普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題及答案理

1、1999年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.滿分150分.考試時間120分鐘.第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共14小題；第110題每小題4分，第1114題每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.如圖，I是全集，M、P、S是I的3個子集，則陰影部分所表示的集合是 ( )(A) （MP）S(B) （MP）S(C) （MP）(D) （MP）2.已知映射：，其中，集合集合B中的元素都是A中元素在映射下的象，且對任意的在B中和它對應(yīng)的元素是，則集合B中元素的個數(shù)是( )(A) 4(B) 5(

2、C) 6(D) 73. 若函數(shù)的反函數(shù)是，則等于( )(A) a(B) (C) (D) 4.函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且則函數(shù)在上( )(A) 是增函數(shù)(B) 是減函數(shù)(C) 可以取得最大值M(D) 可以取得最小值5.若是周期為的奇函數(shù)，則可以是( )(A) (B) (C) (D) 6.在極坐標(biāo)系中，曲線關(guān)于( )(A) 直線軸對稱(B) 直線軸對稱(C) 點(diǎn)中心對稱(D) 極點(diǎn)中心對稱7.若干毫升水倒入底面半徑為的圓柱形器皿中，量得水面的高度為，若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中，則水面的高度是( )(A) (B) (C) (D) 8.若則的值為( )(A) 1(B) 1(C) 0(

3、D) 29.直線截圓得的劣弧所對的圓心角為( )(A) (B) (C) (D) 10.如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EFAB，EF，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積為( )(A) (B) 5(C) 6(D) 11.若則( )(A) (B) (C) (D) 12.如果圓臺的上底面半徑為5，下底面半徑為R，中截面把圓臺分為上、下兩個圓臺，它們的側(cè)面積的比為1：2，那么R=( )(A) 10(B) 15(C) 20(D) 2513.已知兩點(diǎn)給出下列曲線方程： 在曲線上存在點(diǎn)P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程是( )(A) (B) (C) (D) 14.某

4、電腦用戶計劃使用不超過500元的資金購買單價分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤，根據(jù)需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式共有( )(A) 5種(B) 6種(C) 7種(D) 8種第II卷（非選擇題共90分）二填空題：本大題共4小題；每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上.15.設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為，若過且垂直于軸的弦長等于點(diǎn)到的距離，則橢圓的率心率是_16.在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植一壟，為有利于作物生長，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法共有_種（用數(shù)字作答）17.若正數(shù)、滿足則的取值范圍是_18

5、.、 是兩個不同的平面，、是平面及 之外的兩條不同直線，給出四個論斷： 以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題：_三、解答題：本大題共6小題；共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.19.（本小題滿分10分）解不等式20.（本小題滿分12分）設(shè)復(fù)數(shù)求函數(shù)的最大值以及對應(yīng)的值.21.（本小題滿分12分）如圖，已知正四棱柱，點(diǎn)在棱上，截面，且面與底面所成的角為.求截面的面積；.求異面直線與AC之間的距離；.求三棱錐的體積.22.（本小題滿分12分）右圖為一臺冷軋機(jī)的示意圖.冷軋機(jī)由若干對軋輥組成，帶鋼從一端輸入，經(jīng)過各對軋輥逐步減薄后輸出.輸入帶鋼的厚度為

6、，輸出帶鋼的厚度為，若每對軋輥的減薄率不超過.問冷軋機(jī)至少需要安裝多少對軋輥？（一對軋輥減薄率）.已知一臺冷軋機(jī)共有4對減薄率為20%的軋輥，所有軋輥周長均為1600若第對軋輥有缺陷，每滾動一周在帶鋼上壓出一個疵點(diǎn)，在冷軋機(jī)輸出的帶鋼上，疵點(diǎn)的間距為為了便于檢修，請計算、并填入下表（軋鋼過程中，帶鋼寬度不變，且不考慮損耗）.軋錕序號1234疵點(diǎn)間距（單位：）160023.（本小題滿分14分）已知函數(shù)的圖像是自原點(diǎn)出發(fā)的一條折線，當(dāng)時，該圖像是斜率為的線段（其中正常數(shù)），設(shè)數(shù)列由定義.求、和的表達(dá)式；.求的表達(dá)式，并寫出其定義域；.證明：的圖像與的圖像沒有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn).24.（本小題滿分1

7、4分）如圖，給出定點(diǎn)和直線是直線上的動點(diǎn)，的角平分線交于點(diǎn).求點(diǎn)的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與值的關(guān)系.1999年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題（理工農(nóng)醫(yī)類）參考解答一、選擇題（本題考查基礎(chǔ)知識和基礎(chǔ)運(yùn)算）.1. C2. A3. A4. C5. B6. B7. B8. A9. C 10. D11.B12. D13.D 14. C二、填空題（本題考查基本知識和基本運(yùn)算）.15. 16. 12 17. 18. 或三、解答題19. 本小題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)不等式、無理不等式解法等基礎(chǔ)知識，考查分類討論的思想.解：原不等式等價于由得由得或，由得由此得 或當(dāng)時得所求的解是；當(dāng)時得

