數(shù)學(xué)高考題分類匯編不等式.

1、不等式一、選擇題1（.2013·重慶高考理科·3） (3 a)(a6)(6a3) 的最大值為 ()A. 9B. 9C.3D.3 222【解題指南】 直接利用基本不等式求解 .【解析】 選 B.當 a6 或 a 3時, (3a)( a6)0，當6 a 3時,(3 a)(a 6)3a a6 9 ,當且僅當 3aa6, 即 a3 時取等號 .2222. （2013·山東高考理科· 12）設(shè)正實數(shù) x,y,z 滿足 x2-3xy+4y2-z=0.則當 xy 取得最大值時，212 的最大值為（）zxyzA.0B.1C.9D.34【解題指南】 此題可先利用已知條件用

2、x,y 來表示 z，再經(jīng)過變形，轉(zhuǎn)化為基本不等式的問題，取等號的條件可直接代入212，進而xyz再利用基本不等式求出 212的最值.xyz【解析】 選 B. 由 x23xy4y2z0 ，得 zx23xy 4 y2 .所以 xyx2xy111，當且僅當 x4 y ，即z3xy 4 y2x 4y32x4y3yxyxyxx2y 時取等號此時 z2y2， ( xy ) max1.z12121221221211(1) 42 y2 y1 .(1)yx y z 2 y y xy yx2 y23. （2013·山東高考文科· 12）設(shè)正實數(shù) x, y, z 滿足x23xy 4 y 2z 0

3、 ，則當 z取得最大值時， x 2 yz 的最大值為（）xyA.0B. 9C.2D. 984【解題指南】 此題可先利用已知條件用x,y 來表示 z，再經(jīng)過變形，轉(zhuǎn)化為基本不等式的問題，取等號的條件可直接代入x2yz ，進而再利用基本不等式求出x2yz 的最值 .【解析】選 C.由 x23xy4 y2z0 ，得 zx23xy 4 y2 .所以 zx23xy4 y 2x4 y3 2x4 y3 1，當且僅當 x4y ，xyxyyxyxyx即 x 2 y 時取等號此時 z2y2 ，y 2 y 2 y2所以 x 2 y z 2 y 2 y 2y 24 y 2 y 22 y 22 ，2當且僅當 y=2-y

4、 時取等號 .4.(2013·福建高考文科· T7)若 2x+2y=1,則 x+y 的取值范圍是()A 0,2B2,0C2,D,2【解題指南】“一正二定三相等” ,當題目出現(xiàn)正數(shù) ,出現(xiàn)兩變量 ,一般而言 ,這種題就是在考查基本不等式 .【解析】選 D. 2 2x y 2xy所以x+y 1,即x+y 2-2所以x+y+2 =1,22,4-2.二、填空題5. （ 2013·四川高考文科· 13）已知函數(shù) f (x) 4xa在( x 0, a 0)xx 3 時取得最小值，則 a _。【解題指南】本題考查的是基本不等式的等號成立的條件，在求解時需要找到等號成立

5、的條件，將x3 代入即可 .【解析】 由題 f (x) 4xa ( x0, a0) ，根據(jù)基本不等式 4xa4a ，xx當且僅當 4xa 時取等號，而由題知當 x 3 時取得最小值，即 a36 .x【答案】 366.（2013·天津高考文科· 14）設(shè) a + b = 2, b>0, 則 1| a | 的最小2 | a |b值為.【解題指南】 將 1| a |2 | a |b中的 1 由 a + b 代換，再由均值不等式求解.【解析】 因為 a + b = 2, b>0，所以 1| a |a b| a |ab| a |2 | a |b4| a |b4 | a |

6、 4 | a |ba2b| a |a1，當且僅當b| a | 時等號成立，此時 a2 ，4 | a |4 | a |b4 | a |4 | a |b或 a 2 ，3若 a2 ，則 a13 ，若 a2 ，則 a15 .所以1| a | 的最小值為4| a|434 | a |42 | a |b3.4【答案】 347. （2013·天津高考理科·14）設(shè) a + b = 2, b>0, 則當 a =時,1 | a | 取得最小值 .2| a |b【解題指南】 將 1| a |2 | a |b中的 1 由 a + b 代換，再由均值不等式求解.【解析】 因為 a + b =

