1)xF aaxadxFa F axxf xxef xdx 、設(shè)設(shè)求求、設(shè)設(shè)求求11 322222222412221 lim()141112 lim()416413( ),limln (1) (2)( )2224 lim()11122lim(1),25( )nnxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnf xafff nnnnnnnxxnf x 四四、利利用用定定積積分分的的定定義義求求極極限限、設(shè)設(shè)求求、 222x0lim2,x0(1)(2)()(0)nnnnnnnnf 求求12 x0 1530121lim(1cos

7、coscos),x0( )1lim1(1) ,x0!(),(1)( )0nnnxxnxnnnnf xxxdxnfxf xx 6 6、設(shè)設(shè)討討論論在在的的可可導(dǎo)導(dǎo)性性（2 2）求求函函數(shù)數(shù)f(x)f(x)在在- , - , 上上的的最最大大值值。1314adx7( ) , ( )0,( )bbxaf xa bf xf x e dxf x 、設(shè)設(shè)在在上上連連續(xù)續(xù)，）求求證證：在在( (a a, ,b b) )內(nèi)內(nèi)至至少少有有兩兩個(gè)個(gè)零零點(diǎn)點(diǎn)。151617= +cosLL222 )24 2006,41()31 5yxa aayLLxxx 已已知知曲曲線線 的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程 1 (0 1 (0

8、求求曲曲線線在在所所對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的點(diǎn)點(diǎn)處處的的切切線線 的的直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程，并并求求曲曲線線、切切線線 與與 軸軸圍圍的的面面積積。（年年競競賽賽題題) )七七、定定積積分分的的應(yīng)應(yīng)用用1 1、過過拋拋物物線線上上一一點(diǎn)點(diǎn)（）作作切切線線，問問 為為何何值值時(shí)時(shí)所所作作切切線線與與拋拋物物線線所所圍圍成成的的圖圖形形面面積積最最小??？提提示示：積積分分算算面面積積時(shí)時(shí)用用韋韋達(dá)達(dá)定定理理、過過點(diǎn)點(diǎn)（ ， ）作作曲曲線線 的的切切線線 ，求求2 2、的的方方程程，求求LDD0 xx與與 圍圍的的平平面面圖圖形形 的的面面積積，求求圖圖形形 的的的的部部分分繞繞軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周所所得得

9、立立體體的的體體積積。（提提示示：解解方方程程時(shí)時(shí)猜猜出出根根）18DQPQ222222222 22)(0)35:4,2,4.,4122004xbyaabxbDyxyxxyxyyxPPtPQyxDyxtDyxVPQ dt 4 4、將將平平面面曲曲線線（）繞繞直直線線旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周，求求形形成成曲曲面面圍圍的的體體積積。、設(shè)設(shè)在在 的的邊邊界界上上任任取取一一點(diǎn)點(diǎn) ，設(shè)設(shè) 到到原原點(diǎn)點(diǎn)的的距距離離為為 作作垂垂直直于于交交 的的邊邊界界于于。（ ）將將 ，的的距距離離表表示示為為 的的函函數(shù)數(shù)；（ ）求求將將 繞繞旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積。（提提示示：）（年年競競賽賽題題）19n+1) 1) | 40(1)11tan,11,(2)22(1)sin2,|2)lim0nnnnnnnnnnIxdxInnxadx nxaaa 八八、積積分分不不等等式式的的證證明明、設(shè)設(shè)求求證證：（、設(shè)設(shè)為為自自然然數(shù)數(shù)，求求證證20 1003( )0,10,1( )( )4(