8、所求的解是20.本小題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念、三角公式和不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.解：由得由得及故 因?yàn)樗援?dāng)且僅當(dāng)時，即時，上式取等號.所以當(dāng)時，函數(shù)取得最大值 由得由于在內(nèi)正切函數(shù)是遞增函數(shù)，函數(shù)也取最大值 21.本小題主要考查空間線面關(guān)系、二面角和距離的概念，邏輯思維能力、空間想象能力及運(yùn)算能力. 解：如圖，連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)EO因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以DOAC又因?yàn)镋D底面AC，因?yàn)镋OAC所以EOD是面EAC與底面AC所成二面角的平面角. 所以故II. 解：由題設(shè)是正四棱柱，得底面AC，AC，又 所以是異面直線與AC間的公垂線. 因?yàn)槊鍱A

9、C，且面與面EAC交線為EO所以EO又O是DB的中點(diǎn)，所以E是的中點(diǎn)，=2EO =2所以異面直線與AC間的距離為 . 解法一：如圖，連結(jié)因?yàn)?DB=所以是正方形，連結(jié)交于P，交EO于Q因?yàn)?，EO，所以EO又ACEO，ACED所以AC面，所以AC，所以面EAC.所以是三棱錐的高.由DQ=PQ，得所以所以三棱錐的體積是解法二：連結(jié)，則 因?yàn)锳O面，所以AO是三棱錐的高，AO在正方形中，E、O分別是、DB的中點(diǎn)（如右圖），則所以三棱錐的體積是 22. 本小題主要考查等比數(shù)列、對數(shù)計算等基本知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法解決實(shí)際問題的能力.解：厚度為的帶鋼經(jīng)過減薄率均為的對軋輥后厚度為為使輸出帶鋼的

10、厚度不超過，冷軋機(jī)的軋輥數(shù)（以對為單位）應(yīng)滿足即 由于對比上式兩端取對數(shù)，得由于所以因此，至少需要安裝不小于的整數(shù)對軋輥. . 解法一：第對軋輥出口處疵點(diǎn)間距離為軋輥周長，在此處出口的兩疵點(diǎn)間帶鋼體積為寬度而在冷軋機(jī)出口處兩疵點(diǎn)間帶鋼的體積為寬度.因?qū)挾认嗟?，且無損耗，由體積相等得即 由此得填表如下 軋錕序號1234疵點(diǎn)間距（單位：）3125250020001600解法二：第3對軋輥出口處疵點(diǎn)間距為軋輥周長，在此處出口的兩疵點(diǎn)間帶鋼體積與冷軋機(jī)出口處兩疵點(diǎn)間帶鋼體積相等，因?qū)挾炔蛔儯兴?同理填表如下軋錕序號1234疵點(diǎn)間距（單位：）312525002000160023.本小題主要考查函數(shù)的

11、基本概念、等比數(shù)列、數(shù)列極限的基礎(chǔ)知識，考查歸納、推理和綜合的能力.解：依題意，又由，當(dāng)時，函數(shù)的圖像是斜率為的線段，故由得又由，當(dāng)時，函數(shù)的圖像是斜率為的線段，故由 ，即得 記由函數(shù)圖像中第段線段的斜率為，故得又；所以 由此知數(shù)列為等比數(shù)列，其首項為1，公比為因得即 . 解：當(dāng)，從可知當(dāng)時，當(dāng)時，即當(dāng)時，由可知為求函數(shù)的定義域，須對進(jìn)行討論.當(dāng)時，；當(dāng)時，也趨向于無窮大.綜上，當(dāng)時，的定義域?yàn)椋划?dāng)時，的定義域?yàn)? . 證法一：首先證明當(dāng)，時，恒有成立.用數(shù)學(xué)歸納法證明：（）由知當(dāng)時,在上, 所以成立（）假設(shè)時在上恒有成立.可得 在上,所以 也成立.由()與()知,對所有自然數(shù)在上都有成立.即

12、 時,恒有.其次，當(dāng),仿上述證明,可知當(dāng)時,恒有成立.故函數(shù)的圖像與的圖像沒有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn). 證法二:首先證明當(dāng),時,恒有成立.對任意的存在,使，此時有所以又所以，所以，即有成立.其次，當(dāng)，仿上述證明，可知當(dāng)時，恒有成立.故函數(shù)的圖像與的圖像沒有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn). 24. 本小題主要考查曲線與方程，直線和圓錐曲線等基礎(chǔ)知識，以及求動點(diǎn)軌跡的基本技能和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.解法一：依題意，記則直線OA和OB的方程分別為和設(shè)點(diǎn)，則有，由OC平分AOB，知點(diǎn)C到OA、OB距離相等.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得 依題設(shè)，點(diǎn)C在直線AB上，故有由，得 將式代入式得整理得 若，則；若，則，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，0），滿足上式.綜上得點(diǎn)C的軌跡方程為（）當(dāng)時，軌跡方程化為 此時，方程表示拋物線弧段；（）當(dāng)時，軌跡方程化為 所以