高等數(shù)學(xué)下冊知識點

1、高等數(shù)學(xué)下冊知識點第七章空間解析幾何與向量代數(shù)一、填空與選擇1、已知點 A(3,2,1)和點 B(7,2,3) ，取點 M 使 AM2MB ，則向量 OM =。2已知點 A(0,1,2) 和點 B(1,1,0) ，則 AB 0=。3、設(shè)向量 a 與三個坐標(biāo)面的夾角分別為,，則 cos2cos2cos2=。4、設(shè)向量 a 的方向角,為銳角，且 a4 ，則 a =。35、向量 a (7, 2,5) 在向量 b(2,2,1) 上的投影等于。6、過點 P 1， 2，1 且與直線 xt 2， y 3t4， zt1 ，垂直的平面方程為 _ 7、已知兩直線方程是L1: x 1y2z3 ， L2 : x2y1

2、z ，則過 L1且平行 L2的平面方101211程為 _8、 設(shè)直線 L1 : x1y5z 8 , L2 :xy60，則 L1與 L2的夾角為（）2 yz31210（ A）6（B）（ C）（D） 4329、平面 Ax ByCzD0過 x 軸，則（）（A） AD0（B） B0, C0（C） B0,C0（D） BC010 、平面3x5z10 （ ）（ A）平行于 zox 平面 （B ）平行于 y 軸（ C）垂直于 y 軸 （ D）垂直于 x 軸11 、點 M (1,2,1) 到平面 x2 y2z100 的距離為（）（A）1 （B） 1（C）1 （D） 1312 、與 xoy 坐標(biāo)平面垂直的平面的一

3、般方程為。13 、過點 (1,2,1) 與向量 S1i2j3k , S2jk 平行的平面方程為。14 、平面 19x4 y8z210 和 19 x 4 y8z420 之間的距離等于。15 、過點 ( 0,2,4) 且與平面 x 2z1及 y3z 2都平行的直線方程為。16 、過點 ( 2,0,3)x2 y4z70并與3x垂直的平面的方程為。5y 2z 1 0二、完成下列各題1、設(shè) OCa13b, OB2a8b,OC(ab) 與 b 是不平行的非零向量，求的值， 使 A、B、C三點在同一直線上。2、已知不平行的兩向量a 和 b ，求它們的夾角平分線上的單位向量。3、設(shè)點 A(1,0,1) 為矢量

4、AB 的起點， AB10, AB 與 x 軸、 y 軸的夾角分別為60 ,45 ，試求：（ 1） AB 與 z 軸的夾角 v ；（ 2 ）點 B 的坐標(biāo)。4 、求與向量a 2i j2k 共線且滿足 a x18 的向量 x 。5 、若平面過x 軸，且與xoy 平面成 30 的角，求它的方程。第八章空間解析幾何與向量代數(shù)（一）向量及其線性運算1、向量，向量相等，單位向量，零向量，向量平行、共線、共面；2、線性運算：加減法、數(shù)乘；3、空間直角坐標(biāo)系：坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面、卦限，向量的坐標(biāo)分解式；4、利用坐標(biāo)做向量的運算：設(shè)a( ax ,ay , az ) ， b(bx ,by ,bz ) ，則a b (a

5、xb , ayb , azb ) ,a ( ax , ay , az ) ；xyz5、向量的模、方向角、投影：1）向量的模：rx2y2z2；2）兩點間的距離公式：AB( x2x1 )2( y2y1 )2(z2 z1)23）方向角：非零向量與三個坐標(biāo)軸的正向的夾角,4）方向余弦： cosx , cosy , coszrrrcos2cos2cos215）投影： Pr ju aa cos，其中為向量 a 與 u 的夾角。（二）數(shù)量積，向量積1、數(shù)量積： abab cos） aa21a2） abab0a b a x bxa y b ya zb z2、向量積： cab大?。篴bsin，方向： a , b

