蒼南縣“姜立夫”杯數(shù)學(xué)競(jìng)賽高二試卷

1、.2007年蒼南縣“姜立夫杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽高二試卷考生注意事項(xiàng)：1本卷共有17道題目，全卷滿分100分，考試時(shí)間120分鐘.2答題前，務(wù)必在試題卷、答題卷的密封線內(nèi)填寫(xiě)好自己的學(xué)校、姓名和準(zhǔn)考證號(hào)3本卷所有試題都必須用蘭色或黑色簽字筆在答題卷上書(shū)寫(xiě)，在試題卷上作答無(wú)效4本卷解答一律不允許用計(jì)算器一、選擇題：（共8小題，每小題4分，共32分，每小題只有一個(gè)正確答案）1已知數(shù)列的前n項(xiàng)和, 若47, 則= ( ) A.9 B.8 C.7 D.62設(shè)集合S=x|x2-5|x|+6=0, T=x|(a-2)x=2, 則滿足TS的a的值共有 ( ) A.5 B.4 C.3 D.23已知為三條不同的直線, 且

2、(1)若與b是異面直線, 則c至少與, b中的一條相交；(2)若/b, 則必有/c；(3)若不垂直于c, 則與b一定不垂直； (4)若b, c, 則必有.其中正確的命題的個(gè)數(shù)是 ( )A.3 B.2 C.1 D.04為使關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式的解集是空集, 則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ( )A. 1 B. -10 C.01 D. 125在ABC中, 如果, 則() tanC的值等于 ( ) A. B. C. D.6若點(diǎn)A(1,)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)落在軸上, 則= ( )A. B. C.或- D.或-7已知x, y滿足, 若的最大值為, 最小值為, 則 的取值范圍是 ( ) A.-1或1 B.01 C.-10

3、D.-118若為奇函數(shù), 且在0,為增函數(shù), 則的一個(gè)值為 ( )A. B. - C. D. -二、填空題(共6小題，每小題6分, 共36分)9設(shè)向量繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn), 得向量, 且2+=(8, 9), 則向量=_.10.從3名男生和n名女生中, 任選3人參加比賽, 已知3人中至少有1名女生的概率為, 則=_.11.若sin2(x+)-sin2(x-)= -, 且x(,p), 則tanx=_.12.設(shè)是(3 +)n的展開(kāi)式中x項(xiàng)的系數(shù)(n=2, 3, 4, ), 則當(dāng)n100時(shí), +的整數(shù)部分的值為 .13.若集合A中的每個(gè)元素都可表為1, 2, 3, 8中兩個(gè)不同的數(shù)之積, 則集合A中元素個(gè)

4、數(shù)的最大值為_(kāi)14.定義: 區(qū)間的長(zhǎng)度為. 已知函數(shù)的定義域?yàn)? 值域?yàn)?，則區(qū)間長(zhǎng)度的最大值與最小值的差等于_.2007年蒼南縣“姜立夫杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽高二答題卷一、選擇題：（共8小題，每小題4分，共32分，每小題只有一個(gè)正確答案）題號(hào)12345678答案二、填空題(共6小題，每小題6分, 共36分)9. 10. 11. 12. 13. 14. 三、解答題(第15題8分, 第16, 17題各12分, 共32分)15.設(shè)為實(shí)數(shù), 且函數(shù)的最小值為.(1)設(shè), 求的取值范圍, 并把表示為的函數(shù).(2)求的值.16.直線過(guò)點(diǎn)(1,1), 交軸, 軸的正半軸分別于A, B, 過(guò)A, B作直線的垂線, 垂足

5、分別為C, D.(1)當(dāng)AB /CD時(shí), 求CD中點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)|CD|最小時(shí), 求直線的方程.17.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽, 當(dāng)x0時(shí), 1, 且對(duì)于任意的實(shí)數(shù), 有成立. 又?jǐn)?shù)列滿足, 且(1)求證: 是R上的減函數(shù)；(2)求的值； (3)若不等式k ·對(duì)一切均成立, 求的最大值.2007年蒼南縣“姜立夫杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽高二答題卷一、選擇題：（共8小題，每小題4分，共32分，每小題只有一個(gè)正確答案）題號(hào)12345678答案CABCACDB二、填空題(共6小題，每小題6分, 共36分)9. （-2,5） 10. 4 11. 12. 17 13. 24 14. 8 三、解答題(第15題8

6、分, 第16, 17題各12分, 共32分)15.設(shè)為實(shí)數(shù), 且函數(shù)的最小值為.(1)設(shè), 求的取值范圍, 并把表示為的函數(shù).(2)求的值.15.解:(1), 要使t有意義, 必須, 解得-1x1, 且t0 t的取值范圍是又, , (2)由題意知g()即為函數(shù)m(t)=, 的最小值.此時(shí), m(t)在,2上是減函數(shù), 故得g()=m(2)= -16.直線過(guò)點(diǎn)(1,1), 交軸, 軸的正半軸分別于A, B, 過(guò)A, B作直線的垂線, 垂足分別為C, D.(1)當(dāng)AB /CD時(shí), 求CD中點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)|CD|最小時(shí), 求直線的方程.16.解: 依題意, 設(shè)A(a, 0), B(0, b),

7、a0, b0, 則直線AB的方程為點(diǎn)(1, 1)在AB上, (1)當(dāng)AB/CD時(shí), 則可得kAB= -3, 即- b=3a 結(jié)合解得a=, b=4設(shè)AB的中點(diǎn)為N, 則N(, 2). 又AC, BD垂直于CD, M是CD的中點(diǎn)MNCD,從而直線MN的方程為y=(x-)+2與方程3x+y+3=0聯(lián)立, 可解得M() (2)AC, BD垂直于直線y= -3x-3, 直線AC的方程為y=(x-a), 即x-3y-a=0, 且點(diǎn)B到直線AC的距離就等于|CD|, 故得|CD|=()= 等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)即因此, 所求的直線l的方程為x+y -1=017.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽, 當(dāng)x0時(shí), 1, 且對(duì)于任意

8、的實(shí)數(shù), 有成立. 又?jǐn)?shù)列滿足, 且(1)求證: 是R上的減函數(shù)；(2)求的值； (3)若不等式k ·對(duì)一切均成立, 求的最大值.17.解(1)由題設(shè), 令x= -1, y=0, 可得f(-1)=f(-1)f(0), f(0)=1. 故a1=f(0)=1 當(dāng)x0時(shí), -x0, f(-x)1, 且 1=f(0)=f(x)f(-x), 故得 0f(x)1 從而可得f(x)0, xR 設(shè)x1, x2R, 且x1x2, 則x2-x10, 故f(x2-x1)1, f(x1)0 從而f(x1) -f(x2)=f(x1) -f(x1+x2-x1)=f(x1) -f(x1)f(x2-x1)=f(x1)1-f(x2-x1)0 即f(x1)f(x2), 函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù). (2)由f(an+1)=, 得f(an+1)f( -2-an)=1, 即f(an+1-an-2)=f(0) 由f(x)的單調(diào)性, 故an+1-an-2=0 即an+1-an=2 (nN*) 因此, an是首項(xiàng)