7、2, b>0，所以 1| a |a b| a |ab| a |2 | a |b4| a |b4 | a | 4 | a |bab| a |a，當且僅當b| a |時等號成立，此時a2，4 | a |24 | a |b4 | a |14 | a |b或 a 2 ，3若 a2 ，則 a13 ，若 a2 ，則 a15. 所以1| a | 取最小值時，4| a|434 | a |42 | a |ba2 .【答案】 -2a28.（2013·上海高考文科· T13）設(shè)常數(shù) a0.若 9xa 1 對一切x正實數(shù) x 成立，則 a 的取值范圍為.【解析】 考查均值不等式的應(yīng)用，由題意

8、知，當 xa 2a210時 , f (x) 9x2 9x6a a 1 axx5【答案】 1, )59. （2013·陜西高考文科· 14）在如圖所示的銳角三角形空地中 , 欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園 (陰影部分 ), 則其邊長 x 為(m).x40m40m【解題指南】 設(shè)出矩形的高 y，由題目已知列出 x，y 的關(guān)系式，整理后利用均值不等式解決應(yīng)用問題.【解析】 設(shè)矩形高為 y,由三角形相似得 :x40 y , 且x0, y 0, x40, y40404040 x y2 xy , 僅當 xy20時，矩形的面積 sxy取最大值 400 .【答案】 20.不等關(guān)系與不等式一

9、、選擇題1. （2013·北京高考文科· 2）設(shè) a,b,cR,且 a>b,則()A.ac>bcB. 11C.a2>b2D.a3>b3ab【解題指南】 利用不等式的性質(zhì)求解 .【解析】 選 D.y=x 3 在(-,+)上為增函數(shù) ,所以 a3>b3.2. (2013·浙江高考文科· T10)設(shè) a,bR,定義運算“”和“”如下:ab=a， a b,b ， a>b,ab=b, ab,a, a>b.若正數(shù)a,b,c,d 滿足ab4,c+d4,則()A.ab2,cd2B.ab2,cd2C.ab2,cd2D.ab2,cd

10、2【解題指南】 充分理解新定義的運算 ,根據(jù)它的運算性質(zhì)求解 .【解析】 選 C.因為 ab=mina,b,a b=maxa,b, 又 ab4,所以 a,b中至少有一個大于等于2,所以 ab2,排除 A,B; 因為 c+d4,所以 c,d中至少有一個小于等于2,所以 cd2,故選 C.二、填空題3.(2013·浙江高考文科· T16)設(shè) a,bR,若 x0 時恒有 0x4-x3+ax+b(x22 則.-1) , ab=【解題指南】由不等式恒成立可取特殊值得到a,b 的關(guān)系 ,再由不等式恒成立求得 ab.4322恒成立 ,所以當 x=1時,0【解析】 因為 x0 時,0x-x

11、+ax+b (x-1) a+b0 成立 ,所以 a+b=0,a=-b,當 x=0 時,0b1,所以 -1a0,所以原 不 等 式 為 0 x4 32232所 以a(x-1)-x +ax- a(x-1),ax-ax -2x +1,(x2-x-1)(x-1), 當 x>1 時, ax2-x-1= x2(x1)恒成立 ,得 a-1;所以1524a=-1.當 x<1 時,同理可得 a=-1,所以 ab=-a2=-1.【答案】 -1一元二次不等式及其解法一、選擇題1. （2013·重慶高考文科· 7）關(guān)于 x 的不等式x22ax8a20 a0）（的解集為 (x1, x2

