偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)

1、偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算法一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算法00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如如 在在 處處 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 例例 1 1 求求 223yxyxz 在在點點)2, 1(處處的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 2

2、1yxyz.72213 例例 2 2 設(shè)設(shè)yxz )1, 0( xx， 求求證證 zyzxxzyx2ln1 .證證 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原結(jié)論成立原結(jié)論成立例例 3 3 設(shè)設(shè)22arcsinyxxz ，求，求xz ，yz .解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx .|22yxy |)|(2yy yz yyxxyxx222221132222)()(|yxxyyyx yyxx1sgn22 )0( y00 yxyz不存在不存在例例 4 4 已知理想氣體的狀態(tài)方程已知理想氣體的狀態(tài)方

3、程RTpV （R為常數(shù)） ，求證：為常數(shù)） ，求證：1 pTTVVp.證證 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT ).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求求設(shè)設(shè)例例如如 有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點說明：有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點說明：、 求分界點、不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)要用求分界點、不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；定義求；解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 ).0 , 0(yf 、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系例例如如,函函數(shù)數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依依定定義

4、義知知在在)0 , 0(處處，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函數(shù)在該點處并不連續(xù)但函數(shù)在該點處并不連續(xù). 偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)連續(xù).一元函數(shù)中在某點可導(dǎo)一元函數(shù)中在某點可導(dǎo) 連續(xù)，連續(xù)，多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)，連續(xù)，4、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,),(),(,(00000上上一一點點為為曲曲面面設(shè)設(shè)yxfzyxfyxM 如圖如圖幾何意義幾何意義: :),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為純

5、偏導(dǎo)純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù).二、高階偏導(dǎo)數(shù)二、高階偏導(dǎo)數(shù)例例 5設(shè)設(shè)13323 xyxyyxz，求求22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及33xz .解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx原函數(shù)圖形原函數(shù)圖形偏導(dǎo)函數(shù)圖形偏導(dǎo)函數(shù)圖形偏導(dǎo)函數(shù)圖形偏導(dǎo)函數(shù)圖形二階混合偏二階混合偏導(dǎo)函數(shù)圖形導(dǎo)函數(shù)圖形觀察上例中原函數(shù)、偏導(dǎo)函數(shù)與二階混合偏導(dǎo)觀察上例中

6、原函數(shù)、偏導(dǎo)函數(shù)與二階混合偏導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系：函數(shù)圖象間的關(guān)系：例例 6 6 設(shè)設(shè)byeuaxcos ，求求二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù).解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 定定理理 如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的兩兩個個二二階階混混合合偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xyz 2及及yxz 2在在區(qū)區(qū)域域 D D 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，那那末末在在該該區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)這這兩兩個個二二階階混混合合偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)必必相相等等問題：問題：混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才混合偏導(dǎo)數(shù)都相

7、等嗎？具備怎樣的條件才相等？相等？例例 6 6 驗驗證證函函數(shù)數(shù)22ln),(yxyxu 滿滿足足拉拉普普拉拉斯斯方方程程. 02222 yuxu解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu . 0 若函數(shù)若函數(shù)),(yxf在 點在 點),(000yxP連連續(xù)，能否斷定續(xù)，能否斷定),(yxf在點在點),(000yxP的偏導(dǎo)數(shù)必定存在？的偏導(dǎo)數(shù)必定存在？思考題思考題思考題解

8、答思考題解答不能不能.,),(22yxyxf 在在)0 , 0(處處連連續(xù)續(xù),但但 )0 , 0()0 , 0(yxff 不不存存在在.例如例如,一一、 填填空空題題: :1 1、 設(shè)設(shè)yxztanln , ,則則 xz_ _ _ _ _ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 設(shè)設(shè) xzyxezxy則則),(_ _ _ _ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _ _. .3 3、 設(shè)設(shè),zyxu 則則 xu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; yu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; zu_ _ _ _ _ _

9、 _ _ _ _ _ _ _. .4 4、 設(shè)設(shè),arctanxyz 則則 22xz_ _ _ _ _ _ _ _ _; ; 22yz_ _ _ _ _ _ _ _; ; yxz2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 練練 習(xí)習(xí) 題題 5 5、設(shè)、設(shè)zyxu)( , ,則則 yzu2_. .二、二、 求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù): : 1 1、yxyz)1( ； 2 2、zyxu)arctan( . .三、三、 曲線曲線 4422yyxz, ,在點在點(2,4,5)(2,4,5)處的切線與正向處的切線與正向x軸所成的傾角是多少軸所成的傾角是多少? ?四、四、 設(shè)設(shè)xyz , ,求求.,22222yxzyzxz 和和五、設(shè)五、設(shè))ln(xyxz , ,求求yxz 23和和23yxz . .六、六、 驗證驗證: : 1 1、)11(yxez , ,滿足滿足zyzyxzx222 ； 2 2、222zyxr 滿足滿足 rzzryrxr 222222. .七、設(shè)七、設(shè) 0, 00,arctanarctan),(22xyxyyxyxyxyxf 求求xyxff ,. . 2 2、zzyxyxzxu21)(1)( , , ,)(1)(21zzyxyxzyu zyxyxyxzu2)(1)ln()( . .三、三、4