6、 , c 符合右手規(guī)則1） aa02） a / bab0ijkabaxayazbxbybz運算律：反交換律baab（三）曲面及其方程1、曲面方程的概念：S : f ( x, y, z)02、旋轉(zhuǎn)曲面：yoz 面上曲線 C : f ( y, z)0 ，繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周：f ( y,x 2z 2 )0繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周：f (x 2y 2 , z)03、柱面：F ( x , y )0F ( x, y )0 表示母線平行于 z 軸，準(zhǔn)線為的柱面z04、二次曲面x2y1）橢圓錐面： a2b22 z 2x 2y 2z 212）橢球面：a 2b 2c 2x2y 2z21旋轉(zhuǎn)橢球面： a2a 2c 2x

7、2y 2z213）單葉雙曲面：a 2b 2c 2x 2y 2z214）雙葉雙曲面：a 2b 2c 2x2y2z5）橢圓拋物面： a2b 2x 2y 26）雙曲拋物面（馬鞍面） ： a 2b 2x 2y 217）橢圓柱面：a 2b 2x 2y 218）雙曲柱面：a 2b 29）拋物柱面：x2ay（四）空間曲線及其方程z1、一般方程：F ( x , y , z)0G ( x , y , z)0xx ( t )xa cos t2、參數(shù)方程：yy ( t ) ，如螺旋線：zz ( t )3、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影F ( x, y , z)0ya sintzbtH ( x, y )0，消去 z ，得到

8、曲線在面 xoy 上的投影G ( x, y , z)0z0（五）平面及其方程1、點法式方程：A( xx0 )B ( yy0 ) C ( z z0 ) 0法向量： n( A, B, C) ，過點 ( x0 , y0 , z0 )2、一般式方程：AxByCz D0xyz1截距式方程： abc3、兩平面的夾角： n1( A1 , B1 ,C1 ) ， n2(A2,B2,C2) ，cosA1 A2B1 B2C1C2A2B2C 2A2B2C211122212A1 A2B1B2C1C20/A1B1C112A2B2C24、點 P0 ( x0 , y0 , z0 )到平面 Ax By Cz D0 的距離：dA

9、x0By0 Cz0DA2B2C2（六）空間直線及其方程A1 x B1 y C1 z D101、一般式方程：0A2 x B2 y C 2 z D 22、x x0y y0z z0對稱式（點向式）方程：mnp方向向量： s(m,n, p) ，過點 ( x0 , y 0 , z0 )xx0mt3、參數(shù)式方程：yy0ntzz0pt4、兩直線的夾角： s1( m1 , n1 , p1 ) ， s2( m2 , n2 , p2 ) ，cosm1m2n1n2 p1 p2m2n2p2m2n2p2111222L1L2m1m2n1n2p1 p20L1 / L2m1n1p1m2n2p25、直線與平面的夾角：直線與它在

10、平面上的投影的夾角，sinAmBnCpA 2B 2C 2m2n 2p 2L /AmBnCp0LABCmnp第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用（一）基本概念1、距離，鄰域，內(nèi)點，外點，邊界點，聚點，開集，閉集，連通集，區(qū)域，閉區(qū)域，有界集，無界集。2、多元函數(shù)：zf ( x, y) ，圖形：3、極限：limf ( x, y)A( x, y )( x0 , y0 )4、連續(xù)：limf ( x, y)f ( x0 , y0 )( x, y )( x 0 , y0 )5、偏導(dǎo)數(shù)：f x ( x0 , y0 )limf ( x0x, y0 )f ( x0 , y0 )xx0f y ( x0 , y0 )lim

11、f ( x0 , y0y)f ( x0 , y0 )yy06、方向?qū)?shù)：ff cosfcos其中,為 l的方向角。lxy7、梯度： zf ( x, y) ，則 gradf (x0 , y0 )f x ( x0 , y0 )i f y ( x0 , y0 ) j 。8、全微分：設(shè)zf (x, y) ，則 dzz dxz dyxy（二）性質(zhì)1、函數(shù)可微，偏導(dǎo)連續(xù)，偏導(dǎo)存在，函數(shù)連續(xù)等概念之間的關(guān)系：12偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)存在充分條件必要條件4定義23函數(shù)連續(xù)2、閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、微分法ux1）定義：2）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：鏈?zhǔn)椒▌tz若，則vyzzuz