12、) ，且 x2x1 15 ，則 a()A. 5B. 7C.15D.152242【解題指南】 直接求出不等式的解集 ,根據(jù) x2x115 求出 a 的值 .【解析】 選 A. 由題意知 , 不等式 x22ax 8a20 （ a 0 ）的解集為( 2a,4a) ,因為 x2x1 15 ,所以 4a ( 2a) 15 ,解得 a5 .21 x2（·江西高考文科·）下列選項中，使不等式x成2.20136x立的 x 的取值范圍是（）A.（ ，-1）B. （-1，0）C.（0，1）D.（1， ）【解題指南】 轉(zhuǎn)化為不等式組，應(yīng)注意x>0 與 x<0 的區(qū)別 .【解析】 選

13、A. 當 x0 時不等式化為x 21 ，此時無解；當 x0 時不等x 31式化為 x21 ，此時解得 x 1.x313.（2013·安徽高考理科· 6）已知一元二次不等式f (x)<0 的解集為x|x<-1或 x>1，則 f(10x )>0 的解集為（）2A x |x<-1或 x>lg2 B. x |-1<x<lg2 C. x |x>-lg2 D.x|x<-lg2 【解題指南】 根據(jù)一元二次不等式、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)進行判斷 .【解析】 選 D。由 f (x)<0 的解集為x|x<-1或 x

14、> 1，可得21211xx11時，有10<2。f (x)=-(x- )(x+1)=-x-x+，當 f (10 )>0，即 x < gl =- g2l22224. （2013·陜西高考理科· 9）在如圖所示的銳角三角形空地中 , 欲建一個面積不小于 300m2 的內(nèi)接矩形花園 (陰影部分 ), 則其邊長 x(單位 m)的取值范圍是 ()A.15,20B.12,25C.10,30D.20,30x 40m40m【解題指南】 設(shè)出矩形的高 y，由題目已知列出x，y 的關(guān)系式，整理得 x 的一元二次不等式，解之可得x 的取值范圍 .【解析】 選 C. 設(shè)矩形高

15、為 y, 由三角形相似得 :x40y ,且 x0, y0, x 40, y 40， xy300,整理得4040yx40,將y40x代入 xy，整理得 x 240x 300，解之得300010x30.5.（2013·大綱版全國卷高考文科· 4）不等式 x222的解集是 （）A. -1,1B. -2,2C. -1,00,1D. -2,00,2【解題指南】 利用絕對值不等式 | x | a(a 0) ，則 axa ，去掉絕對值.【解析】選 D.由| x22 | 2得， 2 x 222，即 0x24 ，所以不等式的解集為 -2,00,2 .二、填空題6. （2013·重慶

16、高考文科· 15）設(shè) 0，不等式8x2(8sin) xcos20 對 xR 恒成立，則 a 的取值范圍為【解題指南】 因為不等式恒成立 ,所以判別式小于等于零 ,直接求解即可.【解析】 因為不等式 8x2(8sin) x cos20對 xR 恒成立，所以64sin 232cos20 ,即 64sin 23264 sin 20 ,解得 sin1 52因為 0,所以0, 66【答案】 0, 5, 66x7.（2013·上海高考文科· T1 ）不等式2x10 的解為.1【解析】 x(2x1)0x(0,)1【答案】( 0,)8. （2013·廣東高考理科

17、3; 9） 不等式 x2 x 2 0 的解集為.【解題指南】 本題考查二次不等式的解法，注意應(yīng)用口訣“小于取中間” .【解析】 x2x2(x1)(x2)0 ，解得2x1，解集為 x |2x1 .【答案】 x |2x1 .二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題一、選擇題1.(2013·新課標全國高考理科·T9) 已知 a>0,x,y 滿足約束條件x1xy3ya x3若 z=2x+y 的最小值為 1,則 a=()A. 1B. 1C.1 D.242【解題指南】 結(jié)合線性約束條件 ,畫出可行域 ,由目標函數(shù)取得最小值1,結(jié)合圖形可求得a.【解析】 選 B.畫出不等式組表示的

