四中高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)-知識梳理對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

1、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)【考綱要求】1.掌握對數(shù)的概念、常用對數(shù)、對數(shù)式與指數(shù)式互化，對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、換底公式與自然對數(shù)；2.掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì). 3.正確使用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；底數(shù)a對圖象的影響及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的作用.4.通過對指數(shù)函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)觀察、分析歸納的能力，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想方法；【知識網(wǎng)絡(luò)】對數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)對數(shù)的概念指對互化運(yùn)算【考點梳理】考點一、對數(shù)概念及其運(yùn)算我們在學(xué)習(xí)過程遇到2x=4的問題時，可憑經(jīng)驗得到x=2的解，而一旦出現(xiàn)2x=3時，我們就無法用已學(xué)過的知識來解決，從而引入出一種新的運(yùn)算對數(shù)運(yùn)算.(一)對數(shù)

2、概念:1.如果，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作:logaN=b.其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).2.對數(shù)恒等式：3.對數(shù)具有下列性質(zhì)：(1)0和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)，即；(2)1的對數(shù)為0，即；(3)底的對數(shù)等于1，即.(二)常用對數(shù)與自然對數(shù)通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，.以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)， .(三)對數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系由定義可知:對數(shù)就是指數(shù)變換而來的，因此對數(shù)式與指數(shù)式聯(lián)系密切，且可以互相轉(zhuǎn)化.它們的關(guān)系可由下圖表示.由此可見a，b，N三個字母在不同的式子中名稱可能發(fā)生變化.(四)積、商、冪的對數(shù)已知(1)；推廣：(2)；(3).(五)換底公式同底對數(shù)才能運(yùn)算，底數(shù)不同時可

3、考慮進(jìn)行換底，在a>0， a1， M>0的前提下有:(1) 令 logaM=b， 則有ab=M， (ab)n=Mn，即， 即，即:.(2) ，令logaM=b， 則有ab=M， 則有 即， 即，即當(dāng)然，細(xì)心一些的同學(xué)會發(fā)現(xiàn)(1)可由(2)推出，但在解決某些問題(1)又有它的靈活性.而且由(2)還可以得到一個重要的結(jié)論:.考點二、對數(shù)函數(shù)及其圖像、性質(zhì)1.函數(shù)y=logax(a>0，a1)叫做對數(shù)函數(shù).2.在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)a>1時，隨a的增大，對數(shù)函數(shù)的圖像愈靠近x軸；當(dāng)0<a<1時，對數(shù)函數(shù)的圖象隨a的增大而遠(yuǎn)離x軸.(見圖1)(1)對數(shù)函數(shù)y=logax

4、(a>0，a1)的定義域為(0，+)，值域為R(2)對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0，a1)的圖像過點(1，0)(3)當(dāng)a>1時，【典型例題】類型一、指數(shù)式與對數(shù)式互化及其應(yīng)用例1.將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【解析】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【總結(jié)升華】對數(shù)的定義是對數(shù)形式和指數(shù)形式互化的依據(jù)，而對數(shù)形式和指數(shù)形式的互化又是解決問題的重要手段.舉一反三：【變式】求下列各式中x的值：(1) (2) (3)lg100=x (4)【解析】(1)；(2)；(3)10x=100=102，于是x=2；(4)由.類型二、對

5、數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用例2.求值(1) log89·log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)【解析】(1)原式=.(2)原式=(3)原式=(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52) 舉一反三：【變式】已知：log23=a， log37=b，求：log4256=?【解析】 ，類型三、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例3.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的值域；（2）求的單調(diào)性【解析】舉一反三：【變式】已知f(logax)=(a>0且a1)，試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性.【解

6、析】設(shè)t=logax(xR+， tR).當(dāng)a>1時，t=logax為增函數(shù)，若t1<t2，則0<x1<x2， f(t1)-f(t2)=， 0<x1<x2， a>1， f(t1)<f(t2)， f(t)在R上為增函數(shù)，當(dāng)0<a<1時，同理可得f(t)在R上為增函數(shù). 不論a>1或0<a<1， f(x)在R上總是增函數(shù).例4求函數(shù)y=(-x2+2x+3)的值域和單調(diào)區(qū)間.【解析】設(shè)t=-x2+2x+3，則t=-(x-1)2+4. y=t為減函數(shù)，且0<t4， y=-2，即函數(shù)的值域為-2，+.再由：函數(shù)y=(-x2

7、+2x+3)的定義域為-x2+2x+3>0，即-1<x<3. t=-x2+2x+3在-1，1）上遞增而在1，3)上遞減，而y=t為減函數(shù). 函數(shù)y=(-x2+2x+3)的減區(qū)間為(-1，1)，增區(qū)間為1，3.例5. 判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1) (2).【解析】由所以函數(shù)的定義域為：(-1，1)關(guān)于原點對稱又所以函數(shù)是奇函數(shù)；【總結(jié)升華】此題確定定義域即解簡單分式不等式，函數(shù)解析式恒等變形需利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).說明判斷對數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)的奇偶性，不能輕易直接下結(jié)論，而應(yīng)注意對數(shù)式的恒等變形.(2)【解析】由所以函數(shù)的定義域為R關(guān)于原點對稱，又即f(-x)=-f(x)；所以函數(shù)

8、.【總結(jié)升華】此題定義域的確定可能稍有困難，函數(shù)解析式的變形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.例6已知函數(shù)h(x)=2x(xR)，它的反函數(shù)記作g(x)，A、B、C三點在函數(shù)g(x)的圖象上，它們的橫坐標(biāo)分別為a，a+4，a+8(a>1)，記ABC的面積為S.(1)求S=f(a)的表達(dá)式； (2)求函數(shù)f(a)的值域；(3) 判斷函數(shù)S=f(a)的單調(diào)性，并予以證明；(4)若S>2，求a的取值范圍.【解析】(1)依題意有g(shù)(x)=log2x(x>0). 并且 A、B、C三點的坐標(biāo)分別為A(a， log2a)， B(a+4， log2(a+4)， C(a+8， log2(a+8

9、) (a>1).A，C中點D的縱坐標(biāo)為log2a+log2(a+8) S=|BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8).(2)把S=f(a)變形得：S=f(a)=22log2(a+4)-log2a-log2(a+8)=2log2=2log2(1+).由于a>1時，a2+8a>9， 1<1+<，又函數(shù)y=log2x在(0，+)上是增函數(shù)， 0<2log2(1+)<2log2，即0<S<2log2.(3)S=f(a)在定義域(1，+)上是減函數(shù)，證明如下：任取a1，a2，使1<a1<a2<+，則：(1+)-(1+)=16()=16·，由a1>1，a2>1，且a2>a1， a1+a2+8&g