12、vzzuzvxuxvx，yuyvy3）隱函數(shù)求導(dǎo)：兩邊求偏導(dǎo)，然后解方程（組）（三）應(yīng)用1、極值1）無條件極值：求函數(shù) zf ( x, y) 的極值f x0解方程組f y0 求出所有駐點，對于每一個駐點( x0 , y0 ) ，令A(yù) f xx (x0 , y0 ) ， Bf xy (x0 , y0 ) ， Cf yy (x0 , y0 ) ，若 ACB 20 ， A0 ，函數(shù)有極小值，若 ACB20 ， A0 ，函數(shù)有極大值；若 ACB 20 ，函數(shù)沒有極值；若 ACB 20 ，不定。2）條件極值：求函數(shù) zf ( x, y) 在條件 ( x, y)0 下的極值令： L( x, y)f ( x

13、, y)(x, y) Lagrange 函數(shù)Lx0解方程組Ly0( x, y)02、幾何應(yīng)用1）曲線的切線與法平面xx ( t )曲線: yy (t ) ，則上一點 M (x0 , y0 , z0 ) （對應(yīng)參數(shù)為t0 ）處的zz(t )x x0yy0z z0切線方程為：x (t0 )y (t0 )z (t0 )法平面方程為：x (t 0 )( xx0 )y ( t 0 )( y y0 )z ( t0 )( z z0 ) 02）曲面的切平面與法線曲面: F ( x , y , z )0 ，則上一點 M (x0 , y0 , z0 ) 處的切平面方程為：Fx ( x0 , y0, z0 )(xx

14、0 )Fy ( x0, y0 , z0 )( yy0 )Fz ( x0 , y0 , z0 )( zz0 )0xx0yy0zz0法線方程為： Fx( x , y0, z )Fy( x , y0, z )Fz( x, y0, z0)00000第十章重積分（一）二重積分n1、定義：f (x, y) dlimf ( k , k ) kD0k 12、性質(zhì)：（ 6 條）3、幾何意義：曲頂柱體的體積。4、計算：1）直角坐標(biāo)D( x, y)1 (x)y2 (x)，axbf ( x, y)dxdybdx2 ( x )af ( x,y)d yD1 ( x)D( x, y)1 ( y)x2 ( y)，cydf (

15、 x, y)dxdyd2 ( y)dyf ( x,y)d xDc1 ( y)2）極坐標(biāo)D( , )1 ( )2 ()f (x, y)dxdyd2 ()cos,sin)1 ()f (D（二）三重積分n1、定義：f ( x, y, z) d vlimf (k ,k ,k )01k2、性質(zhì)：3、計算：1）直角坐標(biāo)f ( x, y,z) d vd xd yz2 ( x, y)f ( x, y, z) dzDz1 (x , y)bdvk- “先一后二 ”f ( x, y, z) d vd zf (x, y, z) d xd y- “先二后一 ”aDZ2）柱面坐標(biāo)xcosysinf (x, y, z)d

16、vf ( cos ,sin , z) d d dz，zz3）球面坐標(biāo)xr sincosyr sinsinzr cosf (x, y, z)d vf (r sin cos ,r sin sin , r cos )r 2 sin drd d（三）應(yīng)用曲面 S: z f ( x, y) , (x, y)D 的面積：AD1 ( z)2( z )2 d x d yxy第十一章曲線積分與曲面積分（一）對弧長的曲線積分n1、定義：f ( x, y)dslimf ( i , i ) siL01i2、性質(zhì)：1） f ( x, y)( x, y)dsf ( x, y)dsg(x, y)ds.LLL2）f ( x,

17、 y)dsf ( x, y)dsf (x, y)ds. ( LL1 L2 ).LL1L23）在 L 上，若 f (x, y)g( x, y) ，則Lf (x, y)dsg( x, y)ds.L4）Ldsl ( l為曲線弧L的長度)3、計算：x(t ),設(shè) f ( x, y) 在 曲 線 弧 L 上 有 定 義 且 連 續(xù) ， L的參數(shù)方程為(t)，其中y(t ),(t),(t ) 在 , 上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且2 (t )2 (t )0 ，則Lf ( x, y)dsf (t),(t)2 (t)2 (t )d t, ()（二）對坐標(biāo)的曲線積分1、定義：設(shè)L 為 xoy 面內(nèi)從 A 到 B 的一條