18、平面區(qū)域如圖所示:當目標函數(shù) z=2x+y 表示的直線經(jīng)過點A 時,z 取得最小值 ,而點 A 的坐標為 (1,-2a),所以 2-2a=1,解得 a= 1 , ,故選 B.22.（2013·新課標全國高考文科·3）設(shè) x, y 滿足約束條件xy10,xy10, ，則 z 2x3 y 的最小值是（）x3,A.7B. 6C. 5D. 3【解題指南】 結(jié)合線性約束條件，畫出可行域，將目標函數(shù)平移得最小值 .2z【解析】選 B.由 z=2x-3y 得 3y=2x-z，即 yx33。作出可行域如圖 ,平移直線 y2 xz ，由圖象可知當直線 y2 xz 經(jīng)過點 B 時，直線3333

19、y2xz 的截距最大，此時 z 取得最小值，由xy 10 得 x3 ，即33x3y4B(3,4),代入直線 z=2x-3y 得 z 3 2 3 46，選 B.3. （2013·陜西高考文科· 7）若點 (x,y)位于曲線 y = |x|與 y = 2 所圍成的封閉區(qū)域 , 則 2xy 的最小值為()A. 6B.2C.0D.2【解題指南】 畫出直線圍成的封閉區(qū)域，把求2x-y 最小值轉(zhuǎn)化為求y=2x-z 所表示直線的截距的最大值，通過平移可求解.【解析】 選 A. y | x | 與y 2 的圖像圍成一個三角形區(qū)域， 3 個頂點的坐標分別是 (0,0),(-2,2),(2,2

20、). 在封閉區(qū)域內(nèi)平移直線 y=2x，在點 (-2,2) 時， 2x y = - 6 取最小值 .4. （2013·山東高考理科· 6）在平面直角坐標系 xOy 中，M 為不2xy20等式組：x2y10 ，所表示的區(qū)域上一動點，則直線OM 斜率的3xy80最小值為 （）A.2B.1C. 1D.132【解題指南】本題可先根據(jù)題意畫出平面區(qū)域， 然后利用數(shù)形結(jié)合找出斜率的最值 .【解析】 選 C. 作出可行域如圖由圖象可知當 M 位于點 D 處時， OM 的斜率最小 .由 x2y10 得3xy80x3 ，即 D(3,1) ,此時 OM 的斜率為 11 .y1332xy10,5.

21、（2013·北京高考理科· 8）設(shè)關(guān)于 x,y 的不等式組xm0,表ym0示的平面區(qū)域內(nèi)存在點P(x0，y0)滿足 x02y0=2，求得 m 的取值范圍是（）A.,4B.,1C.,2D., 53333【解題指南】 作出平面區(qū)域，則區(qū)域的邊界點中有一個在x02y0=2的上方，一個在下方。【解析】 選 C。作出可行域如下圖所示：要使可行域存在， 必有 m2m 1，要求可行域內(nèi)包含直線 y1 x 1上12的點，只要邊界點 ( m,12m) 在直線 yx 1上方，且 ( m, m) 在直線2m12m,y1 x 1下方，解不等式組 1 2m1m 1, 得 m 2 .223m 1 m

22、1,2xy8,6. （2013·四川高考文科· 8）若變量 x, y 滿足約束條件2 yx4, 且x0,y0,z 5 y x 的最大值為 a ，最小值為 b ，則 ab 的值是（）A 48B. 30C. 24D.16【解題指南】本題考查的是簡單的線性規(guī)劃問題， 求解的關(guān)鍵是正確的作出可行域，然后求出最大值與最小值 .【解析】 選 C，作出可行域如圖，結(jié)合圖形可知，當 y1 x1 z經(jīng)過點 A 4,4 時， z 取最大值16，當1 x1 z 經(jīng)過點 B55y8,0 時， z 取最小值為 -8，所以 a b 24，故選 C.557. （2013·湖北高考文科·

23、; 9）某旅行社租用 A ， B 兩種型號的客車安排 900 名客人旅行， A ， B 兩種車輛的載客量分別為 36 人和 60 人，租金分別為 1600 元/輛和 2400 元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過21 輛，且 B型車不多于 A 型車 7輛則租金最少為 ()A 31200 元B36000 元C36800 元D38400 元【解題指南】 利用線性規(guī)劃求解 .【解析】 選 C. 設(shè) A 型、 B 型車輛的數(shù)量分別為 x， y 輛，則相應(yīng)的運營成本為 1600x+2400y，依題意，x，y 還需滿足：x+y21，yx+7，xy21，yx7,36x+60y900，于是問題等價于求滿足約束條件

24、36x60 y900,x, y0, x, yN,要使目標函數(shù)z1600 x2400 y 達到最小值。作可行域如圖所示,可行域的三個頂點坐標分別為P(5,12),Q(7,14),R(15,6),由圖可知 ,當直線 z=1600x+2400y 經(jīng)過可行域的點P 時,直線zz=1600x+2400y 在 y 軸上截距2400最小 ,即 z 取得最小值 .故應(yīng)配備 A型車 5 輛,B 型車 12 輛.zmin =1600x+2400y=1600×5+2400×12=36800(元 ).8（2013·天津高考文科· T2) 與(2013·天津高考理科&#

25、183; T2) 相同3 xy60,設(shè)變量 x,y 滿足約束條件 xy2 0,則目標函數(shù) z=y-2x 的最小值為y30,()A.-7B.-4C.1 D.2【解題指南】 畫出約束條件所表示的可行域,平移直線 z=y-2x 至截距最小即可 .【解析】 選 A. 由 z=y-2x,得 y=2x+z.作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域ABC.作直線 y=2x,平移直線 y=2x+z,由圖象知當直線經(jīng)過點B 時,y=2x+z 的截距最小 ,此時 z 最小 .由 x y20, 得 x5, 代入 z=y-2x 得 z=3-2×5=-7.y 30,y3,所以最小值為 -7.xy2,9.(2013·

26、;福建高考文科· T6) 若變量 x,y 滿足約束條件x1,則y0,z=2x+y 的最大值和最小值分別為()A.4和3B.4和2C.3和2D.2和0【解題指南】 找出可行域 ,將各端點代入求出最值 .【解析】 選 B.可行域如圖所示 ,可行域的三個端點為1,0 , 2,0 , 1,1 ,分別代入可得zmin=2×1+0=2,zmax=2×2+0=4.y2x10.（2013·湖南高考理科· 4）若變量 x, y 滿足約束條件 xy 1，y1則 x 2y的最大值是 （）A-5B 0C 5D 5232【解題指南】 先作出約束條件對應(yīng)的可行域，再求出頂

27、點坐標，然后找出最優(yōu)解即可。y2x【解析】 選 C.作出不等式組xy1 ，表示的平面區(qū)域,y1得到如圖的 ABC 及其內(nèi)部 ,其中 A1,B12,C(2,-1).設(shè) z=x+2y,將直線 l:z=x+2y進行平移 ,（ -2，-1）（， ）33當 l 經(jīng)過點 B 時 ,目標函數(shù) z 達到最大值 ,所以 z 最大值 = 5 .3二、填空題11（2013·新課標高考文科·14）設(shè) x，y 滿足約束條件1x3，則 z 2xy 的最大值為 _.1xy 0【解題指南】畫出 x,y 滿足約束條件的可行域 ,平移目標函數(shù) ,確定目標函數(shù)取得最大值的位置 ,求出點的坐標 ,將該點坐標代入目

28、標函數(shù)中 . 【解析】 畫出可行域如圖所示，當目標函數(shù) z2xy 過點 A(3,3) 時，取得最大值，Z max2333【答案】 312. （2013·大綱版全國卷高考文科· 15）若 x、 y 滿足約束條件x0,x3 y4, 則 zxy的最小值為.3xy4,【解析】 畫出 x、 y 滿足約束條件的可行域，如圖可知過點 A 時，目標函數(shù)取得最小值，聯(lián)立x3y4，解得 A(1,1) ,所3xy4以 zmin110.【答案】 0.x0,13.（2013·大綱版全國卷高考理科·15）記不等式組 x3y4, 所3xy4,表示的平面區(qū)域為 D. 若直線y a x1