18、有向光滑弧，函數(shù)P ( x, y )， Q ( x, y ) 在 L 上有界，定n義LP( x, y ) d xlimP (k , k )xk ，0k 1nQ ( x, y )d y limQ (k ,k )yk .L0k 1向量形式：LFd rP( x, y)dxQ( x, y) d yL2、性質(zhì)：用 L表示 L 的反向弧, 則F (x, y)drF ( x, y)drLL3、計算：設(shè) P(x, y) , Q (x, y) 在有向光滑弧L 上有定義且連續(xù) ,L 的參數(shù)方程為x(t ),(t :)，其中(t),(t)在 ,y上 具 有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且(t ),2 (t )2 (t )0 ，則P

19、( x, y)d xQ ( x, y )d y P(t ),(t )(t )Q(t ), ( t)( t )dtL4、兩類曲線積分之間的關(guān)系：設(shè)平面有向曲線弧為 L：x(t )L 上 點 ( x, y) 處 的 切 向 量 的 方 向 角 為 ：y，, ，(t )cos(t)， cos(t )2 (t)2 (t)，2 (t )2 (t )則LPdxQdy( P cosQ cos)ds .L（三）格林公式1、格林公式：設(shè)區(qū)域D 是由分段光滑正向曲線L 圍成，函數(shù) P( x, y) ,Q( x, y) 在D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 則有QP dxd yPdxQd yxyDL2、 G 為一個單連通區(qū)

20、域，函數(shù)P(x, y) ,Q(x, y) 在 G 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則QPPdx Qdy 在 G 內(nèi)與路徑無關(guān)xy曲線積分L曲線積分PdxQdy0LP( x, y) dxQ( x, y) d y 在 G 內(nèi)為某一個函數(shù)u( x, y) 的全微分（四）對面積的曲面積分1、定義：設(shè)為光滑曲面，函數(shù)f (x, y, z) 是定義在上的一個有界函數(shù)，n定義f (x, y, z) dS lim f (i ,i , i ) Si0i 12、計算：“一單二投三代入 ”: zz( x, y) ， ( x, y)Dxy ，則f ( x, y, z) dSf x, y, z(x, y) 1zx2 ( x, y

21、)D x y（五）對坐標(biāo)的曲面積分1、預(yù)備知識：曲面的側(cè)，曲面在平面上的投影，流量2、定義：設(shè)為 有 向 光 滑 曲 面 ， 函 數(shù) P( x, y, z), Q(x, y, z), R( x, y, z) 是 定 義 在nR( x, y, z)d xdylimR(i , i,i )(Si ) xy01in同理，P (x, y, z)d ydzlimP(i,i,i )(Si ) yz01inQ(x, y, z)d zdxlimR(i ,i,i)(Si )zx0i 13、性質(zhì)：1）12 ，則PdydzQdzdxRdxdyzy 2 ( x, y) dxd y上的有界函數(shù)，定義Pdydz Qdzdx

22、RdxdyPdydz Qdzdx R dxdy122）表示與取相反側(cè)的有向曲面, 則R d xdyR d xdy4、計算：“一投二代三定號 ”: zz( x, y) ， (x, y)Dxy ， zz( x, y) 在 Dxy 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，R(x, y, z) 在上連續(xù)，則R( x, y, z)d xdyR x, y, z( x, y)dxdy , 為上側(cè)取“ + ，”為下側(cè)取“ - ”.Dx y5、兩類曲面積分之間的關(guān)系：Pd ydz QdzdxRdxd yPcosQcosRcos d S其中, ,為有向曲面在點 ( x, y, z) 處的法向量的方向角。（六）高斯公式1、高斯公式：