29、 與D有公共點，則 a的取值范圍是.【解析】 畫出可行域如圖所示，當直線 ya( x1) 過點 A (0,4) 時，a 取得最大值為 4 ，當直線 ya( x1) 過點 (1,1) 時， a 取得最小值為 1 .所以 a 的取值范圍為 1 ,4 .【答案】 122,4214.(2013·浙江高考理科· T13)設(shè) z=kx+y,其中實數(shù) x,y 滿足xy20,x2 y40, ，若 z 的最大值為 12,則實數(shù) k=.2xy40,【解析】 不等式組表示的可行域如圖所示,由 z=kx+y 可得 y=-kx+z, 知其在 y 軸上的截距最大時 ,z 最大 ,由圖知當k 1 且直線

30、過點A(4,4)時,z 取最大值 12,即 4k+4=12,所以 k=2.2【答案】 215.(2013·浙江高考文科· T15)設(shè) z=kx+y,其中實數(shù) x,y 滿足x2,x2 y40, 若z 的最大值為12,則實數(shù)k=.2xy40,【解題指南】 根據(jù)不等式組畫出可行域 ,再把目標函數(shù) z 轉(zhuǎn)化為在 y 軸上的截距 .【解析】 不等式組表示的可行域如圖所示,由 z=kx+y 可得 y=-kx+z, 知其在 y 軸上的截距最大時 ,z 最大 ,經(jīng)檢驗-k<0 且直線過點 A(4,4)時,z 取最大值 12,即 4k+4=12,所以 k=2.【答案】 216. (20

31、13·江蘇高考數(shù)學(xué)科· T9)拋物線 y=x 2 在 x=1 處的切線與兩坐標軸圍成的三角形區(qū)域為 D(包含三角形內(nèi)部和邊界 ).若點 P(x,y)是區(qū)域 D 內(nèi)的任意一點 ,則 x+2y 的取值范圍是.【解題指南】 先確定可行域 ,再通過平移目標函數(shù)求范圍.【解析】由 y2 x 得拋物線 yx2 在 x1處的切線方程為y12( x1) 即y2x1即得可行域如圖中陰影目標函數(shù) z x2 y 2y1x1z 平移目標函數(shù)經(jīng)過點 A 時 x2 y 最小22經(jīng)過點 B 時 x2 y 最大，故 x2 y 的取值范圍是 2, 121【答案】 2,17. （2013·湖南高考文

32、科· 13）若變量 x,y 滿足約束條件x2 y8,0x4,0y3,則 x+y 的最大值為 _【解題指南】 先作出約束條件對應(yīng)的可行域，求出頂點坐標，然后找出最優(yōu)解即可?！窘馕觥?畫出可行域如圖 ,由 x2y 8, 得 A(4,2), 目標函數(shù) z=x+y 可看成斜率為 -1 的動直線 ,其縱x4,截距越大 z 越大 ,數(shù)形結(jié)合可得當動直線過點A 時,z 最大 =4+2=6.【答案】 618.（2013·安徽高考文科· 12）若非負數(shù)變量 x、y 滿足約束條件ì?x-y ?1， 則 x+y 的最大值為 _í? x + 2 y ? 4，【解題指南

33、】作出可行域，求出最優(yōu)點，得出最大值。ì2ì?x =25镲x - y = - 1T3【解析】 由眄5，即點 A（ ，），同理可得點 B（4,0），x + 2y = 433镲? y =3?可行域如圖陰影所示，由圖可知當直線x + y = k 經(jīng)過（ 4,0）時得所求的最大值是4.【答案】 4x0,19.（2013·北京高考文科· 12）設(shè) D 為不等式組 2xy0 ，表xy 30示的平面區(qū)域，區(qū)域D 上的點與點（ 1，0）之間的距離的最小值為_.【解題指南】 作出可行域 D，然后可以看出點（ 1，0）到 D 的距離的最小值為點（ 1，0）到直線 2x-y=0 的距離?！窘馕觥?作出可行域 D,點（ 1，0）到區(qū)域 D 上點的最小距離即是點（1，