23、設(shè)空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲面所圍成 ,的方向取外側(cè) , 函數(shù) P, Q, R 在上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) , 則有PQRd x d yd zP d y d zQ d zd xRdx d yxyz或PQRd x d y d zPcosQcosRcosd Sxyz2、通量與散度通量：向量場 A(P,Q, R) 通過曲面指定側(cè)的通量為：Pd ydzQdzd xRd xd y散度： divAPQRxyz（七）斯托克斯公式1、斯托克斯公式：設(shè)光滑曲面的 邊 界是分段光滑曲線,的 側(cè) 與的正向符合右手法則,P(x, y, z),Q( x, y, z), R(x, y, z) 在包含在內(nèi)的一個空間域內(nèi)具有連續(xù)

24、一階偏導(dǎo)數(shù), 則有R Q d y d zPR d zd xQP d xd yP d x Qd y Rd zyzzxxy為便于記憶 ,斯托克斯公式還可寫作:d y d z d zd x d x d yxyzP d x Q d yRd zPQR2、環(huán)流量與旋度環(huán)流量：向量場 A(P,Q, R) 沿著有向閉曲線的環(huán)流量為P d x Q d yRd z旋度： rotARQPRQPyz,x,yzx第十二章無窮級數(shù)（一）常數(shù)項級數(shù)1、定義：1）無窮級數(shù)：unu1u2u3unn1n部分和： Snuku1u2u3un ，k 1正項級數(shù)：un ， un0n1交錯級數(shù)：(1) n un ， un0n12）級數(shù)收斂

25、：若lim SnS存在，則稱級數(shù)un 收斂，否則稱級數(shù)un 發(fā)散nn 1n 13）條件收斂：un 收斂，而un發(fā)散；n 1n1絕對收斂：n 1un收斂。2、性質(zhì)：1）改變有限項不影響級數(shù)的收斂性；2）級數(shù)an ，bn收斂，則(anbn ) 收斂；n1n 1n13）級數(shù)an 收斂，則任意加括號后仍然收斂；n14）必要條件：級數(shù)un收斂lim un0 .（注意：不是充分條件！ ）n1n3、審斂法正項級數(shù)：n 1un ， un01）定義： lim SnS存在；n2）un 收斂Sn有界；n13）比較審斂法：n1un ，vn為正項級數(shù)，且 unvn(n1,2,3,)n 1若vn 收斂，則un 收斂；若u

26、n 發(fā)散，則vn 發(fā)散 .n1n 1n 1n14）比較法的推論：un ，vn為正項級數(shù)，若存在正整數(shù) m ，當(dāng) nm 時，unkvn ，而vnn 1n1n 1收斂，則un 收斂；若存在正整數(shù)m ，當(dāng) nm 時， unkvn ，而vn 發(fā)散，則un 發(fā)散 .n1n 1n 15）比較法的極限形式：un ，vn 為正項級數(shù)， 若 lim unl(0l) ，而vn 收斂，n 1n1nvnn 1則un 收斂；若 lim un0 或 lim un，而vn 發(fā)散，則un 發(fā)散 .n1nvnnvnn 1n16）比值法：un 為正項級數(shù)，設(shè)lim un 1l，則當(dāng)l 1時，級數(shù)un 收斂；則當(dāng) l 1時，級nu

27、nn 1n1數(shù)un 發(fā)散；當(dāng) l1時，級數(shù)un可能收斂也可能發(fā)散 .n1n 17）根值法：un為正項級數(shù)，設(shè)lim n unl ，則當(dāng) l1時，級數(shù)un 收斂；則當(dāng) l1時，級n1nn1數(shù)un 發(fā)散；當(dāng) l1時，級數(shù)un 可能收斂也可能發(fā)散 .n1n 18）極限審斂法：un 為正項級數(shù)，若lim n un0 或 lim n un，則級數(shù)un 發(fā)散；若n 1nnn 1存在 p1，使得 lim n p un l(0l) ，則級數(shù)un 收斂 .nn 1交錯級數(shù)：萊布尼茨審斂法：交錯級數(shù)：( 1)n un ， un0 滿 足 ： uun(n 1,2,3, ) ， 且n 1n 1lim un0 ，則級數(shù)( 1)n un 收斂。nn1任意項級數(shù)：un 絕對收斂，則un